高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試卷一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：．故選：B2．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎蛄浚?，且，則實(shí)數(shù)的值為（）．A．4B．C．2D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：A3．（2022春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┤糁本€與直線平行，則的值為（）A．B．3C．3或D．或6【答案】B【解析】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，故，故選：B4．（2022春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谀┤鐖D所示,在正方體中,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,設(shè),則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題知,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,為中點(diǎn),則.5．（2022春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┮阎本€與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑為，如圖，所以圓心到直線的距離，則，又點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值．故選：A.6．（2022春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則（）A．1B．2C．-1D．1.5【答案】C【解析】，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故選：C7．（2022春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由題知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則有:,解得:或.故選:D8．（2022春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A．8B．6C．4D．2【答案】B【解析】設(shè)橢圓對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，雙曲線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，由于線段的垂直平分線過(guò)，所以有.根據(jù)雙曲線和橢圓的定義有，兩式相減得到，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，即最小值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022春·湖北武漢·高二武漢市第十一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓，直線，則（）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)D．若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，直線，所以，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得,故D項(xiàng)確.故選：AD10．（2022春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，且滿足，，，則（）A．B．C．的值是中最小的D．使成立的最大正整數(shù)的值為4043【答案】ABD【解析】由，，得，且，對(duì)于A，，故A正確，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的值是中最小的，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，故使成立的最大正整數(shù)的值為4043，故D正確，故選：ABD11．（2022春·山東濰坊·高二壽光市第一中學(xué)期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，，P，D三點(diǎn)共線B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，平面D．當(dāng)時(shí)，平面【答案】ACD【解析】由題意，如圖建系：則，，設(shè)，，則，可得，，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)P為對(duì)角線的中點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)可得三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，∴，解得，所以，則，因此不正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，，∴，，當(dāng)時(shí)，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，∴，而，∴，∴平面，故D正確．故選：ACD12．（2022春·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)在上的射影為，則（）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，線段的中點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過(guò)且斜率不為零的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2018春·湖南邵陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2017項(xiàng)和___________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，故.又，故，故.∴=，則數(shù)列的前2017項(xiàng)和為14．（2022秋·福建漳州·高二校考期末）如圖所示，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，長(zhǎng)方體的高為2，E?F分別在?AC上，且，則直線EF與直線的距離為___________.【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，則，則，又，則，解得，則，連接并延長(zhǎng)交于，由得為中點(diǎn)，同理可得連接并延長(zhǎng)也交于點(diǎn)，，畫出的平面圖，作于，由余弦定理得，則，，又，則直線EF與直線的距離為.15．（2019春·甘肅酒泉·高二?？计谀┊?dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，因M是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，于是得，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.16．（2021·全國(guó)·高二期末）橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A，C，如圖，點(diǎn)B在橢圓上，平面四邊形ABCD滿足，且，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為_________．【答案】6【解析】由題意得，設(shè)，由可得在以為直徑的圓上，又原點(diǎn)為圓上弦的中點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又可得，故圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為，將代入可得，又，解得，則，故短軸長(zhǎng)為.四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2022春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，又，．（2）由（1）知，，，①，②，故①-②得．，.18．（2022春·廣東佛山·高二順德一中期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是棱，上的的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）平面與平面的夾角的正切值為【解析】（1）證明：如下圖，由正方體，則以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由于，設(shè)，其中，則所以，則故；（2）要使三棱錐的體積取得最大值，只要的面積最大即可，由題意知，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，即分別為中點(diǎn)時(shí)的面積最大，則，設(shè)平面的法向量為，又，，則，令得，又正方體中平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，則，則所以平面與平面的夾角的正切值為.19．（2021·全國(guó)·高二期末）已知直線方程為.（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）時(shí)，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時(shí)直線方程為.【解析】（1）由直線方程整理可得：，由得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）由（1）知：直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，又所在直線方程為：，即，當(dāng)與直線垂直時(shí)，，解得：；則最大值；（3）由題意知：直線斜率存在且不為零，令得：，即；令得：，即；又位于軸的負(fù)半軸，，解得：；，令，則，，，，，則當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)直線的方程為：.20．（2022春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）已知圓和直線.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）相交；（2）；【解析】（1）因?yàn)橹本€，即恒過(guò)定點(diǎn)又因?yàn)閳A，即即圓心，半徑為因?yàn)樗渣c(diǎn)在圓內(nèi)，即直線與圓相交.（2）當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)可得弦長(zhǎng)的一半為，即最短弦長(zhǎng)為又因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)相同，故直線軸，則直線的斜率為，所以直線的方程為21．（2018春·福建福州·高二?？计谀┮阎獧E圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，，所以，即或，則，故，點(diǎn)到直線的距離，則的面積，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即面積的最大值為．22．（2022春·山東濰坊·高二濰坊一中期末）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l不過(guò)P點(diǎn)并與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（