高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI函數(shù)的單調(diào)性第三章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解函數(shù)單調(diào)性的含義,掌握利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法.(邏輯推理)3.能夠利用定義或圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯,對(duì)人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試,得到了以下一些數(shù)據(jù):時(shí)間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8~9小時(shí)后1天后2天后6天后一個(gè)月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明,記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù),艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.問題

(1)當(dāng)時(shí)間間隔t逐漸增大時(shí),你能看出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢嗎?通過這個(gè)試驗(yàn),你打算以后如何對(duì)待剛學(xué)過的知識(shí)?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的,對(duì)此,我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的概念1.函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D?I:如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是上升的函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是下降的函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示

2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.名師點(diǎn)析

(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),這個(gè)區(qū)間可以是整個(gè)定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個(gè)子集.(2)對(duì)于單獨(dú)一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),可以包括端點(diǎn),也可以不包括端點(diǎn),但在某些點(diǎn)無意義時(shí),單調(diào)區(qū)間不能包括這些點(diǎn).微練習(xí)1已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(

)答案

B微練習(xí)2如果(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定答案

D解析

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知,所取的兩個(gè)自變量的值必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能由函數(shù)的單調(diào)性比較其函數(shù)值的大小,故選D.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)(2020天津高一期末)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|(2)函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-1,0) B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1)答案

(1)C

(2)B作出函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(1,+∞).故選B.反思感悟

(1)一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性.①一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當(dāng)k>0時(shí),該函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),該函數(shù)在R上是減函數(shù).②二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對(duì)稱軸x=-為分界線.③反比例函數(shù)y=(k≠0)的單調(diào)性如下表所示.k的符號(hào)單

調(diào)

性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減k<0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增(2)對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)可以去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或作出函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性.延伸探究

已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].探究二證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟

利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒

作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.如本例.(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷這個(gè)函數(shù)在(-∞,-2)上的單調(diào)性并證明.探究三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小例3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與f的大小.分析要比較兩個(gè)函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小.反思感悟

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).變式訓(xùn)練2已知g(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)范圍.例4函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)答案

A要點(diǎn)筆記

含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應(yīng)明確若函數(shù)在某一區(qū)間I上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的子集,即I?D.變式訓(xùn)練3(2021陜西西安一中高一月考)如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)答案

A解析

∵二次函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的對(duì)稱軸為x=-=-(a-1)=1-a,拋物線開口向上,∴函數(shù)在(-∞,1-a]上單調(diào)遞減,要使f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則對(duì)稱軸1-a≥4,解得a≤-3.3.含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性問題例5(多選題)(2021廣東四會(huì)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)

是R上的函數(shù),且滿足對(duì)于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3答案

CD反思感悟

分段函數(shù)的單調(diào)性不要忽視分段函數(shù)定義域的分界點(diǎn)的大小,由于分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),因此對(duì)于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小應(yīng)滿足函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),否則求出的參數(shù)的范圍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

素養(yǎng)形成復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

【規(guī)范答題】解

由題意可知,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-2,且x≠4}.令u(x)=8+2x-x2,則u(x)在(-∞,-2),(-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4),(4,+∞)上單調(diào)遞減.函數(shù)g(u)=在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,可知g(x)

在區(qū)間(-∞,-2),(-2,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,4),(4,+∞)上單調(diào)遞增.即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,4),(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),(-2,1].方法點(diǎn)睛

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則:“同增異減”,即對(duì)于y=f(g(x))型的復(fù)合函數(shù),令t=g(x),則可以把它看成是由y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成的,若它們的單調(diào)性相同,則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù);若它們的單調(diào)性相反,則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù).答案

C

當(dāng)堂檢測1.(多選題)(2021山西大同一中高一期中)若函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]答案

AD解析

由圖可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4,-2],[1,4].故選AD.2.已知函數(shù)y=ax和y=-在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)=bx+a在R上是(

)A.減函數(shù)且f(0)<0 B.增函數(shù)且f(0)<0C.減函數(shù)且f(0)>0 D.增函數(shù)且f(0)>0答案

A解析

∵y=ax和y=-在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,∴a<0,b<0,則f(x)=bx+a在R上為減函數(shù),且f(0)=a<0,故選A.3.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=|x+1| B.y=3-xC.y=

D.y=-x2+4答案

A解析

由于x∈(0,1)時(shí),y=|x+1|=x+1,∴該函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以A選項(xiàng)正確;由于y=3-x是一次函數(shù),在(0,1)上單調(diào)遞減,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;由于y=是反比例函數(shù),在(0,1)上單調(diào)遞減,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;由于y=-x2+4是二次函數(shù),在(0,1)上單調(diào)遞減,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.4.若函數(shù)y=f