高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一本全,復(fù)習(xí)精品大全集，高分必備

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一本全

目錄

前言..................................................2

第一辛高中數(shù)學(xué)解題基本方法.......................3

一、配方法................................3

二、換元法..................................7

三、待定系數(shù)法............................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學(xué)歸納法............................23

六、參數(shù)法................................28

七、反證法................................32

八、消去法...............................

九、分析與綜合法.........................

十、特殊與一赦法.........................

十一、類比與歸納法.....................

十二、觀察與實臉法.....................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想...................35

一、數(shù)形結(jié)合思想..........................35

二、分類討論思想...........................41

三、函數(shù)與方程思想.........................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想.......................54

第三章高考熬點問題和解題策略...................59

一、應(yīng)用問題...............................59

二、探索性問題.............................65

三、選擇題解答策略.........................71

四、填空題解答策略.........................77

附錄............................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析.....................

二、兩套高考模擬試卷.....................

三、參考答案.............................

前言

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。

而當(dāng)我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、

數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。

高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要

的教學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使

自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和

符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，

只能夠領(lǐng)會和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受

用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，

可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、學(xué)握數(shù)學(xué)知識的

同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)未質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)

思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：

配方法、換元法、待定系數(shù)法、教學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、

類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討

論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了

近幾年的高考試卷。

在母節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是

一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。鞏

固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾

何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，

從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，

從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次

方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a?+2ab+b2,將這個公式靈活運(yùn)用，

可得到各種基本配方形式，如：

a24-b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab;

b/J

a-+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+~)24~(-r-b)2;

22

a'4-b2+c2+ab+bc+ca=-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab4-bc+ca)=(a+b-c)2—2(ab-be—ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

l+sin2a=l+2sinacosa=(sina4-cosa)2；

x2d--—(xd—)2—2=(x---)2+2;....等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a”｝中，at*a5+2a3*a5+a3*a7=25,則a3+a5=。

2.方程x2+y2—4kx—2y4-5k=0表示圓的充要條件是。

A.1<k<lB.k"或k>lC.k￡RD.k=《或k=l

4

3.已知sina+cos"a=1,則sina+cosQ的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log|(-2x?+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是o

A.(—°°,4]B.[4,+°°)C.(—f,4]D.[f,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-l=0的兩根x1、x2,則點P(x]，x?)在圓x?+y?=4上，則實數(shù)a=。

【簡解】

1小題：利用等比數(shù)列?性y質(zhì)iiii將if已tii知等式左邊后配方(aj+a,)?易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x-a)2+(y-b)2=”，解”〉o即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成($[/(1+(^0$2(1)2—2$1/<1(：0$；;(1=1,求出sinacosa,然后求出所

求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3—JFT。

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條枝的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為o

A.2百B.C.5D.6

2(xy+yz+xz)=11

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則_，而欲

4(x+>+z)=24

求對角線長廬萬壽，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條橫的長度之和為24”

2(xy+yz+xz)=I1

而得：o

4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：yjx2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(盯+yz+xz)=V62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于籽兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，

容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的

一種解題模式。

例2.設(shè)方程x?+kx+2=0的兩實根為p、q,若(K)2+(Z)?W7成立，求實數(shù)k的取值范圍。

qP

【解】方程x?+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

(P、2』q、2__(p2+/)2-2p%2_[(p^q)2-2pqY-2p2q2_(k2-4)2-8

7)V)—標(biāo)W=-4—、

7,解得kW-JfG或k>.

又???p、q為方程x2+kx+2=0的兩實根，:.Zk=k2—820即k22后或kW—20

綜合起來，k的取值范圍是：一JidWkW—2五或者2后WkWjiH。

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“A”；已知方程有兩根時，可以恰當(dāng)

運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，

表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉

對“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求(一^7)儂+(上)小。

a+ba+b

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(f)2+(￡)+1=0,則f=u)(3為1的立方虛根)；或配

bbb

方為(a+b)2=ab0則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=O變形得：(?)2+(g)+i=o,

bb

設(shè)3=f,則3?+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：一=—,3'=。'=1。

bcoa

又由a2+ab+b?=0變形得：（a+b）2=ab,

所以（上7”998+（0_）1998=（￡.）999+（4.）999=（色）那+（2）999=3須+石999=2。

a+ba+bababba

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表達(dá)式中的高

次賽。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

f]I?

【另解】由a?+ab+b2=0變形得：（:）？+（?。?1=0,解出一=-------后，化成三角形式,

bba2

fI+

代人所求表達(dá)式的變形式（fL型+lX）。99后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未一二聯(lián)想到3

ba2

時進(jìn)行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+b?=0解出：a=-b,直接代入

所求息達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣英佛定理完成最后的計算。

川、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=（x—a）2+（x—b）2（a、b為常數(shù)）的最小值為。

A.8B.（"3C.-+?D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2-2ax+a+6=0的兩實根，貝MQ-1尸+（0-1）2的最小值是。

A.一乎B.8C.18D.不存在

3.已知x、yeR+,且滿足x+3y-l=0,貝”函數(shù)t=2"+8'有。

A.最大值2&B.最大值立C.最小值2應(yīng)B.最小值在

22

4.橢圓X?—2ax+3y，+a2—6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，則a=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2Jl-sin8+j2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F1和F、為雙曲線H-y2=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NF|PF,=90°,則ZiFiPF、的

4

面積是O

7.若x>-l,則f（x）=x2+2x+_!_的最小值為o

x+\

8.已知￡<0<a<2n,cos（a-0）=12,sin（a+0）=~求sin2a的值。（92年高考題）

24135

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax?+Bx+C,給定m、n(m<n),且滿足A:1L(m+n)，m'n?」+2ALB：m+n)—Cmn」

22

+B+C=OO

①解不等式f(x)>0;

②是否存在一個實數(shù)t,使當(dāng)t￡(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存在，指出t的

取值范圍。

4422

10.設(shè)s>l,t>l,mGR,x=log,t+logfs,y=logst+log,s+m(logv14-log,s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義城；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對

象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件

顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、

函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，

某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不

等式：4，+2'—220,先變形為設(shè)2r=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點

::

聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=6+Ji二工的值域時，易發(fā)現(xiàn)設(shè)*=$S(1,ae[0,—]f

問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號

的需要。如變量x、y適合條件x?+y2=r2(r>0)時，則可作三角代換x=rcos8、y=rsin6化為三角

問題。

SS

均值換元，如遇到x+y=S形式時，設(shè)x=]+t,y=]—t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一

定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能獷大。如上幾例中的t>0和a￡[0,

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(X：+1)=log“(4—x-)(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a“｝中，a)=-l,a用?a”=a〃+[-a-,則數(shù)列通項2劉=。

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足X?+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是。

1-x

5.方程'=3的解是o

1IJ

r

6.不等式log2(2'—1)?log2(2"-2)〈2的解集是.

「?

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=tw［一行，行］,則y=;~+t一弓，對稱軸t=-1,當(dāng)t=叵,

+

ymax=2；

2小題：設(shè)x:+l=t則f(t)=log〃[-(t-1)?+4],所以值域為(-8,log.4];

1

3小題：已知變形為一--------=-1,設(shè)b“=—,則b|=-1,b“=-1+(n-1)(T)=—n,所以

an

1

a=------

4小題：設(shè)x+y=k,則x,-2kx+l=0,Zk=4k?—420,所以kel或k4一1;

5小題：設(shè)3'=y,則3y?+2y—1=0,解得y=；,所以x=—1;

6小題：設(shè)log、(2、-1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xW(log,：,log、3)。

?44,

II、示范性題組:

1

例1.實數(shù)x、y滿足4x?—5xy+4y°=5（①式），設(shè)S=x?+y2,求三一+丁的值。（93

3maxSmin

年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

x=Mcosa

【分析】由S=x'+y?聯(lián)想到cos2a+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)，代入①式

y=力Ssinci

求Smax和Smin的值。

x=Vscosa

【解】設(shè)代人①式得：4S—5S?sinacosa=5

y=Msina

10

解得s=E獲

1()1()1()

VTWsin2aWl3W8-5sin2aW13:.—W----------

138-5sina

1313168

—+

Smin元+

max而一歷一三

8s-108s—10

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=―的有界性而求，即解不等式：I——

3

這1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

【另解】由S=x'+y2,設(shè)x2=g+t,y2=y-t,y],

貝4xy=±代入①式得：4S±5

移項平方整理得100t2+39S2-160S4-100=0。

,1010

???39s2—160S+100W0解得：

11_3n_26_8

二歷+歷=而=m

【注】此題第一種解法屬于'三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公式cos?a+sii?

a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換

元法”，主要是由等式S=x?+/而按照均值換元的思路，設(shè)x?=9+t、y2=l-t,減少了元的個數(shù)，

22

問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x=a+b,y=a

一b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題諛x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a?

+131)2=5,求得所以S=(a—b”+(a+b)2=2(a2+b2)=2+《a2g],

再求止+9一的值。

“max°min

11V2A-C

例2.ZkABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,-------4--------=----------，求cos「一的值。

cosAcosCcosB2

(96年全國理)

A+C=120°

【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得);由“人

B=60。

A=60°+QA—C

+C=120°”進(jìn)行均值換元，則沒《°,再代入可求cosa即cos「一

C=60—a2

A+C=120°

【解】由中已知A+C=2B,可得

5=60°

A=60°+a

由A+C=120°,設(shè)《代入已知等式得:

C=60°-a

___1_+_1___=1__________+______1____=________1_______+________1_______

cosAcosCcos(60°4-a)cos(60°-a)1V31V3

-cosa--sina-cosa+—sina

2222

cosa_cosa

=—2V2,

1~2o~~3

一cos-a——smacos-a--

444

3叵A-CV2

解得：cosa=-乙-即：COS-------=--

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°B=60°。所以-----+------=--------

cosAcosCcosB

=-2V2,設(shè)-----=-V24-m,-------=—V2-m,

cosAcosC

所以cosA=----------,cosC=-----------,兩式分別相加、相減得:

—J2+/〃一“2一"2

A+CA-CA-C2V2

cosA+cosC=2cos---cos---=cos---=—;—-,

222m~-2

A+CA—Cr—A—C2m

cosA-cosC=-2sin---sin---=-v3sin---=—s—-,

222rn--2

A-C2m2V2A-C.,A-C.

即：sin-------=----f=—;---,=----;——,代u人sin2----------Feos--------=1整理得：3m-16m

273(/T?2-2)-222

-12=0,解出m2=6,代入cos-------=-；------=——?

2m~-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、“一!■二+」==一2&”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合

cosAcosC

三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假

如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)用直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°.所以」

cosA

d-----=-------=-242,即cosA+cosC=-2J5cosAcosC,和積互化得：

cosCcosB

A+CA-C?A-C叵信，、叵

2cos-------cos--------=—\[2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos-------=-------V2cos(A-C)=——

22222

r-A-Cr-A-CA-Cf—

V2(2cos------------1),整理得：4A/2COS"-----------F2cos----------3,2=0,

JLJ

*°A-CV2

解得：COS---=—

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大

值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,則J5],由(sinx+cosx)?=

er2-1

14-2sinx?cosx得:sinx?cosx=---

2

/.f(x)=g(t)=——(t—2a)2+—(a>0),tG[-V2,A/2]

t=-時，取最小值：-2a：-2j^a—5

當(dāng)2ae時，t=,取最大值：-2a2+2>/^a一不:

當(dāng)0<2aWj5時，t=2a,取最大值：-。

1八V2

-(0<ez<—)

/.f(x)的最小值為一2a—-2a一不，最大值為，

1歷。

-2/+2\[2a——{a>

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的內(nèi)在聯(lián)系，

將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新

的叁數(shù)的范圍(t.E[-V2,])與sinx+ccsx對應(yīng)，否則將會由錯。本題解法中還包含了含參問題時

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而璃定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的教大使和最小值的

題型時，即函數(shù)為f(sinx土cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函

數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式X：log,+1)+2xlog,---;+log、(“：?\2>0恒成立,求a

-a-〃+1~4a~

的取值范圍。(87年全國理)

【分析】不等式中】啊也詈log、27、log、"2-三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變

-。+1-W

形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

2a,4(。+1)8(。+1)a+1la

【解】設(shè)log。-----=t,則log,-------=log,----=3+log、——=3-log---7

-a+\a-la-2a2a+\

(a+I)2a+\

-

log,Y2=2hg2-=2t,

4a-2a

代入后原不等式簡化為(3-t)x24-2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以:

3-r>0，v32a

.,解得，＜。或，＞6.,.僅。即】吟石7＜。

A=4/2+8r(3-r)<0

0＜津2〃-＜1,解得0＜a〈l。

a+\

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是

發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og4U/+1）

2log,^-.log,"‘："三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問

■6/+1-4a-

題材，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運(yùn)舞十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方

程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換

元，這是我們思考解法時要注意的一點。

sin。cos20sin2010X

例5.已知且----$---1----i~;-------（②式），求一的值。

X廠廠3(廠+)，2)y

*QQ

【解】設(shè)^---=￡25—=k,貝ijsin0=kx,cos9=ky,且sin?6+cos‘8=k?(x，y2)=1,

x),

k2y2,k2x21010公y2x210

代人②式得:-------+-------=---------------=-------即：>+了

x2y23(/+),2)3T

??個士6或。

設(shè)一y=t,則t+-=3,解得：t=3或一

yt33

?02Q

【另解】由±=*==tge,將等式②兩邊同時除以8s,,再表示成含tgs的式子：i+tg'

ycosHx

,1010,,,,

e=（i+，g，e）x---------j—=—tg-e,設(shè)tg-e=t,則31一iot+3=o,

一而

|x

?,.t=3或二，解得一=±J5或土'-

3y3

sin0cos9

【注】第一種解法由------=--------而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法

XV

xsin0

將已知變形為一=——不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg6,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較

ycosH

熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

1\22

例6.實數(shù)x、y滿足「1）=1,若x+y-k）0恒成立，求k的范圍。

916

【分析】由已知條件一［1)+(''?)=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a2+b2=l有相似之處，于是實施三角

916

換元。

2

【■解.】由.k+(y+1)設(shè)x亍-1ee，Vy+1=sine^

x=1+3cos0

即：代入不等式x+y—k>0得:

y=-1+4sin。

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(6+ip)

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒成立的問題，

再運(yùn)用“分離參數(shù)法"轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙

曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用敷形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by+c>0(a>0)

所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題

化為圖形問題：橢圓上的點始終征于平面上x+y-k>0的區(qū)

域，即當(dāng)直線x+y-k=0在與橢圓下部相切的切線之下時?(>

?16(x-l)2+9(y+l)2=144

當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組4

1+y—攵=()

有相等的一組實數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以

k<-3時原不等式恒成立。

III、鞏固性題組：

1.已知f(x')=lgx(x>0),則f(4)的值為°

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.21g4

333

2.函數(shù)y=(x+l)'+2的單調(diào)增區(qū)間是o

A.[-2,+oo)B.[-1,+oo)D.(-8,+8)C.(-00,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差d=；,且SM=145,則@[+a3+25+....+a§9的值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x2+4y2=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a20,b，0,a+b=l,則J”++J)+_L的范圍是。

6.不等式?>ax+2的解集是(4,b),則a=,b=。

2

7.函數(shù)y=2x+Jx+1的值域是o

8.在等比數(shù)列｛a“｝中，a1+a2+*^4-a10=2,a”+2合+…+a3c=12,求a%+23?+,??+a60。

9.實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x,不等式

sin'+Zmcosx+dm—1<0恒成立。

10.已知矩形ABCD,頂點C(4,4),A點在曲線x?+y2

=2(x〉0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、

y軸，求矩形ABCD的最小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定

系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)三晨x)的充要條件是：對于一個任意的a

值，都有f(a)三g(a);或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形

式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，

主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如

分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的

數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

使用特定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定

的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知

的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=]+m,f(x)的反函數(shù)f7(x)=nx—5,那么m、n的值依次為。

5555

A.—,—2B.——,2C.—,2D.——,―2

2.二次不等式ax?+bx+2>0的解集是(——,—),則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(l-x，)(14-x)1°的展開式中，x'的系數(shù)是o

A.-297B.-252C.297D.207

31

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為—,最小值為一5,則y=-4asin3bx的最小正周期是。

5.與直線L:2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線1/的方程是。

2

6.與雙曲線X?一二=1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是o

【簡解】1小題：由f(x)="1■+m求出f"(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C;

2小題：由不等式解集(