【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學一輪復習第七章空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

及其三視圖和直觀圖訓練理新人教A版

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)1.對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查，很少單

構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中獨命題,多與命題真假判斷相結(jié)合.在考杳

簡單物體的結(jié)構(gòu).線面位置關(guān)系時，常以幾何體為載體.

2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、2.對三視圖的考查一直是高考的考查重點，

圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別且有以下特點：

上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測(1)多以選擇題或填空題的形式考查.

法畫出它們的直觀圖.(2)單獨考查三視圖問題，如年福建T4,湖南

3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡T3等.

單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)

形的不同表示形式.合，考查三視圖的還原問題，如年新課標全

4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不國T7,安徽T12,廣東T6,天津T10,遼寧

影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有T13等.

3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三

嚴格要求).

視圖的還原問題中，高考幾乎不單獨命題.

位順材i筋期因閽知i識■司闈冠打僦I備國展礎(chǔ)1

［歸納-知識整合］

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

多面體①棱柱的側(cè)棱都互相平行,上下底面是互相平行且全等的多邊形

②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形

③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相互平行且柜似的

多邊形

①圓柱可以由矩密繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到

②圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到

旋轉(zhuǎn)體③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由

隹于圓錐底面的平面截圓錐得到

④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到

［探究］1.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？

提示：不一定.如圖所示，盡管幾何體滿足了兩個平面平行且其余各面7\

都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行.

2.中心投影與平行投影

平行投影的投影線是平行的,而中心投影的投影線相交于一點.在平行投影中投影線垂

直于投影面的投影稱為正投影.

3.三視圖與直觀圖

空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的,它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,

三視圖

其畫法規(guī)則是：長對正,高平齊,寬相等

空間幾何體的直觀圖常用斜三測畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：

①畫幾何體的底面

在已知圖形中取互相垂直的X軸、y軸，兩軸相交于點畫直觀圖時，把它們

畫成對應的y軸、/軸，兩軸相交于點0,且使//0'/=45°（或

135。）,已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于/軸、

直觀圖

/軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變,平行于y

軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

②畫幾何體的高

在已知圖形中過。點作Z軸垂直于十處平面，在直觀圖中對應的/軸，也垂直

于/O'y平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z'軸

且長度不變

［探究］2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定用同嗎？

提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同.

［自測?牛刀小試］

1.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（）

A.圓柱

B.圓錐

C.球體

D.圓柱，圓錐，球體的組合體

解析：選C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面.

2.（教材習題改編）如圖所示的幾何體是棱柱的有（）

A.②③B.③?⑤

C.③⑤D.

解析：選C根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱.

3.（教材習題改編）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為（）

正視圖健視圖

?

俯視圖

A.上面為梭臺，下面為梭柱

B.上面為圓臺，下面為棱柱

C.上面為圓臺，下面為圓柱

D.上面為棱臺，下面為圓柱

解析：選C由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺和下面的圓柱組合而成的.

4.關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是（）

A.百角三角形的百觀圖仍杲百角三角形

B.梯形的直觀圖是平行四邊形

C.正方形的直觀圖是菱形

I）.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形

解析：選D由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標系變成了

斜坐標系，而平行性沒有改變，因此，只有D正確.

5.一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的

（填入所有可能的幾何體前的編號）.

①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤）圓錐

⑥圓柱

解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐

一定可以，對于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合題目要求.

答案：①?③⑤

研畫網(wǎng)洞卷遹國第型■探;現(xiàn)磔諛續(xù)逢儲圈

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

[■?-1

［例1］下列結(jié)論中正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫

圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

［自主解答］A錯誤.如圖，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成￡

的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐.4/\\c

B錯誤.如下圖，若△4比不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸

s

不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。

令

I1

C錯誤.若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形.但由幾何圖形知，若以正

六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長.

［答案］D

-----------［方法?規(guī)律］---------------------------------

求解空間幾何體概念辨析題的常用方法

（D定義法，即嚴格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷.

（2）反例法，即通過舉反例來說明一個命題是錯誤的.

II畫式訓練

1.下列命題中，正確的是（）

A.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

B.側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐

C.側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體

【）.底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱

解析：選D對于A,兩個側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故A錯誤；對于B,

側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，

且也不能保證底面是正多邊形，故B錯誤；對于C,側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因

而C錯誤.

空間幾何體的三視圖

［例2］（1）（-湖南高考）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視

圖不可能是（）

（2）（?廈門質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（

俯視圖

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺1）.三棱臺

［自主解答］（DA圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組

合體的俯視圖；C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視

圖,采用排除法，故選D.Z

⑵由三視圖可知，該幾何體是四棱錐（如圖所示），且其中一條棱與底

面垂直.

［答案］(DD(2)B

［方法?規(guī)律］

由三視圖還原實物圖應明確的兩個方面

（1）首先要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，較復雜的幾何體也是由這些簡單幾何體組合

而成的.

（2）要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.

H瞳式訓練

2.已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同（其中19二/仁四邊形式優(yōu)為矩形），則該組

合體的俯視圖可以是_______（把你認為正確的圖的序號都填上）.

解析：幾何體是四棱維與四棱柱組成時，得①正確幾何體由四棱錐與圓柱組成時，得

②正確幾何體由圓錐與圓柱組成時，得③正確幾何體由圓錐與四棱柱組成時，得④正確故

填①②③④.

答案：①（2③④

空間幾何體的直觀圖

［例3］如圖所示，B'C是△力應■的直觀圖，且B'Cc，/

是邊長為a的正三角形，求比的面積.

［自主解答］建立如弱所示的坐標系才如’，1的頂點了“‘）

在/軸上，HB'邊在x軸上，把/軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45八得y軸，在，軸上取點C

模0C=20C,力、〃點即為"、B'點，長度不變.

A'(A)B'(B)

已知/B'=?C=a、在△而'C中,

由正弦定理得sin乙的'C=sin45°'

sin120°亞

所以小'

sin452

所以原三角形4弘的高OC二#a,

所以S△樹=JxaX乖a=幸，.

乙乙

本例若改為“已知△.仍。是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△?B'C的面積，”

應如何求？

解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△"B'C一底邊上的高為乎乎二變名

乙N/<5

故其面積=/x^=噂次

［方法?規(guī)律］——

平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：

S原圉形=2、/5s亙觀圖

sA3JJ?-原圖吃

記住上述關(guān)系，解題時能起到事半功倍的作用.

II磔式訓練

3.如圖，矩形0'?SC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,

其中少A1=6cm,O'C=2cm,則原圖形是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四邊形

解析：選C將直觀圖還原得。OAB&則

v0'〃'=陋0C=2/(cm),

OD=2O'D'=472(cm),

CD'=0,C=2(cm),/.CD=2(cm),

OC=yjc^+=4-722=6(cm),

()A=O'A'=6(cm)=()C,

故原圖形為菱形.

［通法——歸納領(lǐng)悟］

I種數(shù)學思想一一轉(zhuǎn)化與化歸思想

利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺、圓臺的有關(guān)問題

由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐

和圓錐后得到的，所以在解決梭臺和圓臺的相關(guān)問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)

學思想.

1個疑難點----三視圖的還原問題

由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)貝!的基

礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：

3個注意事項一一畫三視圖應注意的三個問題

(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、

虛線的畫法.

(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同.

(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它

們的交線位置.

3個，，變”與“不變，，一一斜二測畫法的要求

(坐標軸的夾角改變，

“三變”<與7軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

〔圖形改變.

(平行性不改變，

，，三不變”｛與八處由平行的線段的長度不改變,

〔相對位置不改變.

屐闕耳除魁比隗研?提闋能素【養(yǎng)汨用培陽

易誤警示一一三視圖識圖中的易誤辨析

［典例］（-陜西高考）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何

體,則該幾何體的側(cè)視圖為（）

岡N區(qū)N

ABCI）

［解析］側(cè)視圖中能夠看到線段/以，應為實線，而看不到耳￡應畫為虛線.由于14

與4c不平行，投影為相交線，故應選B.

［答案］B

［易誤辨析］

1.因?qū)θ晥D的原理認識不到位，區(qū)分不清選項A和民而易誤選A.

2.因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或1）.在畫三視圖時，分界線和可見輪廓線都用

實線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線.

3.解答此類問題時，還易出現(xiàn)畫三視圖時對個別視圖表達不準而不能畫出所要求的視

圖.在復習時要明確三視II的含義，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的要求.

［變式訓練］

若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）

BA

正視圖側(cè)視圖

B

俯視圖

局鋁身|5

ABCD

解析：選B由正視圖與俯視圖可以將選項A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除，

注意正視圖與俯視圖中的實線.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1.（?福建高考）一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可

以是（）

A.球B.三棱錐

C.正方體D.圓柱

解析：選D圓柱的三視圖，分別是矩形，圓.不可能三個視圖都一樣，而球的三視圖

可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形.

2.（-西城模擬）有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應是一個（）

口口

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

□

俯視圖

A.棱臺B.棱錐

C.棱柱D.都不對

解析：選A從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺.

3.一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面

積為蝕，則原梯形的面積為（）

A.2B.^2

C.2小D.4

解析：選D直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為乂高設(shè)為K

貝IJS直觀圖=yf2,

而原梯形為直角梯形，其面積2-\/2y（^+2y+A-）=2yf2Xy/2=4.

4.一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該

幾何體的俯視圖為（）

正視圖側(cè)視圖

解析：選C由正視圖和側(cè)視圖可知，該長方體挖掉一個小長方體后，相應位置在俯視

圖中應為左下角位置.且可看見輪廓線，故選C.

5.一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是

()

解析：選C若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線

是實線，故選C.

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于8,俯視圖

是一個面積為4第的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為（）

m正視圖a側(cè)視圖

A.4^/3B.8^3

C.8g1）.4俯視圖

解析：選A由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長為優(yōu)高為A.則其正視

圖為矩形，矩形的面積S二就二8,俯視圖為邊長為&的正三角形，三角形的面積&二乎才

=4/，則a=4,方=2,而側(cè)視圖為矩形，底邊為半?yún)^(qū)高為上故側(cè)視圖的面積為S=^

a方=

二、填空題（本大題夫3小題，每小題5分，共15分）

7.以下四個命題：①正棱錐的所有側(cè)棱相等「②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；③;圓

柱的母線垂直于底面；④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角

形.其中，真命題的序號為――.

解析：①@④均正確，對②，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，②錯誤.

答案：①@④

8.一個幾何體是由若干個相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這

個幾何體最多可由_______個這樣的小正方體組成.

解析：依題意可知這個幾何體最多可由9+2+2=13個這樣的小正方體組成.

答案：13

9.正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長均為鎘.其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,

則正視圖的周長為________.

解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面巴泊其中從尸分別

是被式的中點，連接煦易得力。=鏡，而四:鎘，于是解得々:1,

所以眸小,故其正視圖的周長為2+24.

答案：2+2也

三、解答題（本大題夫3小題，每小題12分，共36分）

10.用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：

16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長.

解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為1：16,設(shè)半徑分別為r、4r.

設(shè)圓臺的母線長為1,截得圓臺的上、下底面半徑分別為廣、4r根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得，7=點解得/=9.所以，圓臺的母線長為9cm.

11.已知：圖①是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何

體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成.

解：圖①幾何體的三視圖為:

圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體.

12.如圖所示的三幅圖中，圖（D所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖.

它的正視圖和側(cè)視圖如圖（2）（3）所示（單位：cm）.

（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；

⑵按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積.

解：⑴如圖.

⑵所求多面體的體積P長方體一曝三鉞錚=4X4X6—；X（gx2X2）X2=筌（cm，）.

?教師備選題供救蟬備裸通用

1.給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個不共面的頂點，它們可能是正四面體的

4個頂點；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個側(cè)

面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.其中正確命題的序號是________.

解析：①正確，正四面體是每個面都是等邊三角形的四面體，如正方晨

體4O-44G〃中的四面體力-而；〃；②錯誤，舉反例如圖所示，底面/

△力比為等邊三角形，可令月8;VB=VC=BC=AC,則△監(jiān)。為等邊三角形，

△陽〃和△"為均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯誤，必須是相鄰的兩個側(cè)

答案：①

2.（?江西高考）將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示,

則該幾何體的側(cè)視圖為（）

解析：選I）被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長方體的面對角線，它僅在右

側(cè)面上的投影與右側(cè)面（長方形）的兩條邊重合，另一條為體對角線，它在右側(cè)面上的投影與

右側(cè)面的對角線重合，對照各圖，只有選項D符合.

3.如圖，在四棱錐產(chǎn)-力版中，底面力以》為正方形，/石與底面垂直.若該四棱錐的

正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，則該四棱錐中最長的棱的長度為（）

C.小

解析：選C在四棱錐尸-/抗力中，連接4C由正視圖和側(cè)視圖可得小=比=（力=1,

故4C=鏡，最長的棱為刃=4先'+力曰二4.

4.（?北京高考）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（）

俯視圖

A.8B,672

C.10D.8A/2

解析：選C由三視圖可知，該幾何體的四個面都是直角三角形，面積分別為6,氫

8,10,所以面積最大的是10.

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.多以選擇題或填空題的形式考查，有時也以解答題形式考查.

2.常以三視圖為載體考查幾何體的表面積或體積，如年安徽T12,

了解球體、柱體、

廣東T6,浙江TU等.也可以給出幾何體的棱、面滿足的條件來計

錐體、臺體的表面積和

算表面積或體積，如年江蘇山東.解答題（其中的一問一般

體積的計算公式（不要T7,T131

求記憶公式）.給出相關(guān)條件來判斷幾何體形狀特征（特別是幾何體的高）并計算體

積或表面積，如年湖南口8（2）,湖北T19（2）等.

嗔1腳藤融■—鉆數(shù)M抓呼逸描網(wǎng)識■自［而定利白貓國基:礎(chǔ)

［歸納-知識整合］

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

，'、

，點吸町；

側(cè)面展開圖

也3?…生一」

側(cè)面積公式S圓柱包-2Ji-S同住也二?"S圓臺值=JT（廠+，）1

2.空間幾何體的品導面積和體積公式

名稱

表面積體積

幾何

柱體（棱柱和圓

S取面積=5側(cè)+2s底V=Sh

柱）

錐體（棱錐和圓

V=、Sh

S叁育積=5例+S底

錐）J

V=；（s上+S下+

臺體（棱臺和圓

J

S先.租=S（w+S卜+S下

臺）

{SLSF）h

4

球V=-T^R

o

［探究］L柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么聯(lián)系？

提示：

%,=亭S+E+S'）b

2.如何求不規(guī)則幾何體的體積？

提示：常用方法：分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法.通過計算轉(zhuǎn)化得到基本幾何體的體積來實

現(xiàn).

［自測?牛刀小試］

1.棱長為2的正四面體的表面積是（）

A.小B,4

C.4小D.16

解析：選C正四面體的各面為全等的正三角形，故其表面積S=4X^X2?=44.

2.（?上海高考）一個高為2的圓柱，底面周長為2”該圓柱的表面積為.

解析：由已知條件得圓柱的底面半徑為1,所以S表:S倒+25宸=4+2n/=X2+

2n=6n.

答案：6IT

3.（教材習題改編）一個球的半徑擴大為原來的3倍，則表面積擴大為原來的_____倍；

體積擴大為原來的_____倍.

解析：設(shè)原球的半徑為1,則半徑擴大后半徑為3.

貝IJS=4n,^=4nX32=36n,即，=9,所以表面積擴大為原來的9倍.由1=上11，

4,V2

上二三JIX3、12Ji,即在=27,所以體積擴大為原來的27倍.

on

答案：927

4.（?遼寧高考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________.

解析：由三視圖可知該組合體的上方是一個高為1,底面直徑為2的圓柱,

下方是一個長、寬、高分別為4、3、1的長方體，如圖所示，它的體積r=1Xn

+4X3X1=12+n.

答案：12+n

5.（教材習題改編）如圖，用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒

的容積是

解析：由于半圓的圓弧長等于圓錐底面圓的周長，若設(shè)圓錐底面圓半徑為二則得2兀

=2nr,解得r=l,又圓錐的母線長為2,所以高為小，所以這個圓錐筒的容積為

O

J

答案：3H

耨匍題:型

研唐庶燃網(wǎng)商置題:型LI探阿儂I提國墨通砥

REDIANTIXING

幾何體的表面積

［例1］（?北京高考）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（)

A.28+675B.30+外行

C.56+124D.60+1275

［自主解答］該三棱錐的直觀圖如圖所示.據(jù)俯視圖知，頂點尸在底面上的投影〃在棱

四上，且乙力戈?=90°,

據(jù)正視圖知，力〃=2,劭=3,/力=4,

據(jù)側(cè)視圖知，BC=4.

綜上所述，8UL平面為氏PB二市/工麗二5,

PC=pd+P#=@￡+25=何,

心4/伊+丈二何,

?.?尸0=］。=何，△處C的邊加7上的高為

：.?PD-10,S△血二?BC-10,

S△用r=g%?BC-10,SLAPC-^AP9h=6^/5.

故三棱錐的表面積為SAPAS+Sxw+S\m■?+S^AJV—30+6A/5.

［答案］B

-----------［方法?規(guī)律］---------------------------------

由二視圖求幾何體去面積的方法步驟

H阿式訓練

1.（-馬鞍山模擬）如圖是一個幾何體的三視圖，則它的表面積為（）

15n

A.4nB-~

17n

C.5nr

由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了（部分得到的幾何體，故

解析：選D

72cl17

表面積為耳?4兀?r+3?7?11?r2=~7.

44

幾何體的體積

[例2]（1）（-湖北高考）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

)

側(cè)視圖

8萬

A.亍B.3n

10n

C--TD.6n

（2）（?安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是

［自主解答］（D由三視圖可知，該組合體上端為一圓柱的一半，下端為圓柱.其體積

V=nX12X2+1XJIXl2X2=3n.

（2）據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個直四棱柱，其底面是直角梯形（兩底邊長分別為2、

2+5

5.直腰長為4,即梯形的高為4）,高為4.該幾何體的體積為/==-X4X4=56.

［答案］（DB（2）56

-----------［方法?規(guī)律］---------------------------------

由三視圖求解幾何體體積的解題策略

以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)

成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解.

H磔式訓練

2.（?新課標全國卷）如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何

體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

\7

解析：選B由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形高為3的三棱

錐，其體積為京〈X6X3X3=9.

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）

正視圖惻視圖

n

B.8--

J

C.8-2JT

解析：選A圓錐的底面半徑為1,高為2,該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積,

?122

即『二233-QXnX12X2=8--JT.

oo

與球有關(guān)的切、接問題

［例3］（?新課標全國卷）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，XABC

是邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）

O

［自主解答］△/由。的外接圓的半徑/二坐點。到平面仍C的距離彎.SC

為球。的直徑，故點S到平面力比、的距離為2〃=羋，故棱錐的體積為憶JSMX2"=〈X坐

X嶇.亞

X3-6?

［答案］A

-----------［方法?規(guī)律］---------------------------------

與球有關(guān)的切、接問題的解題策略

解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和

數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以

及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的.

II整式訓練

4.已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為372,則這個四棱錐的外接球的表面積為

()

A.12nB.36JT

C.72JTD.108n

解析：選B依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3^2X72=6,高為

勺:陣2-JX62=3,因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該四棱錐的外

接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于

4nX32=36n.

［通法——歸納領(lǐng)悟］

3個步驟一一求解與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積、體積的解題步驟

3種方法一一求空'司幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算.

(2)等積法：根據(jù)體積.計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易,

或是求出一些體積比等.

(3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算

體積的幾何體.

1種數(shù)學思想一一求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法

計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化

曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.

我削板明陶科湖限研■提闋能諫儕韭和閭困

創(chuàng)新交匯一一空間幾何體中體積的最值問題

1.求空間幾何體的體積一直是高考考查的重點，幾乎每年都考查，既可以與三視圖結(jié)

合考查，又可以單獨考查.而求空間幾何體體積的最值問題，又常與函數(shù)、導數(shù)、不等式等

知識交匯考查.

2.求解空間幾何體最值問題，可分為二步：第一步引入變量，建立關(guān)于體積的表達式；

第二步以導數(shù)或基本不等式為工具求最值.

［典例］(?湖北高考(節(jié)選))如圖1,乙力8=45°.BC=3,過動點力作/!〃_!_陽垂足

〃在線段8。上且異于點8,連接力優(yōu)沿力〃將折起，使乙切C=90°(如圖2所示).當

劭的長為多少時，三棱錐/-砍》的體積最大？

圖1圖2

［解］如圖1所示的△力8。中，設(shè)即=x(0〈水3),則切=3-工

由力。_L8C,乙力⑦=45°知△?蛇為等腰直角三角形，所以初二⑦二3-%

由折起前知，折起后(如圖2),ADLDC,ADA.DC,且初0〃。=〃，所以/切，平

面以匕

乙BDC=90：所以SAQ=：8〃?⑦二9(3-x).

乙乙

法一：-6x2+9x).

b

令f(x)=1(?-6x+9x).

由(x)=T(X-I)(x-3)=0,且()<K3,解得*=l.

乙

當xE(0,1)時,f■)》()；當(1,3)時,f3<0,

所以當x=l時，AM取得最大值，即劭=1時，

三棱錐力-仇力的體積最大.

1124+3-*+3-x2

法二：h-f/aj=—?2x(3-X)(3-X)?--------------------------------

14I乙O3,

當且僅當2x=3—x,即x=l時，取“二”.

故當〃〃=1時，三棱錐力-武力的體積最大.

［名師點評］

解答此題的關(guān)鍵是恰當引入變量X即令切=乂結(jié)合位置關(guān)系列出體積的表達式，將

求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

［變式訓練］

如圖，動點P在正方體力比。-力避G4的對角線做上.過點尸作垂

直于平面84〃〃的直線，與正方體表面相交于M力：設(shè)即二%覷"匕

則函數(shù)y="X）的圖象大致是（）

解析：選B顯然，只有當尸移動到中心。時，朗V有唯一的最大值，淘沃選項A、C；尸

點移動時，取火4的中點￡,CG的中點Q平面〃酸垂直于平面眼?！ㄇ壹兩點在菱

形〃必。的邊界上運動，故x與y的關(guān)系應該是線性的，淘汰選項D,選B.

二知:能:檢泗練遍以溢誕■峻理融跡郵豳

ZHINENGJIANCE0

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84“

則圓臺較小底面的半徑為（）

A.7B.6

C.5D.3

解析：選A設(shè)圓臺較小底面半徑為二

則另一底面半徑為3r.

由S=”（r+3/）?3=84九解得廠=7.

2.（-長春模擬）一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是

一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為（）

3

A-nB.2n

乙

C.3nD.4H

解析：選A依題意知，該幾何體是一個底面半徑為）、高為1的圓柱，則其全面積為

13

+2JiX-Xl=-n.

乙乙

3.（?廣東高考）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）

A.72nB.48Ji

C.30nD.24五

i4i

解析：選C此幾何體由半個球體與一個圓錐組成，其體積X3?+Q

4JO

nX32X^52-32=30JT.

4.（?廣州模擬）設(shè)一個球的表面積為S,它的內(nèi)接正方體的表面積為￡,則三的值等

<>