《實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)》教學(xué)設(shè)計(jì)二教學(xué)設(shè)計(jì)一、引入實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà).用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1，分析其中的數(shù)量關(guān)系，由學(xué)生自己根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)待征.例1某公司設(shè)計(jì)了一種新型的幾何模板.經(jīng)測(cè)算，每件產(chǎn)品的直接成本是130元，市場(chǎng)的合適售價(jià)是190元.另外，還投入了15萬(wàn)元用于研發(fā).顯然，這家公司一方面要盡力為使用者提供可信的產(chǎn)品，另一方面又要爭(zhēng)取獲得好的收益.當(dāng)這種新型幾何模板暢銷時(shí)，怎樣計(jì)算總收益呢？（銷售、倉(cāng)儲(chǔ)及維護(hù)等環(huán)節(jié)成本忽略不計(jì)）引導(dǎo)學(xué)生探索過(guò)程：（1）本例所涉及的變量有哪些？它們的取值范圍分別是什么？（2）所涉及的變量的關(guān)系如何？（3）應(yīng)當(dāng)選取何種函數(shù)模型來(lái)描述變量的關(guān)系？（4）總收益與哪些量有關(guān)系？你能寫(xiě)出總收益的函數(shù)關(guān)系式嗎？根據(jù)教師的引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生自主建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型進(jìn)行解答，然后交流、進(jìn)行評(píng)析.二、實(shí)例運(yùn)用，鞏固提高例2網(wǎng)購(gòu)女鞋時(shí)，常常會(huì)看到一張女鞋尺碼對(duì)照表（如下表），第一行是腳長(zhǎng)（新鞋碼，單位：mm），第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)（舊鞋碼，單位：號(hào)）”.（1）求鞋號(hào)關(guān)于腳長(zhǎng)的函數(shù)模型.（2）如果看到一款“30號(hào)”的女童鞋，知道對(duì)應(yīng)的腳長(zhǎng)是多少嗎？（3）一名腳長(zhǎng)為262mm的女籃球運(yùn)動(dòng)員，又該穿多大號(hào)的鞋呢？讓學(xué)生閱讀例題，思考并提出疑問(wèn).問(wèn)題預(yù)設(shè)：（1）從表中查不到“30號(hào)”的女童鞋對(duì)應(yīng)的腳長(zhǎng)，怎么辦？（2）從表中查不到腳長(zhǎng)為262mm的女籃球運(yùn)動(dòng)員的鞋號(hào)，怎么辦？教師問(wèn)其他學(xué)生有沒(méi)有解決的辦法.生：把表制作的范圍更大一些.師：這是一個(gè)好主意，怎么把表格制作的范圍更大一些呢？讓表格中包含“30號(hào)”的女童鞋對(duì)應(yīng)的腳長(zhǎng)，也包含腳長(zhǎng)為262mm的女籃球運(yùn)動(dòng)員對(duì)應(yīng)的鞋號(hào).生：找表中數(shù)據(jù)的規(guī)律.師：如何找規(guī)律？你能觀察出表中數(shù)據(jù)的規(guī)律嗎？生：容易發(fā)現(xiàn)鞋號(hào)每增加一號(hào)，腳長(zhǎng)增長(zhǎng)5mm.師：如何表示這種關(guān)系？生：用函數(shù)表示.師：你能寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式嗎？請(qǐng)同學(xué)們制作一個(gè)范圍更大的表格，自己解決例題中提出的問(wèn)題.教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用圖象找表中數(shù)據(jù)的規(guī)律.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生提出疑問(wèn)，教師通過(guò)不斷追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法.讓問(wèn)題在不知不覺(jué)中得到解決，使學(xué)生從中體會(huì)到解決問(wèn)題的樂(lè)趣.也讓學(xué)生體會(huì)到了如何用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).鞏固練習(xí)：1.如圖，在一條彎曲的河道上，設(shè)置了六個(gè)水文監(jiān)測(cè)站.現(xiàn)在需要在河邊建一個(gè)情報(bào)中心，從各監(jiān)測(cè)站沿河邊分別向情報(bào)中心鋪設(shè)專用通信電纜，怎樣刻畫(huà)專用通信電纜的總長(zhǎng)度？解：情報(bào)中心在河邊的位置一旦確定，每一個(gè)水文監(jiān)測(cè)站到情報(bào)中心的通信電纜長(zhǎng)度（曲線段長(zhǎng)度）就唯一確定了，因此，表示情報(bào)中心位置的數(shù)值與專用通信電纜的總長(zhǎng)度就構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系.現(xiàn)在將彎曲的河道“拉直”，使刻畫(huà)曲線段長(zhǎng)度的問(wèn)題變成刻畫(huà)直線段長(zhǎng)度的問(wèn)題.將“變直了”的河道當(dāng)作一個(gè)數(shù)軸，不妨設(shè)A為原點(diǎn)，.于是，水文監(jiān)測(cè)站和F的坐標(biāo)就可以用表示出來(lái).表示情報(bào)中心位置的數(shù)值可以看作一個(gè)變量，用x表示，這樣，對(duì)于給定的x的值，就能計(jì)算出情報(bào)中心到每一個(gè)水文監(jiān)測(cè)站的長(zhǎng)度，從而可以得出所需電纜的總長(zhǎng)度.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主完成，如果學(xué)生自己解決不了，可以討論交流，體會(huì)以直代曲的思想，總結(jié)構(gòu)建函數(shù)模型的過(guò)程.2.在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到，共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量物理量的“最佳近似值”a可以是這樣一個(gè)量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小.依此規(guī)定，請(qǐng)用表示出a.解：假設(shè)所測(cè)量物理量為x，誤差的平方和為y，則，是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)y取最小值時(shí)，得.例3現(xiàn)有一把椅子，四條腿一樣長(zhǎng)且四腳連線成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，問(wèn)能否將這把椅子四腳同時(shí)落地放穩(wěn)？師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們有沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)？如果沒(méi)有這方面的生活經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)在同學(xué)們就可以用自己的課桌或椅子體驗(yàn)一下.學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)或挪動(dòng)自己的課桌或椅子得出結(jié)論：如果椅子沒(méi)放穩(wěn)，只要前后挪動(dòng)幾下，或者旋轉(zhuǎn)一下就能夠放穩(wěn)了.也就是說(shuō)答案是肯定的.師：誰(shuí)能用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象？留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考、討論、交流.在學(xué)生思考交流的過(guò)程中，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)：椅子不論放在哪個(gè)位置，總可以使椅子的三只腳與地面接觸.如果我們采用旋轉(zhuǎn)的方法使椅子放穩(wěn)，需要引入什么作為變量？學(xué)生容易想到利用角作為變量進(jìn)行分析.師：如圖，記這把椅子四腳連線所形成的圖形為正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為O；以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，初始位置的轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí)，記兩點(diǎn)與地面距離之和為兩點(diǎn)與地面距離之和為.因?yàn)槿我馕恢玫囊巫佣伎梢匀荒_與地面接觸，所以總有.記，顯然函數(shù)的圖象是不間斷的曲線.你能用這一函數(shù)解釋這一現(xiàn)象嗎？生：對(duì)于初始位置，不妨設(shè)，那么.椅子旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D轉(zhuǎn)到點(diǎn)，那么.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可知在區(qū)間上存在，使得，即，所以這把椅子四腳能夠同時(shí)落地放穩(wěn).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，并用數(shù)學(xué)模型明確表示出來(lái)，這會(huì)給我們的生活或工作帶來(lái)方便.這個(gè)例子告訴我們，零點(diǎn)存在定理的重要實(shí)用價(jià)值在于判斷事物的存在性.另外，用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察生活，會(huì)對(duì)已知的事實(shí)或經(jīng)驗(yàn)給出理性的解釋.例4加油站的汽油都存儲(chǔ)在地下油槽中，由于比較容易測(cè)量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度來(lái)監(jiān)控油槽中的油料量.現(xiàn)有一圓柱體油槽，橫臥地下，其母線呈水平狀態(tài)，縱截面是圓（如圖），截面圓半徑是120cm，圓柱的長(zhǎng)是400cm，從資料可查出圓的弓形面積與圓面積比例系數(shù)表（如表），它給出了弓形面積占單位圓面積的比值.其中.為了方便加油站操作人員估計(jì)油槽中的油料量，請(qǐng)編制一份油料的液面高度h（單位：cm）與油料量V（單位：L）的對(duì)照表，該表的油料液面高度取值從0開(kāi)始，最大為120cm，間隔12cm（π取3.14，油料量精確到1L）.教師引導(dǎo)學(xué)生自主完成例4的解答過(guò)程.解：如圖，油槽截面的油料液面線為，記油料液面高度h時(shí)的油料的面積為.依題意知這里，于是通過(guò)計(jì)算可得到油料的液面高度h與油料量V的對(duì)照表（略，學(xué)生自行完成）.設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)非常實(shí)用的問(wèn)題，要編制一份便于操作人員使用的油料估量表，這是學(xué)生以前很少遇到的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度.本例的目的也是讓學(xué)生盡可能多地了解不同類型的問(wèn)題情境和問(wèn)題設(shè)計(jì)方式，以及解決不同類型問(wèn)題的手段和方法.三、歸納總結(jié)，鞏固提升引導(dǎo)學(xué)生共同小結(jié)實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)方法：（1）合理選取變量，建立實(shí)際問(wèn)題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型問(wèn)題.（2）在將實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，能畫(huà)圖的要畫(huà)圖，可借助于圖形的直觀性，研究?jī)勺兞块g的聯(lián)系.抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)，注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量范圍的限制.四、布置作業(yè)教材第137頁(yè)練習(xí)第1題.板書(shū)設(shè)計(jì)2.1實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)一、引入實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境例1二、實(shí)例運(yùn)用，鞏固提高例2例3例4三、歸納總結(jié)，鞏固提升（1）合理選取變量，建立實(shí)際問(wèn)題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型問(wèn)題；（2）在將實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，能畫(huà)圖的要畫(huà)圖，可借助于圖形的直觀性，研究?jī)勺兞块g的聯(lián)系.抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)，注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量范圍的限制.四、布置作業(yè)教學(xué)研討本案例主要是通過(guò)例題讓學(xué)生感受和體會(huì)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用的廣泛性，并了解用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的思維過(guò)程與方法.本案例是通過(guò)例題的教