2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)三次函數(shù)的性質(zhì)研究目錄類型1 三次函數(shù)的圖象及應(yīng)用類型2 三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題類型3 三次函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求導(dǎo)得f'(x)=3ax2+2bx+c,當(dāng)Δ=4(b2-3ac)>0時(shí),

不妨設(shè)f'(x)=0的兩個(gè)實(shí)根是x1,x2,且x1<x2.1.三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>0a<0f(x)圖象

f'(x)圖象Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0

單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間:(-∞,x1)和(x2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間:(x1,x2)單調(diào)遞增區(qū)間:(-∞,+∞)單調(diào)遞增區(qū)間:(x1,x2);單調(diào)遞減區(qū)間:(-∞,x1)和(x2,+∞)單調(diào)遞減區(qū)間:(-∞,+∞)極值f(x1)為極大值f(x2)為極小值無(wú)極值f(x1)為極小值f(x2)為極大值無(wú)極值對(duì)稱中心任何三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心,且對(duì)稱中心的坐標(biāo)為

注意三次函數(shù)要么無(wú)極值點(diǎn),要么有兩個(gè),不可能只有一個(gè).2.一元三次方程的根的情況

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0時(shí))對(duì)應(yīng)的方程根的情況:

b2-3ac>0b2-3ac≤0圖象

f(x1)·f(x2)<0

f(x1)·f(x2)=0

f(x1)·f(x2)>0

f(x)=0根的個(gè)數(shù)3211類型1三次函數(shù)的圖象及應(yīng)用例

(2024山西朔州月考)函數(shù)f(x)=ax3-bx2+cx的圖象如圖,且f(x)在x=x0與x=1處取得極

值,給出下列判斷,其中正確的是

(

)A.c>0B.a<0C.f(1)+f(-1)>0D.函數(shù)y=f'(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減

C

思路導(dǎo)引

解析由圖知x→+∞時(shí),f(x)→+∞,所以a>0,故B中判斷錯(cuò)誤;f'(x)=3ax2-2bx+c,由韋達(dá)定理得

所以

故A中判斷錯(cuò)誤;f(1)+f(-1)=-2b>0,故C中判斷正確;f'(x)=3ax2-2bx+c圖象的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸x=

<0,所以函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故D中判斷錯(cuò)誤.故選C.方法總結(jié)

對(duì)于三次函數(shù)的圖象,要熟知總體的變化趨勢(shì),x3的系數(shù)a的正負(fù)與單調(diào)區(qū)間直接相

關(guān);由極值點(diǎn)的正負(fù),f'(x)=0,結(jié)合韋達(dá)定理可確定其他未知數(shù)的正負(fù).類型2三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題例給出定義:設(shè)f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),f″(x)是函數(shù)f'(x)的導(dǎo)函數(shù),若方程f″(x)=0

有實(shí)數(shù)解x=x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)圖象的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象都有“拐點(diǎn)”,且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)

稱中心.已知函數(shù)f(x)=

x3-

x2+3x-

.(1)求f(x)圖象的對(duì)稱中心;(2)求f

+f

+…+f

的值.思路導(dǎo)引

(1)

(2)利用倒序相加法求.解析

(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,令f″(x)=0,可得x=

,又f

=1,所以f(x)圖象的對(duì)稱中心為

.(2)因?yàn)閒(x)圖象的對(duì)稱中心為

,所以f(x)+f(1-x)=2.(若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a,b)中心對(duì)稱,則有f(x)+f(2a-x)=2b)設(shè)A=f

+f

+…+f

,則A=f

+f

+…+f

,所以2A=f

+f

+f

+f

+…+f

+f

=2×2022,故A=2022,即f

+f

+…+f

=2022.類型3三次函數(shù)的零點(diǎn)例已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3處取得極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.思路導(dǎo)引

(1)

(2)

解析

(1)f

'(x)=3ax2+2bx-3.因?yàn)閒(x)在x=1和x=3處取得極值,所以x=1和x=3是方程f

'(x)=0的兩個(gè)根,則

解得

經(jīng)檢驗(yàn),符合已知條件,所以f(x)=-

x3+2x2-3x.(2)由(1)知f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上單調(diào)遞減,在(1,3)上單調(diào)遞增,又f(1)=-

+2-3=-

,f(3)=-9+1