安徽省2025-2026中考數(shù)學(xué)壓軸題(含解析)安徽省2025-2026中考數(shù)學(xué)壓軸題(含解析)//安徽省2025-2026中考數(shù)學(xué)壓軸題(含解析)1.（2025安徽）如圖，這些等腰三角形及正三角形的形狀有差異，我們把這及正三角形的接近程度稱為“正度”。在研究“正度”時，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β。要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)。同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？（2）對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)（給出式子即可）；（3）請?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式解：（1）同學(xué)乙的方案較為合理。因?yàn)閨α-β|的值越小，α及β越接近600，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等?！?分同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|(zhì)4-8|=4……6分（2）對同學(xué)甲的方案可改為用等（k為正數(shù)）來表示“正度”……10分（3）還可用等來表示“正度”說明：本題只要求學(xué)生在保證相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子對“正度”作大致的刻畫，第（2）、（3）小題都是開放性問題，凡符合要求的均可。理科實(shí)驗(yàn)班試題（共兩小題，每小題10分，共20分）解：（1）滿足要求的分配方案有很多，如：學(xué)校1 2 3 4 5 6 7 8 9 10名額1 1 1 2 2 2 3 3 7 7……2分（2）假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額，而每校至少要有1名，則人數(shù)最少的分配方案是：每兩所學(xué)校一組依次各得1，2，3，4，5個名額，總?cè)藬?shù)為2（1+2+3+4+5）=30。但現(xiàn)在只有29個名額，故不管如何分配，都至少有3所學(xué)校分得的名額相同?！?分（3）假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4，并且每校的名額不少于1，則在分到相同名額的學(xué)校少于4所的條件下，10所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)最多不會超過3×4+3×3+3×2+1×1=28，這及選手總數(shù)是29矛盾，從而至少有一所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)不小于5?！?0分2.（2025安徽）形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：①②①②圖⑴①②仿上面圖示的方法，回答下列問題：操作設(shè)計：⑴如圖⑵對直角三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個及原三角形等面積的矩形。⑵如圖⑶對于任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個原三角形等面積的矩形。圖圖⑵圖⑶．⑴方法一：方法二⑵略。3、（2025?安徽）在一次課題學(xué)習(xí)中活動中，老師提出了如下一個問題：點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請說明理由；（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖1中畫出；（3）如圖2，A1，C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A1C1∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．解答：解：（1）的畫法正確；∵PE∥AD，∴△MPE∽△MNA，∴MPMN∵EM=2EA，∴MP：MN=2：3，∴點(diǎn)P是線段MN的一個三等分點(diǎn)．（2）能畫出一個符合題目條件的直線，在EB上取M1，使EM1=12AE，直線M1（3）若點(diǎn)P在線段A1C1（4）若點(diǎn)P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D當(dāng)點(diǎn)P在正方形A0B0C0D0當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C04.（2025安徽）如圖（l），凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個半等角點(diǎn)．(l)在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫一個半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β。(2)在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）.(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點(diǎn)P1、P2（如圖（2）），證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)。5.(2025安徽)如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，PQ∥BA交AD于點(diǎn)Q，PS∥BC交DC于點(diǎn)S，四邊形PQRS是平行四邊形。（1）當(dāng)點(diǎn)P及點(diǎn)B重合時，圖1變?yōu)閳D2，若∠ABD＝90°，求證：△ABR≌△CRD；（2）對于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時，你能推出四邊形ABCD還應(yīng)滿足什么條件？5.（1）證明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD∵BC=CD，∴∠BCR=∠DCR…2分∵四邊形ABCR是平行四邊形，∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR…4分又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD…6分（2）由PS∥QR，PS∥RD知，點(diǎn)R在QD上，故BC∥AD?！?分又由AB=CD知∠A=∠CDA因?yàn)镾R∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD?！?分由PS∥BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60°。…11分因此四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°……12分（注：若推出的條件為BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可。）6.（2025安徽）已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。第22題圖2第22題圖1第22題圖2第22題圖1【證】（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；【證】（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示。【解】2.證明：（1）過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足，由題意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC∴∠B＝∠C，從而AB＝AC?！?分（2）過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分別是垂足，由題意知，OE＝OF。在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFE?！唷螼BE＝∠OCF，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC?！?分解：（3）不一定成立。……10分（成立）（不成立）（注：當(dāng)∠A的平分線所在直線及邊BC的垂直平分線重合時，有AB＝AC；否則，AB≠（成立）（不成立）7.（2025安徽）剛回營地的兩個搶險分隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊(duì)因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)了發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊(duì)用1小時打通道路，已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時，二分隊(duì)的行進(jìn)速度為（4＋a）千米/時。⑴若二分隊(duì)在營地不休息，問二分隊(duì)幾小時能趕到A鎮(zhèn)？【解】⑵若二分隊(duì)和一分隊(duì)同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營地休息幾小時？【解】⑶下列圖象中，①②分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認(rèn)為所有可能合理的代號，并說明它們的實(shí)際意義。7.解：（1）若二分隊(duì)在營地不休息，則a＝0，速度為4千米/時，行至塌方處需（小時）因?yàn)橐环株?duì)到塌方處并打通道路需要（小時），故二分隊(duì)在塌方處需停留0.5小時，所以二分隊(duì)在營地不休息趕到A鎮(zhèn)需2.5+0.5+＝8（小時）……3分（2）一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)共需+1＝7（小時）（Ⅰ）若二分隊(duì)在塌方處需停留，則后20千米需及一分隊(duì)同行，故4+a＝5，即a=1，這及二分隊(duì)在塌方處停留矛盾，舍去；……5分（Ⅱ）若二分隊(duì)在塌方處不停留，則（4+a）(7－a)=30，即a2－3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合題意。答：二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營地休息1小時或2小時。（其他解法只要合理即給分）……8分(3)合理的圖像為（b）、（d）.……12分圖像（b）表明二分隊(duì)在營地休息時間過長（2＜a≤3），后于一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)；圖像（d）表明二分隊(duì)在營地休息時間恰當(dāng)（1＜a≤2），先于一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)?！?4分8.（2025安徽）如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE及BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．ABABMFGDEC（2）連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的長．8．（1）證：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（寫出兩對即可）……2分以下證明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．………………6分（2）解：當(dāng)α＝45°時，可得AC⊥BC且AC＝BC∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝…………7分又∵AMF∽△BGM，∴∴……………9分又，∴，∴…………12分9．（2025安徽）已知某種水果的批發(fā)單價及批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示．金額w（元）O批發(fā)量m（kg）金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060OO60204批發(fā)單價（元）5批發(fā)量（kg）①②第9題圖（1）O6O6240日最高銷量（kg）80零售價（元）48（6，80）（7，40）函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量及零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤最大．金額w（元）O批發(fā)量m（kg）金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060240可按5元/kg批發(fā)；……3分圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)．………………3分（2）解：由題意得：，函數(shù)圖象如圖所示．………………7分由圖可知資金金額滿足240＜w≤300時，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．……………8分（3）解法一：設(shè)當(dāng)日零售價為x元，由圖可得日最高銷量當(dāng)m＞60時，x＜6.5由題意，銷售利潤為………………12分當(dāng)x＝6時，，此時m＝80即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg，當(dāng)日可獲得最大利潤160元．……………14分解法二：設(shè)日最高銷售量為xkg（x＞60）則由圖②日零售價p滿足：，于是銷售利潤………12分10.（2025安徽）如圖，已知△ABC∽△，相似比為（），且△ABC的三邊長分別為、、（），△的三邊長分別為、、。⑴若，求證：；⑵若，試給出符合條件的一對△ABC和△，使得、、和、、進(jìn)都是正整數(shù)，并加以說明；⑶若，，是否存在△ABC和△使得？請說明理由。第11題圖11.（2025安徽）如圖，正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h第11題圖(1)求證h1=h3；【解】(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S.求證S=（h2+h3）2＋h12；【解】(3)若,當(dāng)h1變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況.【解】11.（2025安徽）（1）過A點(diǎn)作AF⊥l3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CH⊥l2分別交l2、l3于點(diǎn)H、G，證△ABE≌△CDG即可.（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且兩直角邊長分別為h1、h1+h2,四邊形EFGH是邊長為h2的正方形，所以.(3)由題意，得所以又解得0＜h1＜∴當(dāng)0＜h1＜時，S隨h1的增大而減??；當(dāng)h1=時，S取得最小值；當(dāng)＜h1＜時，S隨h1的增大而增大.12.（2025安徽）如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG及四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長；解：（2）求證：DG平分∠EDF;證：（3）連接CG，如圖2，若△BDG及△DFG相似，求證：BG⊥CG.證：12.解（1）∵D、C、F分別是△ABC三邊中點(diǎn)∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG及四邊形ACDG周長相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG∴BG=AC+AG∵BG=AB－AG∴BG==（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BG－BF=－∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD又∵DE∥AB∴∠EDG=∠FGD∠FDG=∠EDG∴DG平分∠EDF （3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD,△DFG是等腰三角形,∵△BDG及△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,則CD=BD=DG,∴B、CG、三點(diǎn)共圓,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG13.（2025安徽）如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）及運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)及O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m。（1）當(dāng)h=2.6時，求y及x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）（2）當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。第第13題圖13.解析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象上面的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足函數(shù)解析式，把x=0,y=2,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h中即可求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，并解決時間問題；（3）先把x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h中求出；然后分別表示出x=9,x=18時，y的值應(yīng)滿足的條件，解得即可.解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h即2=a(0－6)2+2.6，∴∴y=(x-6)2+2.6（2）當(dāng)h=2.6時，y=(x-6)2+2.6x=9時，y=(9－6)2+2.6=2.45＞2.43∴球能越過網(wǎng)x=18時，y=(18－6)2+2.6=0.2＞0∴球會過界（3）x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h得；x=9時，y=(9－6)2+h＞2.43①x=18時，y=(18－6)2+h＞0②由①②得h≥14．（2025安徽）我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：=；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD及∠ADC的平分線交于點(diǎn)E．若EB=EC，請問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論．（不必說明理由）解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE∥BC交PB于點(diǎn)E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB，∴AB=AE．∵在△ABE和△DEC中，，∴△ABE∽△DEC，∴，∴；（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∴∠BFE=∠CHE=90°．∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），∴∠3=∠4．∵BE=CE，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC=∠DCB，∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時，有兩種情況：如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，同理可以證明△EFB≌△EHC，∴∠B=∠C，∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時，同理可以證明△EFB≌△EHC，∴∠EBF=∠ECH．∵BE=CE，∴∠3=∠4，∴∠EBF﹣∠3=∠ECH﹣∠4，即∠1=∠2，∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．15.(2025年安徽省)如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點(diǎn)，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=60°；②求證：PM+PN=3a；（2）如圖2，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接OM、ON，求證：OM=ON；（3）如圖3，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說明理由．分析： （1）①運(yùn)用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+L