（每日一練）高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識總結(jié)例題

高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識總結(jié)例題

單選題

1、若#=3,2y=4,則萬+y的值為（）

A.7B.IOC.12D.34

答案：C

分析：根據(jù)指數(shù)鬲的運算性質(zhì)直接進行求解即可.

因為產(chǎn)=3,2y=4,所以==3x4=12,

故選：C

2、函數(shù)1?=。'；2?=/；（&夕=。*；@?=&*的圖象如圖所示,2b,c.d分別是下列四個數(shù)：*%/3,

沖的一個，則久b,c,d的值分別是（）

A?*V3,.V3,*I，1

C?去I'V3,*D今?8’

答案：c

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.

由題圖，直線x=l與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為C,4a,b,而

4Z3

故選：C.

'x-2,xG(-00,0)

3、已知函數(shù)/(%)=(lnx,x6(0,1),若函數(shù)。(乃二/(均一瓶恰有兩個零點，則實數(shù)力不可熊是

—X2+4x-3,xE[1,4-oo)

()

A.-IB.OC.ID.2

答案：D

解析：依題意畫出函數(shù)圖象，函數(shù)。。)=/(無)-小的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=m的交點，數(shù)形結(jié)

合即可求出參數(shù)m的取值范圍；

(x-2,xe(-cc,0)

解：因為/■(>)-]Inx,xC(0,1),畫出函數(shù)圖象如下所示，

(-X2+4%-3,xG[1,4-co)

函數(shù)g(x)=/Q)-m的有兩個零點，即方程9(%)=f。)-7九=。有兩個實數(shù)根，即/(%)=血，即函數(shù)y=

f(x)與函數(shù)y=m有兩個交點，由區(qū)數(shù)圖象可得m<0或m=1,

2

小提示：函數(shù)零點的求解與判斷方法：

⑴直接求零點：令大力;0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

⑵零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間⑶仞上是連續(xù)不斷的曲線，且4分/他）＜0,還必須結(jié)合函數(shù)

的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點.

⑶利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值,

就有幾個不同的零點.

4、中國茶文化博大精深，某同學在茶藝選修課中了解到，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶

用80C。左右的水泡制可使茶湯清澈明亮，營養(yǎng)也較少破壞.為了方便控制水溫，該同學聯(lián)想到牛頓提出的物體

在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是%C。，環(huán)境溫度是拆C。，則經(jīng)過￡分鐘后物體的溫

kt

度JC。將滿足6=拆+（內(nèi)-0o）e-,其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).該同學通過多次測

量平均值的方法得到初始溫度為100C。的水在20C。的室溫中，12分鐘以后溫度下降到50C。,則在上述條件下，

100C。的水應(yīng)大約冷卻（）分鐘沖泡注綠茶（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln3?1.1）

A.3B.3.6C.4D.4.8

答案：B

3

分析：根據(jù)題意求出A的值,再將8=80C。，4=100C°,。()=20根代入6=吐+(%-。0為心即可求得￡的

值.

1

由題可知：50=20+(100-20)e-12k=(e-k)12=1=>e-fc=圖三

沖泡綠茶時水溫為8OC0,

ktk

故80=20+(100-20)-e-=(e")'=-4=>t?\ne-=In-4

吟12(ln3-2ln2)12(1.1-2x0.7)，

=>t=--2T=--------?---------=o3.6.

/3\備In3-3ln2l.l-3xft7

故選：B.

5、設(shè)函數(shù)7?Q)=lgQ2+D,則使得/(3%-2)>/(乃一4)成立的.1的取值范圍為()

A.gl)B.(-l1)c.(-81)口.(-8,-1)ug+8)

答案：D

分析：方法一:求出/(3x-2),/(x-4)的解析式直接帶入求解.

方法二：設(shè)t=x2+l,則y=Igt,判斷出〃切=lg(x2+1)在[0,+8)上為增函數(shù)由/'(3x-2)>f[x-4)得

|3x-2|>|x-4|,解不等式即可求出答案.

方法一：

?."(%)=lg(x24-1)

.??由f(3x-2)>f(x-4)得lg[(3x-2)2+1]>lg[(x-4)2+1],

則(3x—2)2+1>Q-47+1,解得％<一1或%>

方法二：

根據(jù)題意,函數(shù)/(》)=句(/+1),其定義域為R,

有/(一無)=+1)=fW，即函數(shù)f(%)為偶函數(shù)，

4

igt=x2+1,則y=Lgt,

在區(qū)間［0,+8)上，t=/+l為增函數(shù)且￡21,y=?t在區(qū)間［l,+8)上為增函數(shù)，

則fQ)=+1)在［0,+8)上為增函數(shù)，

/(3%-2)>/(x-4)=^>/(|3%-2|)>/(|%-4|)=|3x-2|>|x-4|,

解得力<-1或x

故選：D.

6、已知函數(shù)/(%)=3田+/+2,則/■(2%—1)>/(3—為的解集為()

A.(-8,g)B.C，+8)

C.(-2,》D.(-co,-2)U(p+oo)

答案：D

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性可得/(%)為偶函數(shù)，根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)在［0,+8)上的單調(diào)性，則可結(jié)合奇偶性與

單調(diào)性解不等式得解集.

解：因為/(%)=3國+/+2,則無￡R

所以/D=31rl+(-X)2+2=3憂?+爐+2=/(%),則f(x)為偶函數(shù)，

當工》0時，/(x)=3X+x24-2,又y=3*,y=/+2在［0,+8)上均為增函數(shù)，所以/(%)在［0,+8)上為增函

數(shù)，

所以/(2X-1)>/(3-幻，即|2工-1|>|3-汨，解得“<—2或

所以/(2x-1)>/(3-無)的解集為(-8,-2)U&+00).

故選：D.

7、已知函數(shù)八切是奇函數(shù)，當》>0時，fM=2x+x2,則/*(2)+/"(-1)二()

5

A.11B.5C.-8D.-5

答案：B

分析：利用奇函數(shù)的定義直接計算作答.

奇函數(shù)f(x),當％>0時，/(x)=2X+x2,

所以/(2)+/(-I)="2)-f(l)=2Z+2Z-(21+12)=5.

故選:B

logix,x>0,

8、已知函數(shù)/(%)=若關(guān)于x的方程/VQ)]=0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)日的取值范圍是

b-(3),'工°,

()

A.(-a),0)U(O,1)B.(-8,0)u(l,+co)C.(-8,0)D.(0,1)U(l,+oo)

答案：B

分析：利用換元法設(shè)t=fM,則等價為/(t)=0有且只有一個實數(shù)根，分Q<0,a=0,a>0三種情況進行討

論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出Q的取值范圍.

令/Q)=t,則方程/[/(%)]=。等價于/?(￡)=0,

當。=0時，此時當久40時，=a-=0,此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；

當a學0,則/(AQna.GywO,所以由/?)=心8/=0得t=1,

則關(guān)于>的方程/[f。)]=。有且只有一個實數(shù)根等價于關(guān)于*的方程/(%)=1有且只有一個實數(shù)根，作出人功

的圖象如圖：

6

當a<0時，由圖象可知直線y=l與y=/(x)的圖象只有一個交點，恒滿足條件；

當a>0時，要使直線y=1與y=八x)的圖象只有一個交點，

則只需要當“<。時，直線y=1與f")=a-G)”的圖象沒有交點，

因為xWO時，/(x)=a-e[a,4-OO),此時/(均最小值為a,

所以Q>1,

綜上所述，實數(shù)々的取值范圍是(-s,0)u(l,+8),

故選：B.

9、設(shè)m,n都是正整數(shù)，且九>1,若Q>0,則不正確的是()

A.戰(zhàn)=Va^B.(a2+a~2)2=a+a-1

m1

c.a-n=D.?°=1

答案：B

解析：由指數(shù)運算公式直接計算并判斷.

由6，九都是正整數(shù)，且九>1,a>0,s

7

得(Q5+a-z)2=(az)2+2az-a~24-(a-z)2=a+a-1+2,

故B選項錯誤，

故選：B.

10、函數(shù)二?j"，若函數(shù)g(x)=/'(%)一★ER)有3個不同的零點8b,Q貝1]2。+2匕+2c

I八I口f人乙

的取值范圍是()

A.[16,32)B.[16,34)C.(18,32]D(18,34)

答案：D

分析作出函數(shù)y=/Q)的圖象和直線y=t,它們的交點的橫坐標即為9(%)的零點，利用圖象得出見瓦c的性

質(zhì)、范圍，從而可求得結(jié)論.

作出函數(shù)y=/'(%)的圖象和直線y=t,它們的交點的橫坐標即為g(x)的零點，如圖，

則1-2。=2b一1,4<c<5,

2a+2h=2.2CE(16,32),所以18<2。+2b+2。<34.

故選：D.

小提示：關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點問題，解題關(guān)鍵是把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點的橫坐標,

從而可通過作出函數(shù)圖象與直線，得出零點的性質(zhì)與范圍.

多選題

8

11s設(shè)函數(shù)fa)=Q/+b%+c(a,AcWR,a>0),則下列說法正確的是()

A.若f(x)=%有實根，則方程/'(/?(口)=”有實根

B.若fM=>無實根，則方程/(f。))=%無實根

c.若/'(一<0，則函數(shù)y=fO)與y=f(/(x))都恰有2個零點

D?若f(f(2?))v0'則函數(shù)y=f(x)與y=f(f(%))都恰有2零點

答案：ABD

分析:直接利用代入法可判斷A選項的正誤；推導出/?(%)-%>0對任意的XER恒成立，結(jié)合該不等式可判斷

B選項的正誤；取/(%)=/-%,結(jié)合方程思想可判斷C選項的正誤；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項

的正誤.

對于A選項，設(shè)/■(%)=%有實根%=%(),則/(/(%))=fOo)=%o，A選項正確；

對于B選項，因為Q>0,若方程fQ)=%無實根，則/(工)一%>0對任意的XER恒成立，

故/(/(%))>/。)>乙從而方程/V。))=%無實根，B選項正確；

對于C選項，取/"(%)=/-居貝“&)=—；<0,函數(shù)y=/(x)有兩個零點，

W(/(x))=l/-(x)]2-/(x)=0,可得/(%)=()或f(x)=l,即/一％=0或/一%=1.

解方程小一%=0可得％=0或1,解方程/一工一1=0,解得％=竽

此時，函數(shù)y=/■(/(%))有4個零點，C選項錯誤；

對于D選項，因為(一/))<0,設(shè)亡=/(一/)，則t=/a)min，

因為/(￡)<。且a>0,所以，函數(shù)/0)必有兩個零點，設(shè)為與、％2且工1V不，

則與〈七<小，所以，方程/(%)=/無解，方程/'(%)=不有兩解

9

因此，若/■(/(—/))<0,則函數(shù)y=/(x)與y=/(/(%))都恰有2零點，D選項正確.

故選：ABD.

小提示：思路點睛：對于復合函數(shù)y=Hg(%)］的零點個數(shù)問題，求解思路如下：

(1)確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=/(〃)；

(2)確定外層函數(shù)y=/Q)的零點u==1,2,3,…,九)；

(3)確定直線〃=〃《=1,23-,71)與內(nèi)層函數(shù)1/=。(外圖象的交點個數(shù)分別為。1、a?、。3、…、Q〃，則函數(shù)

y=/Ig(x)］的零點個數(shù)為%+。2+。3+…+。巾

12、關(guān)于函數(shù)/X刈nlMl+x)-ln(3-x),下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)在(-1,3)上單調(diào)遞增B.y=/(幻的圖象關(guān)于直線x=1對稱

C.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱D.〃無)的值域為R

答案：ACD

分析：先求出函數(shù)/'(%)的定義域，化簡/(%)得f(x)=lnS，令t(x)=S，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性和值域；

3—X3—X

化簡函數(shù)得到/(1+%)=-/(1一幻，f(l+%)—),所以得到y(tǒng)=/(%)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,最

終得到答案.

10

函數(shù)/(X)的定義域是(-1,3),/Q)=ln三.

令《(乃=不易知在上單調(diào)遞增，

3-XX—3-1(*3),t(x)(-1.3)

所以￡(%)>t(-1)=0,所以/(%)=〃￡(%)在(-1,3)上單調(diào)遞增，

且值域為R.故A,D正確.

當XG(—2,2)時，1+、￡(-1,3),1-XG(-1,3),/(l+x)=ln^,/(l-x)=ln|^.

所以/(1+X)=-/(1一%),/'(1+工),/(1一幻.所以丫=/。)的圖象關(guān)于點(L0)對稱.故B錯誤，C正

確.

故選：ACD.

小提示：本題考查復合函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，屬于基礎(chǔ)題型.

13、下列各式化簡運算結(jié)果為1的是()

A.log53xlog32xlog25B.lgV2+；lg5

,n3

C.log布>。且Q*1)D.e-(0.125)一彳

答案：AD

分析：根據(jù)指對數(shù)的運算性質(zhì)依次分析各選項即可得答案.

解：對于A選項，原式二5f|x}f|x震=1;

唱〉IgJ

對于B選項，原式=；lg2+，g5=glg(2x5)=g；

對于C選項，原式=2但而。=2x2=4；

對于D選項，原式=3-8s=3—2=1.

故選：AD.

14、(多選)某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,

11

現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少（則使產(chǎn)品達到市場要求的過濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：電2《

0.301,Ig3x0.477）

A.6B.9C.8D.7

答案：BC

分析：因為每過濾一次雜質(zhì)含量減少9,所以每過濾一次雜志剩余量為原來的，由此列式可解得.

設(shè)經(jīng)過幾次過濾，產(chǎn)品達到市場要求，則總x（|）n4高，即（|）”《或，由汨g|4一lg20,即Mlg2-lg3）《

一（1+睇），得"盤"7.4,

故選BC.

小提示：本題考查了指數(shù)不等式的解法,屬丁基礎(chǔ)題.

15、已知函數(shù)丫=1無式”+，）（。"為常數(shù)，其中。>0,。學1）的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是（）

A.a>lB.0<a<l

C.c>lD.0<c<l

答案：BD

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象判斷.

由圖象知ovaVI,可以看作是y=logaX向左移動C個單位得到的，因此0VCV1,

故選：BD.

12

填空題

16、已知函數(shù)/(%)=/-2|燈一1,若關(guān)于％的方程f(x)=x+m有四個根，則實數(shù)m的取值范圍為

答案：(一a-1)

分析：分離變量，畫出特定函數(shù)的圖像即可.

由fQ)=x+m,得m=/(x)-x=x2-2\x\-x-1

令g(%)=7-2兇-％-1=(x2~3x一尸，畫出圖像

Ixz+x-l,x<0

由圖可知，當一9Vm<一1時，方程7n=/(x)-x有四解,

即方程f(x)=%+m有四個根.

故答案為：(一：,-1)

17、已知a=lg5,用a表示lg20=.

答案：2-。

分析：直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解

因為Q=lg5,

所以lg20=1g券=IglOO-Ig5=2-a,

13

所以答案是：2-Q

18、函數(shù)/(%)=logi(x2-5x+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

2

答案：3+8)

分析：利用對數(shù)型復合函數(shù)性質(zhì)求解即可.

由題知：/-5x+6>0,解得％>3或x<2.

令亡=%2-5%+6,則y=log"為減函數(shù).

2

所以「七(一8,2),￡=/-5%+6為減函數(shù)，/'(%)=logKx?-5%+6)為增函數(shù)，

2

tW(3,+8),亡=/-5%+6為增函數(shù)，/(x)=logKx2-5x+6)為減函數(shù).

2

所以函數(shù)/'(%)=10(x2-5x4-6)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+8).

g2i

所以答案是：(3,+8)

解答題

19、已知函數(shù)f(%)=2%一余.

(1)若f(x)=2,求2*的值；

(2)若2斤(2￡)+加/?)之0,對于任意t￡[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

答案：(1)V2+1；(2)m>-5

分析：(1)當“<0時，/(X)=0芋2,舍去，

當x>0時，/(X)=2x-^=2,即(2守一2?2、-1=0,2、>0.基礎(chǔ)即可得出.

(2)當tW[l,2]時，2￡/(2t)+m/(t)>0,即2，(22。一擊)+6(2'—/)〉0,即^(2"-1)》一(2次一

1).化簡解出即可得出.

解：(1)當“<。時，/(x)=0H2,舍去；

14

當;00時，/-(x)=2x-^=2,gp(2x)2-2-2X-1=0,2X>0.

解得嚴=1+a.

(2)當tw[l,2]時,27(2t)+m/(t)>0,即—表)+皿2,