2021-2022學(xué)年福建省龍巖市漳平市八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：1．以下是某中學(xué)初二年級(jí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形之后設(shè)計(jì)的．下面這四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和3，則它的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．5或7 D．4或73．下列說(shuō)法正確的有（）①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中線，則由（）可得△AFC≌△AEB．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△AA'P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA'，CC' C．△ABC與△A'B'C'面積相等 D．直線AB、A'B'的交點(diǎn)不一定在MN上6．如圖，在△ABC中，BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過(guò)點(diǎn)E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，則△ADF周長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．107．如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC＝45°，則∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．如圖，經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過(guò)程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF9．如圖，△ABC的面積為1cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm210．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：11．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，則∠C是°．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DC＝3，則點(diǎn)D到AB的距離是．13．如圖，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），△ABD和△ACD的面積分別表示為S1和S2，且S1＝S2，請(qǐng)說(shuō)出說(shuō)明AD是△ABC角平分線的依據(jù)．15．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為．16．在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分線，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，則△ABC的周長(zhǎng)是．三、解答題：17．如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．18．如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），A、B、C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1．（1）請(qǐng)你畫出△A1B1C1并寫出A'的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積．19．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求證：BE∥DF．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上的一點(diǎn)，且∠CBE＝∠CAD．求證：BE⊥AC．21．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形（請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證、證明的過(guò)程）．22．如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②判斷△CFH的形狀并說(shuō)明理由．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，射線BE與射線AD交于點(diǎn)F．（1）在圖中，依題意補(bǔ)全圖形；（2）記∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大??；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等邊三角形，猜想EF和BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．24．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求證：CE平分∠ACF；（3）若AB＝2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)．25．如圖①，平面直角坐標(biāo)系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB為直角邊作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖②過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸于D，連接AD，求∠ADC的度數(shù)；（3）如圖③在（1）中，點(diǎn)A在y軸上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)A為直角邊作等腰Rt△OAE，連接EC，交y軸于F，試問(wèn)A點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中S△AOB：S△AEF的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果沒有變化，請(qǐng)求出寫出它們的比值，并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：1．以下是某中學(xué)初二年級(jí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形之后設(shè)計(jì)的．下面這四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．解：A、是軸對(duì)稱圖案，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖案，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖案，故此選項(xiàng)正確；D、是軸對(duì)稱圖案，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．2．若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和3，則它的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．5或7 D．4或7【分析】分兩種情況討論：當(dāng)1是腰時(shí)或當(dāng)3是腰時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析求解即可．解：當(dāng)1是腰時(shí)，則1+1＜3，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)3是腰時(shí)，則三角形的周長(zhǎng)是1+3×2＝7．故選：B．3．下列說(shuō)法正確的有（）①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④【分析】①根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的定義進(jìn)行解答即可；②由三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，可得結(jié)論；③根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行解答；④根據(jù)三角形按角分類情況可得答案．解：①∵有兩個(gè)邊相等的三角形叫等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，∴等腰三角形不一定是等邊三角形，∴①錯(cuò)誤；②∵三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，∴②錯(cuò)誤；③∵兩邊相等的三角形稱為等腰三角形，∴③正確；④∵三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，∴④正確．故選：C．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中線，則由（）可得△AFC≌△AEB．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根據(jù)中線定義可得AE＝AC，AF＝AB，進(jìn)而得到AF＝AE，然后再利用SAS定理證明△AFC≌△AEB．解：∵BE、CF是中線，∴AE＝AC，AF＝AB，∵AB＝AC，∴AF＝AE，在△AFC和△AEB中，∴△AFC≌△AEB（SAS），故選：B．5．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△AA'P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA'，CC' C．△ABC與△A'B'C'面積相等 D．直線AB、A'B'的交點(diǎn)不一定在MN上【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．解：∵△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，∵P為MN上任一點(diǎn)，∴AP＝A'P，∴△AA'P是等腰三角形，∴A選項(xiàng)不符合題意；∵AP＝A'P，CP＝C'P，∴MN垂直平分AA'、CC'，∴B選項(xiàng)不符合題意；∵△ABC≌△A'B'C'，∴△ABC與△A'B'C'面積相等，∴C選項(xiàng)不符合題意；∵由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知直線AB、A'B'的交點(diǎn)一定在MN上，∴D選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．如圖，在△ABC中，BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過(guò)點(diǎn)E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，則△ADF周長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周長(zhǎng)＝AB+AC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】（1）證明：∵E是∠ABC，∠ACB平分線的交點(diǎn)，∴∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，∵DF∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，∴∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，∴DE＝BD，EF＝CF，∴DF＝DE+EF＝BD+CF，即DE＝BD+CF，∴△ADF的周長(zhǎng)＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，∵AB＝4，AC＝3，∴△ADF的周長(zhǎng)＝4+3＝7，故選：B．7．如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC＝45°，則∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進(jìn)而求出∠ECB＝45°，即可得出結(jié)論．解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故選：A．8．如圖，經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過(guò)程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【分析】依據(jù)尺規(guī)作圖，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，進(jìn)而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．解：由作圖可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；故選：A．9．如圖，△ABC的面積為1cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2【分析】延長(zhǎng)AP交BC于E，根據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積．解：延長(zhǎng)AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝0.5cm2，故選：B．10．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故（3）正確，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正確，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△PMN是等腰三角形，形狀是相似的，因?yàn)镻M的長(zhǎng)度是變化的，所以MN的長(zhǎng)度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，故選：B．二、填空題：11．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，則∠C是40°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故答案為：40．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DC＝3，則點(diǎn)D到AB的距離是3．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝DC即可得解．解：作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的角平分線，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵DC＝3，∴DE＝3，即點(diǎn)D到AB的距離DE＝3．故答案為：3．13．如圖，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于126°．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代換得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BFC＝66°，根據(jù)∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到結(jié)論．解：∵△ABF是等邊三角形，∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，故答案為：126°．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），△ABD和△ACD的面積分別表示為S1和S2，且S1＝S2，請(qǐng)說(shuō)出說(shuō)明AD是△ABC角平分線的依據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．【分析】先根據(jù)三角形的面積公式，推出DE＝DF，再根據(jù)（HL），證明Rt△DEA≌Rt△DFA，推角相等后得出結(jié)論．【解答】證明：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，∵S1＝，S2＝，∵S1＝S2，∴＝，∵AB＝AC，∴DE＝DF，∴AD是∠ABC角平分線；即AD是△ABC角平分線；∴AD是△ABC角平分線的依據(jù)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．故答案為：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．15．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為10．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案為：10．16．在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分線，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，則△ABC的周長(zhǎng)是42．【分析】延長(zhǎng)BE交AC于F，利用ASA證明△AEB≌△AEF，得BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，再證明FB＝FC＝8，由AD是∠BAC的角平分線，得，則AB＝10，即可解決問(wèn)題．解：如圖，延長(zhǎng)BE交AC于F，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF，在△AEB與△AEF中，，∴△AEB≌△AEF（ASA），∴BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，∵BE＝4，∴EF＝4，BF＝BE+EF＝8，∵∠AFE＝∠FBC+∠C，∴∠ABE＝∠FBC+∠C，∵∠ABC＝∠ABE+∠FBC＝2∠FBC+∠C＝3∠C，∴∠FBC＝∠C，∴FB＝FC＝8，∵AD是∠BAC的角平分線，∴，∴AB＝10，∴AC＝AB+FC＝18，∴C△ABC＝AB+AC+BC＝10+18+5+9＝42，故答案為：42．三、解答題：17．如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．【分析】由垂直的定義，DE＝DF，CE＝BF證明△BDF≌△CDE，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．18．如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），A、B、C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1．（1）請(qǐng)你畫出△A1B1C1并寫出A'的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積．【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）利用三角形的面積公式求解即可．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1（﹣3，4）；（2）．19．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求證：BE∥DF．【分析】根據(jù)角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行解答即可．【解答】證明：∵在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠B，DF平分∠D，∴∠EBF+∠FDC＝90°，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠FDC＝90°，∴∠EBF＝∠DFC，∴BE∥DF．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上的一點(diǎn)，且∠CBE＝∠CAD．求證：BE⊥AC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．【解答】證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C＝90°，又∵∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE+∠C＝90°，∴BE⊥AC．21．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形（請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證、證明的過(guò)程）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，即可寫出已知、求證，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可證明．【解答】已知：如圖：∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC，AE∥BC．求證：△ABC為等腰三角形．證明：∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠EAC＝∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠EAD＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．22．如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②判斷△CFH的形狀并說(shuō)明理由．【分析】①利用等邊三角形的性質(zhì)得出條件，可證明：△BCE≌△ACD；②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再運(yùn)用平角定義得出∠BCF＝∠ACH進(jìn)而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根據(jù)“有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形．【解答】①證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②△CFH是等邊三角形．理由如下：∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF＝∠CAH．∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACH＝60°．∴∠BCF＝∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF＝CH；∵CF＝CH，∠ACH＝60°，∴△CFH是等邊三角形．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，射線BE與射線AD交于點(diǎn)F．（1）在圖中，依題意補(bǔ)全圖形；（2）記∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大??；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等邊三角形，猜想EF和BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱即可得出結(jié)論；（2）先判斷出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BCF是直角三角形，結(jié)合△ACE是等邊三角形，即可得出結(jié)論．解：（1）如圖1所示；（2）如圖2，連接AE，由題意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2α，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴；（3），證明：如備用圖，連接AE，CF，由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α，∵點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，∴∠BCF＝90°﹣α，∵∠CBF+∠BCF＝90°，∴△BCF是直角三角形．∵△ACE是等邊三角形，∴α＝30°．∴∠CBF＝30°∴．24．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求證：CE平分∠ACF；（3）若AB＝2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需證∠BAD＝∠CAE即可得結(jié)論；（2）證明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；（3）將四邊形ADCE的周長(zhǎng)用AD表示，AD最小時(shí)就是四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)BD就是BC的一半．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE．（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠BCA＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠AC