第03講：三角函數(shù)性質(zhì)圖像和三角恒等式變換高頻考點(diǎn)突破【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．考點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．考點(diǎn)三：公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．平方關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于這個(gè)角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．考點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.考點(diǎn)六：六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限技巧歸納：1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.考點(diǎn)七．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)對稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ考點(diǎn)八.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：考點(diǎn)九兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點(diǎn)十兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點(diǎn)十一：兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號(hào)條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點(diǎn)十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式考點(diǎn)十三半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點(diǎn)十四輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型梳理】題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系A(chǔ)．7 B． C． D．5A． B． C． D．題型二：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式A． B． C． D．題型三：三角形的圖像和性質(zhì)A． B． C． D．題型四：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像的變換和綜合性質(zhì)題型五：兩角和與差的三角函數(shù)13．（2023春·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┫铝谢啿徽_的是（

）題型六：二倍角公式的應(yīng)用A． B． C． D．A．3 B． C． D．題型七：降冪公式的應(yīng)用A． B． C． D．A．1 B． C． D．2題型八：三角函數(shù)恒等式變換其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．① B．② C．①② D．①②③A． B． C． D．題型九：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；【專題突破】一、單選題A． B． C． D．A． B． C． D．37．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)離地面194cm.小南身