7.5正態(tài)分布（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022春?廣東潮州?高二統(tǒng)考期末）隨機變量J服從正態(tài)分布則標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.2B.4C.10D.14

2.（2022春?江蘇常州?高二統(tǒng)考期中）如圖是三個正態(tài)分布X?N（0,0.64）,T?N（0,l）,Z?N（0,4）的

密度曲線，則三個隨機變量X,Y,Z對應(yīng)曲線的序號分別依次為（）.

C.②③①D.①③②

3.（2022春?安徽安慶?高二安慶市第二中學(xué)?？计谀╇S機變量X的概率分布密度函數(shù)

其圖象如圖所示，設(shè)尸（X22）=2，則圖中陰影部分的面積為（)

A.PB.2PC.D.1-2/7

4.（2022秋?安徽亳州?高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)『的絕對值越接近于0

B.若X是隨機變量，則石（2萬+1）=2￡（》）+1,。（2萬+1）=4。仔,1.

C.已知隨機變量若尸?>1）=。，貝?。菔?gt;-1）=1一2。

D.設(shè)隨機變量4表示發(fā)生概率為。的事件在一次隨機實驗中發(fā)生的次數(shù)，則。（/V：

5.（2022春?福建泉州?高二福建省德化第一中學(xué)校考期末）疫情期間，學(xué)校進行網(wǎng)上授課，某中學(xué)參加網(wǎng)

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課的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時間（小時）服從正態(tài)分布N（9,『），則這些同學(xué)中每天學(xué)習(xí)時間超過10小時

的人數(shù)估計為（）.附：隨機變量J服從正態(tài)分布NJ,/）,則尸（〃-b<J<〃+b）=0.6826,

尸（〃-2b<4<〃+2cr）=0.9544.

A.12B.16C.30D.32

6.（2023秋?遼寧營口?高二統(tǒng)考期末）正常情況下，某廠生產(chǎn)的零件尺寸X服從正態(tài)分布N（2,〃）（單位:

m）,尸（X<1.9）=0.1,則尸（X<2.1）=（）

A.0.1B.0.4C.0.5D.0.9

7.（2022?高二課時練習(xí)）4月23日為世界讀書日，已知某高校學(xué)生每周閱讀時間（單位：h）X~N（8,4）,

則下列說法錯誤的是（）

A.該校學(xué)生每周平均閱讀時間為8h

B.該校學(xué)生每周閱讀時間的標(biāo)準(zhǔn)差為2

C.若該校有10000名學(xué)生，則每周閱讀時間在4~6h的人數(shù)約為2718

D.該校學(xué)生每周閱讀時間低于4h的人數(shù)約占2.28%

8.（2022春?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期末）某班50名同學(xué)參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績c近似服從N（90,cr2）,

若尸（90495）=0.3,則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.30

9.（2022春?山西忻州?高二統(tǒng)考期末）隨機變量X服從正態(tài)分布且尸（X>-1）=尸（X<5）,則

下列說法一定正確的是（）

A.4=3B."=2C.b=3D.<7=2

10.（2023春?河南焦作?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績4（滿分：100分）服從正態(tài)分

布"（85,4）,且尸（83487）=0.3,尸（78<孑<83）=0.26,則P（JV78）=（）

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.09

二、多選題

11.（2022春?江蘇蘇州?高二校考期末）在網(wǎng)課期間，為了掌握學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀態(tài)，某省級示范學(xué)校對高

二一段時間的教學(xué)成果進行測試.高二有1000名學(xué)生，某學(xué)科的期中考試成績（百分制且卷面成績均為整

數(shù)）Z服從正態(tài)分布N（82.5,5.42）,貝（人數(shù)保留整數(shù)）（）

參考數(shù)據(jù)：若Z?N（〃，cr2）,貝爐（〃-cr<Z土0.6827,尸（〃-2r<Z<p42r）a0.9545,

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尸（〃一3<r<Z<〃+3b）~0.9973.

A.年級平均成績?yōu)?2.5分

B.成績在95分以上（含95分）人數(shù)和70分以下（含70分）人數(shù)相等

C.成績不超過77分的人數(shù)少于150

D.超過98分的人數(shù)為1

12.（2022春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谀┘褐猉~N（1,02）,y~N（0,b；）,則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.若Q=0,則P（X>1）>尸（y>0）

B.若0=q,則p（x>i）+p（y>o）=i

C.若0>%，則尸（04X42）〈尸（一14/41）

D.若巧>%，則尸（OVXV1）>尸（0VFV1）

三、填空題

13.（2022春?云南昭通?高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機變量X~,X的正態(tài)密度函數(shù)為/（x）=^=e",

則〃=.

14.（2023秋?河南南陽高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量4服從正態(tài)分布若P（443a+l）=0.5,

則實數(shù)。=.

15.（2022春?重慶?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機變量X服從正態(tài)分布若尸（2<X<6）=0.6,

P（X26）=0.2,則〃=.

16.（2023秋?安徽宿州?高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)校高二年級有1500名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考

試的成績X服從正態(tài)分布N（110,IO?）.已知尸（100<XW110）=0.34,估計高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120

分以上的有人.

四、雙空題

17.（2023秋?遼寧葫蘆島?高二葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀╇S機變量X服從正態(tài)分布，即X~N（10,9）,

隨機變量y=2x-3,則￡（丫）=,.

五、解答題

18.（2023秋?河南南陽?高二統(tǒng)考期末）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)

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如下(單位：mm)：192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.設(shè)這10個數(shù)據(jù)的均值為〃，

標(biāo)準(zhǔn)差為b.

(1)求〃和。；

(2)已知這批零件的內(nèi)徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布若該車間又新購一臺設(shè)備，安裝調(diào)試后,

試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm)分別為：181,190,198,204,213,如果你是該車間的負(fù)

責(zé)人，以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試根據(jù)3b原則判斷這臺設(shè)備是否需要進一步調(diào)試？并說明你的理由.

參考數(shù)據(jù)：若(〃62),則:

尸(〃一+0.6826,P(//-2cr<X<〃+2cr)合0.9544,

尸(〃-3cr<XV〃+3b)a0.9974,0.99744Mo.99.

19.(2023?高二課時練習(xí))某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布

N(500,52)(單位：g).

(1)求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于485g的概率約為多少？

(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于485g,檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷

出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.

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【能力提升】

一、單選題

1.（2023秋?遼寧阜新?高二?？计谀┠撑隹诘乃揞^，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布

^V（184,2.52）.隨機抽取1罐，其凈重在179g與186.5g之間的概率為（）

（注：若X?NJ。?），<cr）=0.683,尸<2cr）=0.954,P（|X-^|<3cr）=0.997）

A.0.8185B.0.84C.0.954D.0.9755

2.（2022春?湖北十堰?高二十堰東風(fēng)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某校有1200名同學(xué)參加某次模擬考試,

其中數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N（100,225）,則下列說法正確的有（）

（參考數(shù)據(jù)：①P（〃一b<X4〃+cr）=0.6827；②尸（〃一2。<XV〃+2b）=0.9545；

③P（〃-3cr<XW〃+3b）=0.9973）

A.這次考試成績超過100分的約有500人

B.這次考試分?jǐn)?shù)低于70分的約有27人

C.P（115<XW130）=0.0514

D.從中任取3名同學(xué)，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過100分的概率為:

3.（2022春?江西贛州?高二江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)X?F?"（4,。；），這兩個正

態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是（）

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B.尸(XV%)V尸(XVR

C.對任意正數(shù)乙P(X<t)>P(Y<t)

D.對任意正數(shù)f,P(X>t)>P(Y>t)

二、多選題

4.(2022春?吉林白城?高二校考階段練習(xí))已知兩種不同型號的電子元件(分別記為X,Y)的使用壽命

均服從正態(tài)分布，X?N的。；)，丫?雙3后)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論正確的

參考數(shù)據(jù)：若Z?N伍〃)，則P(〃-cr4Z4〃+b)y0.6827,P(〃-2b4Z4〃+2cr卜0.9545

A.尸(從一百<X<4+2%)Q0.8186

B.p(y>z/2)<p(y>A)

c.尸(xw%)〈尸(XVbJ

D.對于任意的正數(shù)，，有尸(xw，)>尸(y?f)

三、填空題

5.(2023?高二課時練習(xí))在2021年6月某區(qū)的高二期末質(zhì)量檢測考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布

X~N(98,100).已知參加本次考試的學(xué)生約有9450人，如果某學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績?yōu)?08分，那

么他的數(shù)學(xué)成績大約排在該區(qū)的名次是.附:若X?N(〃,4)，則尸(〃-。<X<〃+。)=0.6826,

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P（ju-2cr<X<JLI+2cr）=0.9544.

四、解答題

6.（2023?高二課時練習(xí)）一研究機構(gòu)從某市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū),

對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量X（單位：噸）進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩

萬人左右且垃圾數(shù)量超過28噸/天的社區(qū)確定為“超標(biāo)”社區(qū).

垃圾量X

[12,5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24,5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5]

（噸）

頻數(shù)56912864

（1）通過頻數(shù)分布表估算出這50個社區(qū)這一天的垃圾量的平均值最；（精確到0.1）

（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布NJ,/）,其中〃近似為（1）

中的樣本平均值，4近似為樣本方差52,經(jīng)計算得s=5.2,請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超

標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)；

（3）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，研究機構(gòu)決定對這8個“超

標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調(diào)查.現(xiàn)計劃在這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的

這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求丫的分布與數(shù)學(xué)期望.

7.（2022?湖南郴州?高二安仁縣第一中學(xué)階段練習(xí)）為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期

在某學(xué)習(xí)平臺組織全區(qū)教職工進行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺數(shù)據(jù)

庫中隨機抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時間（滿時長15小時），將其分成[3,5）,[5,7）,[7,9）,[9,11）,[H,13）,[13,15]

六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

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（2）以樣本估計總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時間看近似服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本的平均數(shù)，

經(jīng)計算知。合2.39.若該地區(qū)有5000名教職工，試估計該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時間在（7.45,14.62］內(nèi)的人數(shù);

（3）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在［7,9）,［9,11）內(nèi)的教職工中隨機抽取5人，并從中隨機抽取3

人作進一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時間在［7,9）與［9,11）內(nèi)的教職工平均人數(shù).（四舍五入取整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量4服從正態(tài)分布N（/z,4）,則P（〃-b<jV〃+b）a0.6827,

F（//-2o-<^<//+2<r）?0.9545,P（〃一3。<JV〃+3。卜0.9973.

8.（2022秋?江西宜春?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行.近年來，某市

積極組織開展黨史學(xué)習(xí)教育的活動，為調(diào)查活動開展的效果，市委宣傳部對全市多個基層支部的黨員進行

了測試，并從中抽取了1000份試卷進行調(diào)查，根據(jù)這1000份試卷的成績（單位：分，滿分100分）得到

如下頻數(shù)分布表：

成績/分[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

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頻數(shù)40902004001508040

(1)求這1000份試卷成績的平均數(shù)？(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

(2)假設(shè)此次測試的成績X服從正態(tài)分布NJ。?)，其中〃近似為樣本平均數(shù)，/近似為樣本方差52,已

知s的近似值為6.61,以樣本估計總體，假設(shè)有84.14%的學(xué)生的測試成績高于市教育局預(yù)期的平均成績，

則市教育局預(yù)期的平均成績大約為多少(結(jié)果保留一位小數(shù))？

(3)該市教育局準(zhǔn)備從成績在［90,100］內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再從這6份試卷中隨

機抽取3份進行進一步分析，記Y為抽取的3份試卷中測試成績在［95,100］內(nèi)的份數(shù)，求y的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若X-Nj,/),貝U尸(〃一CT<X4〃+CT)B0.6827,尸(〃一2b<X4〃+2cr)r0.9545,

尸(〃-3cr<X4〃+3cr)y0.9973.

9.(2022春?江蘇泰州?高二統(tǒng)考期末)我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居

世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列，為深入推進傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭

力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)攻堅突破.設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位：nm).

(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個.現(xiàn)從這7個零件中隨機抽取3個.記J表示

取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求孑的分布列及數(shù)學(xué)期望EC)；

(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為g,每個零件是否合格相互獨立.現(xiàn)任取6個零件進行檢測，

若合格的零件數(shù)〃超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅成功.求技術(shù)攻堅成功的概率及〃的方差；

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(3)若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑X：(9,0.04),從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件

直徑大于9.4nm的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X:(〃,〃)，貝1J尸(|X-〃區(qū)b)合0.6827,尸(|X-〃區(qū)2b)W0.9545,P(|X-〃區(qū)3b)土0.9973,

O.9772510x0.7944，O.954510?0.6277.

10.(2022春?福建?高二校聯(lián)考期末)某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車

進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

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（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差5的近似值為50,根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大

續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布NJ。）（用樣本平均數(shù)下和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為〃、。的近似值），現(xiàn)任取

一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程Xe[250,400]的概率；

（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X~N（〃Q2）,貝!!尸（〃一bWXW〃+b）a0.6827,

尸（〃一2bWXV〃+2b）a0.9545,尸（4-3cr4X4〃+3cr）a0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲

硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0、1、2、3...........20）移動，若遙控車最

終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20

格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是:，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬

幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從左到上+1）；若擲出反面，遙控車向前移

動兩格（從左到上+2）,直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第

""〃419）格的概率為勺，試證明｛匕-匕/是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期

望值（精確到0」萬元）.

11.（2022春?江蘇連云港?高二江蘇省灌云高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某市為提升農(nóng)民的年收入，更好地實

現(xiàn)2021年精準(zhǔn)扶貧的工作計劃，統(tǒng)計了2020年50位農(nóng)民的年收入并制成頻率分布直方圖，如圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50位農(nóng)民的年平均收入了（單位：千元）（同一數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間

的中點值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該市農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N出吟,其中〃近似為年平均收入亍,

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b?近似為樣本方差52,經(jīng)計算得d=L5,利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅工作中，若使該市約有占農(nóng)民人數(shù)的84.135%的農(nóng)民的年收入高于本市規(guī)定的最低年收入標(biāo)

準(zhǔn)，則此最低年收入標(biāo)準(zhǔn)大約為多少千元？

②該市為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策落實情況，隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互

相獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于17.56千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：VL5?1.22;若X~N（〃,cr2）,則P（〃-bVXM〃+b）a0.6827,尸（〃-2crVXV〃+2b）,

尸（〃-3。/4〃+3。）20.9973.

12.（2022春?全國?高二期末）在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的

了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的

100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)213212524114

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z~N（〃,198）,〃近似為這100人得分的平均值

（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），

①求〃的值；

②利用該正態(tài)分布，求尸（74.5<Z488.5）；

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

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②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:

贈送話費的金額（單位：元）2050

3￡

概率