PAGEPAGE126第4章基于遺傳算法的水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法4.1水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)概述系統(tǒng)預(yù)測(cè)，就是根據(jù)研究系統(tǒng)或類似系統(tǒng)發(fā)展變化的實(shí)際數(shù)據(jù)、歷史資料，以及各種經(jīng)驗(yàn)、判斷和知識(shí)等，充分分析和理解系統(tǒng)發(fā)展變化的規(guī)律，運(yùn)用一定的科學(xué)原理和方法，對(duì)研究系統(tǒng)在未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)的可能變化進(jìn)行推測(cè)、估計(jì)、分析和評(píng)價(jià)，以減少對(duì)系統(tǒng)未來(lái)狀況認(rèn)識(shí)的不確定性、指導(dǎo)系統(tǒng)的決策分析和減少?zèng)Q策的盲目性[3，4，128，196，197]。根據(jù)預(yù)測(cè)的對(duì)象、預(yù)測(cè)的時(shí)間尺度、預(yù)測(cè)的空間尺度、預(yù)測(cè)精度的要求、預(yù)測(cè)方法的性質(zhì)等不同角度，可對(duì)現(xiàn)有的系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行不同的分類。目前最常用的是根據(jù)預(yù)測(cè)方法的性質(zhì)，可把系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法大致分為如下4類[3，4，128，196-198]：一是定性預(yù)測(cè)方法，主要是依據(jù)人們對(duì)系統(tǒng)過(guò)去和現(xiàn)在的經(jīng)驗(yàn)、判斷和直覺(jué)，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查、專家打分、主觀評(píng)價(jià)等對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，如Delphi法、主觀概率法等；二是時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)法，主要是根據(jù)系統(tǒng)對(duì)象隨時(shí)間變化的歷史資料，通過(guò)系統(tǒng)時(shí)間序列的自相關(guān)分析、譜分析等對(duì)系統(tǒng)發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行外推，如自回歸滑動(dòng)平均模型方法等；三是因果關(guān)系預(yù)測(cè)方法，主要是根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部要素變化存在的因果關(guān)系，通過(guò)識(shí)別影響系統(tǒng)發(fā)展的主要變量，建立它們的數(shù)學(xué)模型，然后可以根據(jù)自變量的變化預(yù)測(cè)因變量，如回歸分析方法、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法等；四是組合預(yù)測(cè)方法，主要是基于單種預(yù)測(cè)方法的局限性和近似性，通過(guò)對(duì)多種不同的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行適當(dāng)組合（一般是線性加權(quán)），形成組合預(yù)測(cè)方法，以便綜合利用各種預(yù)測(cè)方法所提供的信息，從而提高預(yù)測(cè)的精度和可靠度，如可以將定性預(yù)測(cè)方法與定性預(yù)測(cè)方法進(jìn)行綜合，定量預(yù)測(cè)方法與定量預(yù)測(cè)方法進(jìn)行綜合，以及定性預(yù)測(cè)方法與定量預(yù)測(cè)方法進(jìn)行綜合。系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法應(yīng)遵循的理論包括以下兩方面的內(nèi)容[4，6，196，198]：一是預(yù)測(cè)對(duì)象所屬學(xué)科領(lǐng)域的理論，這些理論主要用以揭示系統(tǒng)發(fā)展的規(guī)律、指導(dǎo)預(yù)測(cè)方法的選擇和預(yù)測(cè)結(jié)果的分析檢驗(yàn)評(píng)價(jià)，例如河道洪水期徑流預(yù)測(cè)與枯水期徑流預(yù)測(cè)所采用的預(yù)測(cè)方法可能明顯不同；二是預(yù)測(cè)方法的理論，這些理論主要是數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論、算法理論以及近年來(lái)興起的一些智能性預(yù)測(cè)方法的理論等。一次成功的系統(tǒng)預(yù)測(cè)實(shí)踐應(yīng)當(dāng)是充分、準(zhǔn)確地利用預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀資料信息，以及科學(xué)合理地選擇預(yù)測(cè)方法。目前進(jìn)行系統(tǒng)預(yù)測(cè)的基本理論依據(jù)主要有[3，128，196]：在系統(tǒng)發(fā)展變化過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部要素之間、系統(tǒng)與環(huán)境之間具有關(guān)聯(lián)性；系統(tǒng)發(fā)展的過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)具有延續(xù)性；存在預(yù)測(cè)對(duì)象的相似對(duì)象；系統(tǒng)的未來(lái)發(fā)展具有不確定性，預(yù)測(cè)結(jié)果只是對(duì)系統(tǒng)未來(lái)發(fā)展各種可能性的估計(jì)；根據(jù)實(shí)際預(yù)測(cè)誤差和反饋原理，可以不斷修正預(yù)測(cè)結(jié)果。預(yù)測(cè)對(duì)象不同或預(yù)測(cè)方法不同，預(yù)測(cè)的實(shí)施過(guò)程一般也會(huì)不同。從方法論的角度看，系統(tǒng)預(yù)測(cè)的一般步驟大致可以分為如下8步[3，4，128，196]：①確定預(yù)測(cè)對(duì)象和預(yù)測(cè)目標(biāo)；②收集、分析資料和數(shù)據(jù)；③確定預(yù)測(cè)方法；④建立預(yù)測(cè)模型，確定模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)；⑤利用預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；⑥根據(jù)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)模型的合理性、模型的計(jì)算精度和模型的敏感性等進(jìn)行分析和檢驗(yàn)；⑦對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正、評(píng)定，確定最終的系統(tǒng)預(yù)測(cè)結(jié)果，作為決策依據(jù)；⑧根據(jù)預(yù)測(cè)的實(shí)際效果對(duì)以上步驟進(jìn)行不斷修改和完善，是一個(gè)多次迭代的過(guò)程。其中，建立系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型是系統(tǒng)預(yù)測(cè)的核心工作。由于受政治、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、氣象、地理等多方面因素的綜合影響，水資源工程研究中的水資源系統(tǒng)，例如大型灌區(qū)水資源開發(fā)利用系統(tǒng)、城市供水系統(tǒng)、城市下水道系統(tǒng)、農(nóng)田灌溉系統(tǒng)、防洪工程系統(tǒng)等，一般都是大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)，對(duì)這些系統(tǒng)的準(zhǔn)確而及時(shí)的預(yù)測(cè)具有重要的理論意義和工程價(jià)值[6]：①水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)是水資源系統(tǒng)決策的基礎(chǔ)，系統(tǒng)預(yù)測(cè)的目的是為系統(tǒng)決策提供科學(xué)依據(jù)，增強(qiáng)系統(tǒng)決策的主動(dòng)性，提高系統(tǒng)決策的效率；②水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)是水資源系統(tǒng)工程應(yīng)用于具體水資源工程實(shí)踐的最重要的方法之一，也是水資源系統(tǒng)工程中最易被實(shí)踐檢驗(yàn)是否準(zhǔn)確的一類方法。例如，準(zhǔn)確及時(shí)的洪水預(yù)測(cè)，可為防汛指揮決策提高科學(xué)依據(jù)，可以獲得減免洪水災(zāi)害損失的巨大經(jīng)濟(jì)效益、社會(huì)效益和生態(tài)環(huán)境效益。受天文因子、氣候因子、水文氣象因子、植被土壤因子、地貌因子、地質(zhì)因子和人類活動(dòng)因子等眾多因子的綜合影響，一個(gè)地區(qū)的水資源系統(tǒng)具有高維性、隨機(jī)性、模糊性、混純性等諸多復(fù)雜特征，水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)至今仍是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的一項(xiàng)世界性難題，目前就國(guó)內(nèi)外研究狀況而言，該類研究仍處于積極探索和不斷發(fā)展階段。顯然，水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)不僅與人類的生存和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展密切相關(guān)，因而具有重大的實(shí)踐價(jià)值，而且也是對(duì)當(dāng)前科學(xué)技術(shù)的一種挑戰(zhàn)，因而又顯重要的理論意義。水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)涉及的內(nèi)容十分廣泛而復(fù)雜，對(duì)預(yù)測(cè)者的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和能力等在深度和廣度方面都具有較高要求。可以說(shuō)，沒(méi)有實(shí)際水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)工作的感性認(rèn)識(shí)和具體經(jīng)驗(yàn)，就很難真正理解系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法的實(shí)質(zhì)，掌握系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法的最好方法或許就是在具體實(shí)踐問(wèn)題中多應(yīng)用。水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法研究仍是目前水資源系統(tǒng)工程界的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。基于以上論述，本章將著重探討用遺傳算法處理水資源系統(tǒng)預(yù)測(cè)問(wèn)題的幾種方法，包括基于遺傳算法的門限自回歸模型、基于遺傳算法的門限回歸模型、基于遺傳算法的雙線性模型、基于遺傳算法的邏輯斯諦曲線模型、基于遺傳算法的Shepard相似預(yù)測(cè)模型、基于遺傳算法的R/S預(yù)測(cè)模型、基于遺傳算法的組合預(yù)測(cè)模型等。4.2基于遺傳算法的門限自回歸模型門限自回歸(thresholdauto-regressive-TAR)模型能有效地描述具有極限點(diǎn)、極限環(huán)(準(zhǔn)周期性)、跳躍性、相依性、次諧波、高次諧波等復(fù)雜現(xiàn)象的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[199]，在表征水資源時(shí)間序列非線性特性上有其獨(dú)到之處。由于門限的控制作用，保證了TAR模型較強(qiáng)的穩(wěn)健性和廣泛的適用性。丁晶等用TAR模型在預(yù)測(cè)黃河干流復(fù)雜徑流中獲得成功且廣泛的應(yīng)用，與多元線性回歸、投影尋蹤回歸、模糊分析、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色模型、混沌模型等預(yù)測(cè)模型相比，TAR模型的預(yù)測(cè)精度高且穩(wěn)健、適用性強(qiáng)、應(yīng)用簡(jiǎn)便。目前，TAR已成為工程分析計(jì)算中應(yīng)用最廣且技術(shù)較為成熟的非線性時(shí)序模型[199]。應(yīng)用TAR模型的主要問(wèn)題是TAR建模過(guò)程中需進(jìn)行大量復(fù)雜的尋優(yōu)工作，常規(guī)處理方法如H.Tong方法、D.D.C方法、局部區(qū)間方法，不僅計(jì)算量大，而且存在局部?jī)?yōu)化問(wèn)題，尚無(wú)法較多地考慮具體的預(yù)測(cè)情況[199]。本節(jié)給出基于加速遺傳算法（AGA）的TAR建模方法，并開展了應(yīng)用研究。4.2.1基于遺傳算法的門限自回歸模型的建立TAR模型是由英籍華人H.Tong（湯家豪）博士于1978年首先提出的，其基本思想為[200]：在觀測(cè)時(shí)序{x(i)}的取值范圍內(nèi)引入L-1個(gè)門限值(r(j)，j=1，2，…，L-1)，將該范圍分成L個(gè)區(qū)間，并根據(jù)延遲步數(shù)d將{x(i)}按{x(i-d)}值的大小分配到不同的門限區(qū)間內(nèi)，再對(duì)不同區(qū)間內(nèi)的x(i)采用不同的AR模型來(lái)描述，這些AR模型的總和完成了對(duì)時(shí)序{x(i)}整個(gè)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的描述。它的一般形式為當(dāng)(4.1)式中，，，r(j)(j=1，2，…，L-1)為門限值；L為門限區(qū)間的個(gè)數(shù)；d為延遲步數(shù)；b(j,k)為第j個(gè)門限區(qū)間內(nèi)的自回歸系數(shù)；nj為第j個(gè)門限區(qū)間AR模型的階數(shù)；{e(j,i)}對(duì)每一固定的j是固定方差的白噪聲序列，各{e(j,i)}（j=1，2，…，L-1）之間相互獨(dú)立。式(4.1)表明，當(dāng)x(i-d)落入第j個(gè)門限區(qū)間(r(j-1),r(j)]時(shí)，TAR對(duì)x(i)至x(i-nj)這nj+1個(gè)順序數(shù)據(jù)建立AR(nj)，其中i為跑標(biāo)；若有mj個(gè)x(i-d)落入第j個(gè)門限區(qū)間，就大致有mj組這樣的nj+1個(gè)順序數(shù)據(jù)用于建立AR(nj)模型。由于TAR模型是分區(qū)間的AR模型，TAR常規(guī)的建模方法是沿用AR模型的參數(shù)估計(jì)方法和模型檢驗(yàn)準(zhǔn)則，如最小二乘法與AIC準(zhǔn)則[199]。TAR的建模過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)對(duì)d，L，r(1)，r(2)，…，r(L–1)，n1，n2，…，nL和b(j，k)的多維尋優(yōu)問(wèn)題，常規(guī)方法的計(jì)算量相當(dāng)大。筆者在上述前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出了基于AGA的一套簡(jiǎn)便實(shí)用的TAR建模實(shí)施方案，它包括如下3個(gè)步驟：步驟1：用自相關(guān)分析技術(shù)確定TAR的延遲步數(shù)d和門限區(qū)間AR模型的階數(shù)nj。時(shí)序{x(i)}延遲k步的自相關(guān)系數(shù)R(k)為[201](4.2)(4.3)式中，n為實(shí)測(cè)時(shí)序{x(i)}的容量，k=1，2，…，nk；nk<[n/4]，[]為取整函數(shù)。R(k)的方差隨k的增大而增大，R(k)的估計(jì)精度隨k的增加而降低，因此nk應(yīng)取較小的數(shù)值。根據(jù)R(k)的抽樣分布理論，在容許水平1–a的情況下，當(dāng)自相關(guān)系數(shù)值(4.4)時(shí)則推斷時(shí)序{x(i)}延遲k步相依性顯著，其中的某個(gè)k就是TAR模型的延遲步數(shù)d；否則時(shí)序{x(i)}延遲k步相依性不顯著[201]。門限區(qū)間AR模型的階數(shù)nj應(yīng)不大于相依性顯著的最大延遲步數(shù)，它的自回歸系數(shù)項(xiàng)應(yīng)與這些相依性顯著的延遲步數(shù)相對(duì)應(yīng)。步驟2：用點(diǎn)值圖確定TAR的門限區(qū)間個(gè)數(shù)L和門限值r(1)~r(L–1)的尋優(yōu)范圍[199]。點(diǎn)值圖是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的非線性檢驗(yàn)方法，也稱為條件數(shù)學(xué)期望估計(jì)法。對(duì)時(shí)序{x(i)}(i=1，2，…，N)，考慮數(shù)據(jù)對(duì)集合{(x(i)，x(i–d))|i=1，2，…，n；d=1，2，…，nk}，把x(i–d)軸作為橫軸，將其分為均勻的s（s遠(yuǎn)大于L）段。設(shè)共有Nj個(gè)x(i–d)落在j段，這Nj個(gè)x(i–d)所對(duì)應(yīng)的x(i)值記為x(i，j)，則第j段內(nèi)x(i)對(duì)x(i–d)的條件期望估計(jì)值為(j=1，2，…，s；d=1，2，…)(4.5)以x(i-d)軸作為橫軸，E(x(i)/x(i-d))軸作為縱軸，在各段的中心位置上標(biāo)出點(diǎn)E(x(i)/x(i-d))j，即得點(diǎn)值圖?？梢宰C明，若{x(i)}是正態(tài)的并可用線性模型描述的，則點(diǎn)值圖中的點(diǎn)群呈線性分布[199]。在實(shí)用中，當(dāng)點(diǎn)值圖中的點(diǎn)群大致呈線性分布時(shí)，可考慮采用線性模型來(lái)描述時(shí)序{x(i)}；而當(dāng)點(diǎn)值圖中的點(diǎn)群大致呈分段線性分布時(shí)，就可考慮采用分段線性模型來(lái)描述時(shí)序{x(i)}，這也正是TAR模型的基本思路。因此，用點(diǎn)值圖不僅可以判斷時(shí)序模型的性質(zhì)，而且可根據(jù)分段線性的段數(shù)來(lái)確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L，在分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近確定各門限值r(1)~r(L-1)的搜索范圍，從而有效地減少了TAR的尋優(yōu)工作量。步驟3：用AGA直接在模型擬合誤差最小準(zhǔn)則下同時(shí)優(yōu)化各門限值r(1)~r(L–1)和各門限區(qū)間內(nèi)的自回歸系數(shù)b(j，k)。理論上，TAR建模所需的數(shù)據(jù)量要多于AR建模所需的數(shù)據(jù)量，而落在一個(gè)門限區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)量應(yīng)至少與AR建模的最少數(shù)據(jù)量相當(dāng)?？紤]到在實(shí)用中落在一個(gè)門限區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)量可能不太多，在估計(jì)模型參數(shù)時(shí)用最小一乘法比最小二乘法穩(wěn)健，因此這里取優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)為TAR模型的擬合誤差絕對(duì)值和這一形式：(4.6)式中，||為取絕對(duì)值；為式(4.1)中除白噪聲項(xiàng)以外的所有項(xiàng)（即TAR模型估計(jì)值），它是各門限值r(1)~r(L–1)和各門限區(qū)間內(nèi)AR模型的自回歸系數(shù)b(j，k)的函數(shù)；x(i)為觀測(cè)值。作為一種通用的優(yōu)化方法，AGA顯然可同時(shí)求解上述優(yōu)化問(wèn)題中的模型參數(shù)r(1)~r(L–1)和b(j，k)(j=1，2，…，L；k=0，1，…，nj)。4.2.2應(yīng)用實(shí)例例4.1在地下水位預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[202]。淺層地下水位（埋深20~30m以內(nèi)）的動(dòng)態(tài)變化特性是工程地質(zhì)的基本資料之一，對(duì)其進(jìn)行有效預(yù)測(cè)，可為城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)利用土地和各種土木工程設(shè)計(jì)提供重要的理論依據(jù)和參考數(shù)據(jù)，大大節(jié)約工程投資，避免重大工程事故。地下水位動(dòng)態(tài)因受降水、土壤植被、入滲、蒸發(fā)等眾多因素制約，在時(shí)序上常表現(xiàn)出準(zhǔn)周期性、階段性（跳躍現(xiàn)象）、相依性和隨機(jī)性等復(fù)雜特征，常規(guī)的預(yù)測(cè)方法是對(duì)這些特征分別建立模型，然后迭加[201，203]。為擬合淺層地下水位上述復(fù)雜特征，常規(guī)預(yù)測(cè)方法所建模型的參數(shù)個(gè)數(shù)往往很多，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)模型的不確定性較大，表現(xiàn)為模型擬合精度高而預(yù)測(cè)精度低，降低了它的預(yù)測(cè)成果的應(yīng)用價(jià)值?，F(xiàn)利用文獻(xiàn)[203]76-7號(hào)孔1983年~1991年逐月地下水位觀測(cè)序列{x(i)|i=1~108}建立TAR預(yù)測(cè)模型。該序列的延遲1步、2步、3步和12步的自相關(guān)系數(shù)值R(1)、R(2)、R(3)和R(12)分別為0.722、0.455、0.212和0.419，用式(4.4)可以驗(yàn)證，它們的相依性在容許水平95%下是顯著的。其中，R(2)、R(3)分別近似為R(1)2、R(1)3，這正是AR(1)模型自相關(guān)系數(shù)的拖尾特征[201]，因此僅用R(1)就可以大致反映R(2)、R(3)的相依特性；R(12)表明該序列具有準(zhǔn)年周期性。該序列尚有其它較為次要的相依性顯著的延遲步數(shù)，考慮到穩(wěn)健的預(yù)測(cè)模型的參數(shù)不宜太多，故這里只取延遲1步、12步作為門限區(qū)間AR模型的自回歸系數(shù)項(xiàng)，TAR模型的延遲步數(shù)d取為1。把x(i-1)軸作為橫軸，將其分為均勻的12段。以E(x(i)/x(i-1))軸為縱軸，在各段的中心位置上標(biāo)出點(diǎn)E(x(i)/x(i-1))j，即得該序列的點(diǎn)值圖，參見圖4.1。圖4.1地下水位數(shù)據(jù)的點(diǎn)值圖根據(jù)圖4.1可分為2段直線，據(jù)此確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L=2，在分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)42.6附近確定門限值r(1)的搜索范圍?？偵希傻迷撔蛄械腡AR模型的結(jié)構(gòu)形式為(4.7)考慮到地下水位序列的觀測(cè)值與其變幅相比很大，故式(4.7)中序列x值都去掉觀測(cè)序列的均值42.529（中心化）。把式(4.7)代入式(4.6)，即得此例的優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)，用AGA優(yōu)化其中的TAR模型的參數(shù)，它們的初始變化區(qū)間和優(yōu)化結(jié)果參見表4.1。把上述TAR模型參數(shù)優(yōu)化值代入式(4.7)，即得地下水位動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型。TAR模型的擬合誤差分析結(jié)果和預(yù)測(cè)誤差分析結(jié)果見表4.2，用該模型預(yù)測(cè)1992年~1994年逐月地下水位的結(jié)果見表4.3。表4.2中同時(shí)列出了文獻(xiàn)[203]的相應(yīng)結(jié)果。表4.1用AGA優(yōu)化TAR模型的參數(shù)加速優(yōu)秀個(gè)體的變化區(qū)間最佳優(yōu)化準(zhǔn)次數(shù)r(1)b(1,1)b(1,12)b(2,1)b(2,12)則函數(shù)值1-0.500,0.5000.200,0.8000.100,0.6000.200,0.8000.100,0.60011.7693-0.316,0.3610.638,0.7960.139,0.3890.414,0.6760.178,0.46311.63760.085,0.1350.768,0.7930.141,0.1890.445,0.5480.292,0.42811.564優(yōu)化值0.0850.7900.1500.5220.33011.564表4.276-7號(hào)孔地下水位預(yù)測(cè)模型的擬合誤差和預(yù)測(cè)誤差分析結(jié)果模型擬合絕對(duì)誤差不大于下列區(qū)間的百分比(%)預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差不大于下列區(qū)間的百分比(%)類型[0,0.1][0,0.2][0,0.3][0,0.4][0,0.5][0,0.1][0,0.2][0,0.3][0,0.4][0,0.5]文獻(xiàn)[203]79991001001003059819295TAR模型5182.394.896.910047.280.691.7100100表4.3用TAR模型預(yù)測(cè)76-7號(hào)孔1992年~1994年逐月地下水位的結(jié)果(單位：m)1992年123456789101112實(shí)測(cè)水位42.0742.0442.0242.4442.4842.5342.7243.0442.8042.6642.6142.47預(yù)測(cè)水位42.2442.1342.1242.1442.4842.5342.5942.6842.9042.6542.5142.54預(yù)測(cè)誤差0.170.090.10-0.300.000.00-0.13-0.360.10-0.01-0.100.071993年123456789101112實(shí)測(cè)水位42.2942.1742.4442.4942.3742.4442.7342.6842.3242.3742.4042.30預(yù)測(cè)水位42.4142.2742.1742.4542.4942.4042.4942.8042.7042.3842.4242.42預(yù)測(cè)誤差0.120.10-0.27-0.040.12-0.04-0.240.120.380.010.020.121994年123456789101112實(shí)測(cè)水位42.1242.0941.9842.2842.2442.2042.5442.7542.8642.5542.5542.55預(yù)測(cè)水位42.3142.1542.1742.0942.3142.2942.3042.5642.5842.6542.5342.51預(yù)測(cè)誤差0.190.060.19-0.190.070.09-0.24-0.19-0.280.10-0.02-0.04表4.2、表4.3說(shuō)明，TAR模型雖然僅利用地下水位延遲1步、延遲12步的相依特征信息，由于利用了門限的控制作用，已可以有效地描述該孔地下水位非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；TAR模型的擬合誤差略差于文獻(xiàn)[203]的結(jié)果，但它的預(yù)測(cè)誤差明顯好于文獻(xiàn)[203]的結(jié)果，表明TAR模型的性能穩(wěn)健。經(jīng)計(jì)算，TAR模型的1983年~1991年擬合誤差標(biāo)準(zhǔn)差、平均絕對(duì)誤差分別為0.16m、0.122m，1992年~1994年預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差、平均絕對(duì)誤差分別為0.17m、0.134m，預(yù)測(cè)誤差與擬合誤差相當(dāng)接近，這說(shuō)明該TAR模型的預(yù)測(cè)性能是穩(wěn)定的。為擬合地下水位復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特征，常規(guī)預(yù)測(cè)方法往往采用較多的模型參數(shù)，從而導(dǎo)致模型的不確定性較大，表現(xiàn)為模型擬合精度雖然較高而預(yù)測(cè)精度則較低（參見文獻(xiàn)[203]中表1和表2），從而影響了預(yù)測(cè)模型在實(shí)際工程設(shè)計(jì)和施工中的應(yīng)用價(jià)值。4.3基于遺傳算法的門限回歸模型門限回歸（thresholdregressive-TR）模型能有效地描述具有跳躍性、相依性、諧波等復(fù)雜現(xiàn)象的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[204]。門限的控制作用保證了TR模型良好的穩(wěn)健性和廣泛的適用性。目前應(yīng)用TR模型的主要問(wèn)題是TR建模過(guò)程中需進(jìn)行大量復(fù)雜的尋優(yōu)工作。常規(guī)處理方法是根據(jù)門限模型各參數(shù)的不同取值組合進(jìn)行試驗(yàn)，從中優(yōu)選出相對(duì)最佳的參數(shù)值[204]，該方法計(jì)算工作量大且存在局部?jī)?yōu)化問(wèn)題，尚無(wú)法較多地考慮具體的預(yù)測(cè)情況。為此，本節(jié)給出了基于AGA的TR建模方法，并開展了應(yīng)用研究。4.3.1基于遺傳算法的門限回歸模型的建立[205，206]TR模型是門限自回歸模型的擴(kuò)展，其基本思想就是依某變量的不同取值范圍，采用若干個(gè)線性回歸模型來(lái)描述非線性關(guān)系，其一般形式為[204]，當(dāng)(4.8)式中，，，r(j)(j=1，2，…，L–1)為門限值；L為門限區(qū)間的個(gè)數(shù)；b(j，s)為第j個(gè)門限區(qū)間內(nèi)的回歸系數(shù)；{y(i)}為因變量序列，i為時(shí)序；{x(s，i)|s=1，2，…，ns}為自變量序列；ns為自變量個(gè)數(shù)；{x(k，i)}為門限變量；d為門限延遲步數(shù)；{e(j，i)}對(duì)每一固定的j是固定方差的白噪聲序列，各{e(j，i)}之間相互獨(dú)立。由于TR模型是分區(qū)間的線性回歸模型，常規(guī)的TR建模方法是試選一種門限變量，對(duì)門限區(qū)間個(gè)數(shù)、門限值和門限延遲步數(shù)各種不同參數(shù)組合進(jìn)行試驗(yàn)，以TR模型殘差平方和或AIC函數(shù)值最小為準(zhǔn)則，多次反復(fù)優(yōu)選，得到一組相對(duì)最佳的參數(shù)值[204]。TR建模過(guò)程的實(shí)質(zhì)，就是一個(gè)對(duì)d，L，r(1)，r(2)，…，r(L–1)和b(j，s)的高維尋優(yōu)問(wèn)題，常規(guī)方法的計(jì)算量很大。這里給出基于AGA的一套實(shí)用的建模方案。步驟1：根據(jù)物理成因機(jī)制確定自變量集{x(s)}與因變量y，用相關(guān)分析技術(shù)確定TR的回歸項(xiàng)、門限變量和門限延遲步數(shù)d。設(shè)自變量序列{x(s，i)}與因變量序列{y(i)}的樣本相關(guān)系數(shù)為r，則根據(jù)抽樣分布理論[207]，當(dāng)>(4.9)時(shí)則認(rèn)為它們是相關(guān)的，否則它們是獨(dú)立的。式(4.9)中，a為顯著水平，n為樣本容量，ta/2為自由度為n–2的t分布雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值，rm為相關(guān)顯著所需的最低相關(guān)系數(shù)值。TR的回歸項(xiàng)應(yīng)與這些相關(guān)性顯著的自變量相對(duì)應(yīng)，其中相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大的自變量作為門限變量，d為因變量{y(i)}與門限變量{x(k，i)}之間的時(shí)移相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大值所對(duì)應(yīng)的時(shí)移。步驟2：根據(jù)門限變量與因變量的散點(diǎn)圖確定TR模型的門限區(qū)間個(gè)數(shù)L和門限值r(1)~r(L–1)的尋優(yōu)范圍。當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)群大致呈分段線性分布時(shí)，就可考慮采用分段線性模型來(lái)描述自變量與因變量之間的關(guān)系，這也正是TR模型的基本思路。即根據(jù)分段線性的段數(shù)來(lái)確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L，在分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近確定各門限值r(1)~r(L–1)的搜索范圍，從而有效地減少了TR建模的尋優(yōu)工作量。步驟3：用加速遺傳算法(AGA)在模型相對(duì)誤差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則下優(yōu)化各門限值r(1)~r(L–1)和各門限區(qū)間回歸系數(shù)b(j，s)：…(4.10)式中，樣本序號(hào)i=1，2，…，ni，ni為樣本容量；門限標(biāo)號(hào)j=1，2，…，L–1；為式(4.8)中除白噪聲項(xiàng)以外的所有項(xiàng)（即TR模型的估計(jì)值），它是各門限值r(1)~r(L–1)和各門限區(qū)間內(nèi)回歸系數(shù)b(j，s)的函數(shù)；y(i)為因變量的觀測(cè)值。作為一種通用的優(yōu)化方法，AGA可方便地求解上述復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。4.3.2應(yīng)用實(shí)例例4.2在河道洪水預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[205]。河道洪水預(yù)報(bào)是指在洪水期間對(duì)防汛河段各指定斷面處洪水流量（或洪水位）進(jìn)行預(yù)報(bào)，其中的相應(yīng)流量（相關(guān)）法，因其方法簡(jiǎn)便易行、各種相關(guān)因素的選用因地制宜十分靈活，至今仍被廣泛應(yīng)用，尤其在大江大河和洪水漲落迅速的山區(qū)性河道的防洪抗災(zāi)中，常常成為其它洪水預(yù)報(bào)方法的補(bǔ)充，具有重要的實(shí)用價(jià)值[208]。相應(yīng)流量法，就是根據(jù)天然河道的洪水波運(yùn)動(dòng)原理，分析洪水波在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，波的任一位相流量自上游站傳播到下游站時(shí)的相應(yīng)流量及其傳播時(shí)間的變化規(guī)律，尋求其經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，據(jù)以進(jìn)行洪水預(yù)報(bào)的一種簡(jiǎn)便方法，其傳播時(shí)間為預(yù)報(bào)提供了預(yù)見期。其中，常用的是根據(jù)相應(yīng)洪峰流量建立的線性相關(guān)模型（簡(jiǎn)稱線性模型）[208]。受波體水面線各水力要素、沿程河床邊界條件和區(qū)間入流分水等綜合影響，實(shí)際河道上下游斷面相應(yīng)洪峰流量之間的關(guān)系往往是非線性的，高水條件下與中、低水條件下的關(guān)系形式常常明顯不同?；诖?，可把TR模型用于相應(yīng)流量法預(yù)測(cè)洪水中?，F(xiàn)根據(jù)長(zhǎng)江流域某河道上、下游水文站1951年~1987年和1937年、1945年相應(yīng)年最大洪峰流量資料，來(lái)建立根據(jù)上游洪峰流量x(1,i)預(yù)測(cè)下游洪峰流量y(i)的TR模型。為評(píng)定和檢驗(yàn)TR模型的精度[208]，取1951年~1982年32洪次資料為建模樣本，其余7洪次資料為預(yù)測(cè)樣本。y與x之間的零時(shí)移相關(guān)系數(shù)為0.9447，這里在顯著水平為0.01時(shí)的rm值為0.4487，因此x與y的相關(guān)性是顯著的，x為門限變量。y與x延時(shí)0、1、2階的相關(guān)系數(shù)分別為0.9447、-0.1577、-0.0108，故門限延遲步數(shù)d取0。從圖4.2所示的序列{x(1,i)}與{y(i)}的散點(diǎn)圖中可看出，點(diǎn)群大致呈上、下兩段直線分布，據(jù)此確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L=2；分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在{x(1,i)}序列均值10021.56附近，從而可確定門限值r(1)的搜索范圍?？偵希傻妙A(yù)測(cè)下游洪峰流量的TR模型的結(jié)構(gòu)形式為(i=1，2，…)(4.11)圖4.2門限變量與因變量的散點(diǎn)圖為便于計(jì)算，式(4.11)中{x(1，i)}、{y(i)}都減去各自的觀測(cè)序列的均值(中心化)。把式(4.11)代入式(4.10)，即得例4.2的優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)，用AGA優(yōu)化TR模型的參數(shù)，它們的初始變化區(qū)間和優(yōu)化結(jié)果參見表4.4。表4.4用AGA優(yōu)化TR模型的參數(shù)加速優(yōu)秀個(gè)體的變化區(qū)間最小相對(duì)誤次數(shù)b(1,1)b(2,1)r(1)差絕對(duì)值和10.000,4.0000.000,4.0000.000,4000.0003.73440.776,0.8830.807,1.190338.973,3759.2833.67780.829,0.8341.121,1.1433482.720,3726.3593.674優(yōu)化值0.8341.1413490.2103.674把表4.4所得TR模型參數(shù)優(yōu)化值、建模樣本和預(yù)測(cè)樣本的上游洪峰流量值代入式(4.11)，可預(yù)測(cè)下游洪峰流量，結(jié)果見表4.5、表4.6，后兩表中同時(shí)列出了預(yù)測(cè)下游洪峰的線性模型（在式(4.10)目標(biāo)函數(shù)下用AGA優(yōu)化其參數(shù)，得到該模型為y(i)=0.848x(1,i)）的相應(yīng)結(jié)果。表4.7為兩模型的誤差分析的對(duì)比結(jié)果。表4.5~表4.7說(shuō)明：①根據(jù)水文預(yù)報(bào)方案評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)[208]，若洪峰流量的許可誤差取實(shí)測(cè)值的20%，則TR模型的合格率為87.50%，屬甲等預(yù)報(bào)方案，線性模型的合格率為84.38%，屬乙等預(yù)報(bào)方案；從確定性系數(shù)看，TR模型屬甲等方案，線性模型屬乙等方案。②根據(jù)水文預(yù)報(bào)方案檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[208]，對(duì)1983年~1987年以及1937年和1945年這7次洪水，TR模型的預(yù)報(bào)檢驗(yàn)結(jié)果分別為優(yōu)、優(yōu)、優(yōu)、合格、優(yōu)、合格、良，線性模型的預(yù)報(bào)檢驗(yàn)結(jié)果分別為優(yōu)、優(yōu)、優(yōu)、合格、優(yōu)、不合格、良，TR模型的預(yù)報(bào)性能比線性模型穩(wěn)健。③從其它誤差指標(biāo)看，TR模型也好于線性模型。TR模型僅利用上游站洪峰流量的信息，但由于有了門限的控制作用，已可以有效地描述上、下游相應(yīng)洪峰流量這一非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；TR模型的預(yù)測(cè)精度與擬合精度是一致的。表4.5TR模型和線性模型的擬合結(jié)果流量單位：m3/s年份上游洪峰下游洪峰下游洪峰流量計(jì)算值相對(duì)誤差(%)流量值流量實(shí)測(cè)值TR模型線性模型TR模型線性模型1951 123001280011372.7 11404.6-11.15-10.901952 707069707010.9 6969.60.59-0.011953 146001560014696.5 13355.0-5.79-14.391954 161001470016408.0 14627.011.62-0.501955 907088508678.9 8665.6-1.93-2.081956 139001390013897.8 12761.4-0.02 -8.191957 131001050012039.9 12083.014.6715.081958 142001300014240.1 13015.89.540.121959 11100976010371.9 10387.06.27 6.421960 778074407603.0 7571.72.19 1.771961 145001300014582.4 13270.212.172.081962 817076807928.3 7902.43.23 2.901963 814082007903.3 7876.9-3.62 -3.941964 11100914010371.9 10387.013.48 13.641965 274039503399.7 3297.7-13.93-16.511966 690068706869.1 6825.4-0.01-0.651967 11600961010788.9 10811.012.27 12.501968 135001040012373.5 12422.218.9819.441969 293068503558.1 3458.9-48.06-49.511970 952086909054.2 9047.24.19 4.111971 657053906593.9 6545.622.34 21.441972 826075708003.4 7978.75.72 5.401973 721061607127.7 7088.315.71 15.071974 468065205017.6 4942.9-23.04-24.191975 116001030010788.910811.04.754.961976 911079908712.3 8699.59.04 8.881977 885073408495.4 8479.015.74 15.521978 12500968011539.5 11574.219.21 19.571979 518043805434.6 5366.924.08 22.531980 653056506560.5 6511.716.1215.251981 257002870027361.6 22767.8-4.66-20.671982 618055306268.6 6214.913.36 12.38表4.6TR模型和線性模型的預(yù)測(cè)結(jié)果流量單位：m3/s年份上游洪峰下游洪峰下游洪峰流量計(jì)算值相對(duì)誤差(%)流量值流量實(shí)測(cè)值TR模型線性模型TR模型線性模型1983 118001140010955.7 10980.6-3.90-3.681984 10300102009704.7 9708.6-4.86-4.821985 778077807603.0 7571.7-2.27-2.681986 133019102223.7 2102.116.4310.061987 809077807861.6 7834.51.05 0.701937 204002400021314.3 18273.4-11.19-23.861945 262002550027932.1 23191.89.54 -9.05表4.7TR模型和線性模型的擬合誤差和預(yù)測(cè)誤差結(jié)果對(duì)比表相對(duì)誤差絕對(duì)值(%)落在下列區(qū)間的百分比(%)平均絕對(duì)平均相對(duì)確定性模型類型[0,5][0,10][0,15][0,20][0,25]誤差(m3/s)誤差(%)系數(shù)TR模型擬合31.2546.8871.8887.5096.88965.7111.480.93線性模型擬合34.3846.8862.5084.3896.881059.8211.580.88TR模型預(yù)測(cè)57.1471.4385.71100.00100.00947.097.03線性模型預(yù)測(cè)57.1471.4385.7185.71100.001342.927.83現(xiàn)從形成該河段洪水波的物理機(jī)制角度作進(jìn)一步的說(shuō)明。該河段長(zhǎng)度與區(qū)間平均寬度之比為5.8:1.0，區(qū)間面積相對(duì)于上、下游站控制的流域面積而言較小。該河段河槽寬淺，河心灘洲和河槽叉道多，洪水波附加比降大，致使洪水波展開變形突出。當(dāng)區(qū)間來(lái)洪量不足以抵償洪水波展開量時(shí)，下游站相應(yīng)洪峰流量反而小于上游站的洪峰流量，中、小洪水往往發(fā)生這種情況，其出現(xiàn)頻率超過(guò)70%；反之，當(dāng)區(qū)間來(lái)洪量足以抵償洪水波展開量時(shí)，下游站相應(yīng)洪峰流量將大于或等于上游站的洪峰流量，大洪水往往發(fā)生這種情況，其出現(xiàn)頻率不到30%。TR模型利用門限值來(lái)描述該河段上述物理特性，即在大洪水時(shí)下游站洪峰流量值具有比上游站洪峰流量值大的趨勢(shì)，在中、小洪水時(shí)下游站洪峰流量值具有比上游站洪峰流量值小的趨勢(shì)（參見表4.4~表4.6)；而線性模型則采用相應(yīng)洪峰流量的平均模式，對(duì)大、中、小洪水情況不作區(qū)分，因此降低了模型的預(yù)報(bào)精度，而且也與該河段洪水波的成因機(jī)制不符。例4.3在年徑流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[206]。在當(dāng)前用水日趨緊張的情況下，年徑流預(yù)測(cè)對(duì)合理開發(fā)和優(yōu)化利用水資源、更好地制定區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)規(guī)劃具有十分重要的指導(dǎo)意義。受降雨天氣系統(tǒng)和流域下墊面系統(tǒng)綜合作用的影響，年徑流過(guò)程是一弱相依、高度復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，目前國(guó)內(nèi)外的年徑流預(yù)測(cè)的研究仍處于探索階段[209]，常用的預(yù)測(cè)方法可大致分為成因預(yù)測(cè)方法和統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法兩大類。前者是基于研究大氣環(huán)流、天氣過(guò)程的演變規(guī)律和流域下墊面物理狀況的成因動(dòng)力模型，是年徑流預(yù)測(cè)研究的一個(gè)重要發(fā)展方向。但由于年徑流具有時(shí)間上和空間上復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)特性，目前成因動(dòng)力預(yù)測(cè)仍極為困難。而后者則是基于年徑流及其影響因子的統(tǒng)計(jì)關(guān)系建立的統(tǒng)計(jì)模型，因其可操作性強(qiáng)至今仍廣為采用。常規(guī)統(tǒng)計(jì)模型存在的主要問(wèn)題是預(yù)測(cè)精度較難控制，常出現(xiàn)擬合精度高而預(yù)測(cè)精度低的現(xiàn)象，難以實(shí)用?，F(xiàn)試把TR模型用于年徑流預(yù)測(cè)中。取文獻(xiàn)[209]中所給的新疆伊犁河雅馬渡站年徑流預(yù)測(cè)為例。該站23年實(shí)測(cè)年徑流（因變量y(i)）資料與其相應(yīng)的4個(gè)預(yù)測(cè)因子數(shù)據(jù)見表4.8，其中，預(yù)測(cè)因子x(1，i)為前一年11月至當(dāng)年3月伊犁氣象站的總降雨量(mm)，預(yù)測(cè)因子x(2，i)為前一年8月歐亞地區(qū)月平均緯向環(huán)流指數(shù)，預(yù)測(cè)因子x(3，i)為前一年5月歐亞地區(qū)徑向環(huán)流指數(shù)，預(yù)測(cè)因子x(4，i)為前一年6月2800MHz太陽(yáng)射電流量(10-22W/m2HZ)。取前17年資料為建模樣本，最后6年資料為測(cè)試樣本。表4.8用TR模型預(yù)測(cè)雅馬渡站年徑流的結(jié)果年份預(yù)測(cè)因子年徑流量(m3/s)絕對(duì)誤差相對(duì)誤差序號(hào)x(1)x(2)x(3)x(4)實(shí)測(cè)值TR模型(m3/s)(%)1114.61.100.7185346382.136.1410.452132.40.970.5473410389.6-20.39-4.973103.50.960.6667385368.2-16.83-4.374179.30.880.5989446445.0-1.03-0.23592.71.150.44154300369.269.2523.086115.00.740.65252453453.40.360.087163.60.850.58220495478.2-16.83-3.408139.50.700.59217478461.5-16.52-3.46976.70.950.51162341368.727.748.131042.11.080.47110326299.0-26.95-8.271177.81.190.5791364333.2-30.81-8.4712100.60.820.5983456372.8-83.20-18.251355.30.960.4069300290.1-9.94-3.3114152.11.040.4977433403.5-29.49-6.811581.01.080.5496336339.02.960.881629.80.830.49120289293.14.111.4217248.60.790.50147483528.044.969.311864.90.590.50167402360.2-41.81-10.401995.71.020.48160384381.6-2.36-0.612089.90.960.39105314348.134.0710.8521121.80.830.60140401412.911.942.982278.50.890.4494280332.052.0118.572390.00.950.4389301341.540.5413.47y(i)與x(1，i)、x(2，i)、x(3，i)、x(4，i)之間的零時(shí)移相關(guān)系數(shù)分別為0.81、-0.63、0.43和0.41，這里在顯著水平為0.10時(shí)的rm值為0.41，因此這些預(yù)測(cè)因子與因變量之間的相關(guān)性都是顯著的。其中x(1，i)的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大，故x(1)作為門限變量，門限延遲步數(shù)d為0。圖4.3為序列{x(1,i)}與{y(i)}的散點(diǎn)圖。圖4.3門限變量與年徑流之間的散點(diǎn)圖從圖4.3中可看出，點(diǎn)群可大致分為左、右兩段直線，據(jù)此確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L=2，分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在{x(1，i)}序列均值112.04附近，從而可確定門限值r(1)的搜索范圍?？偵希傻妙A(yù)測(cè)該站年徑流的TR模型的結(jié)構(gòu)形式為(4.12)為便于建模，式(4.12)中{x(s,i)}、{y(i)}都去掉各自的觀測(cè)序列的均值(中心化)。把式(4.12)代入下式(4.13)即得此例的目標(biāo)函數(shù)。式(4.13)中n為樣本容量。用AGA優(yōu)化TR模型的參數(shù)，它們的初始變化區(qū)間和優(yōu)化結(jié)果參見表4.9。把表4.9所得模型參數(shù)優(yōu)化值、建模樣本和預(yù)測(cè)樣本代入式(4.12)，進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果見表4.8。表4.10為TR模型的擬合誤差分析和預(yù)測(cè)誤差分析的對(duì)比結(jié)果。表4.9用AGA優(yōu)化TR模型的參數(shù)加速優(yōu)秀個(gè)體的變化區(qū)間最小殘差次數(shù)b(1,1)b(1,2)b(1,3)b(1,4)b(2,1)b(2,2)b(2,3)b(2,4)r(1)平方和10.00,10.00-50.00,0.000.00,100.000.00,10.000.00,10.00-50.00,0.000.00,100.000.00,10.00-50.00,50.001253.250.37,2.09-34.51,-5.218.78,74.200.46,2.240.23,2.37-44.02,-12.8613.19,87.730.22,1.30-35.72,39.78512.4100.90,1.21-30.48,-7.2524.13,68.800.50,0.640.73,1.10-40.20,-20.4525.31,74.400.32,0.42-24.91,-11.53437.5優(yōu)化值1.137-7.38544.4820.5310.920-39.84757.4980.359-20.216437.5表4.10TR模型的擬合誤差和預(yù)測(cè)誤差結(jié)果對(duì)比表平均絕對(duì)平均相對(duì)相對(duì)誤差(%)的絕對(duì)值落在下列區(qū)間的百分比(%)項(xiàng)目誤差(m3/s)誤差(%)[0,5][0,15][0,20][0,30]TR模型擬合25.746.7652.9488.2494.12100.00TR模型預(yù)測(cè)30.459.4833.3383.33100.00100.00表4.8、表4.10說(shuō)明：①若以相對(duì)誤差小于20%為合格[208，209]，則TR模型的擬合合格率為94.12%，預(yù)測(cè)合格率為100.00%，由于年徑流預(yù)測(cè)的復(fù)雜性，這一結(jié)果令人滿意，可用于作業(yè)預(yù)報(bào)。②TR模型由于有了門限的控制作用（即當(dāng)x(1，i)>r(1)時(shí)更換預(yù)測(cè)模式）已可以描述該站年徑流這一非線性復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；TR模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度是一致的，顯示出TR模型穩(wěn)健的預(yù)測(cè)性能。4.4基于遺傳算法的雙線性模型建立非線性時(shí)序模型的主要困難在于迄今尚未找到能用有限個(gè)參數(shù)表示的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式。近代控制理論中提出的雙線性模型（bilineartimeseriesmodel-BM模型）只包含有限個(gè)模型參數(shù)，使得用這種模型擬合非線性時(shí)序具有實(shí)現(xiàn)的的可能性。BM模型利用在實(shí)際預(yù)測(cè)過(guò)程中得到的殘差信息進(jìn)行反饋校正，只用較少的模型參數(shù)就可保證模型高的擬合精度和穩(wěn)健的預(yù)測(cè)性能，對(duì)水資源系統(tǒng)復(fù)雜非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。應(yīng)用BM模型的主要問(wèn)題是BM建模過(guò)程的復(fù)雜性。為此，本節(jié)提出了基于AGA的BM建模方法，并開展了相應(yīng)的應(yīng)用研究。4.4.1基于遺傳算法的雙線性模型的建立[210]BM模型的一般形式為[204](4.14)式中，x(i)為零均值時(shí)序，N為時(shí)序樣本容量；殘差e(i)為固定方差的白噪聲序列，不同e(i)之間相互獨(dú)立；a(k)為自回歸(auto-regressive-AR)模型項(xiàng)的系數(shù)，b(j)為滑動(dòng)平均（movingaverage-MA）模型項(xiàng)的系數(shù)，c(k，j)為雙線性項(xiàng)的系數(shù)，p、q、m和n分別為這三項(xiàng)的階數(shù)。該模型簡(jiǎn)記為BM(p，q，m，n)。顯然，BM(p，q，0，0)就是目前時(shí)間序列分析中應(yīng)用最廣的自回歸滑動(dòng)平均模型ARMA(p,q)[201]。BM模型的主要特點(diǎn)是，在ARMA模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了預(yù)測(cè)殘差的過(guò)去值e(i-j)與系統(tǒng)行為的過(guò)去值x(i-k)之間的交互作用對(duì)系統(tǒng)當(dāng)前行為x(i)的影響，當(dāng)x(i)固定時(shí)BM模型就成為關(guān)于e(i)的線性模型，而當(dāng)e(i)固定時(shí)BM模型則成為關(guān)于x(i)的線性模型，故稱雙線性模型。可見BM模型實(shí)質(zhì)上是ARMA模型的非線性推廣形式。由于BM模型有效利用了預(yù)測(cè)過(guò)程中產(chǎn)生的殘差信息，在實(shí)際應(yīng)用中常常表現(xiàn)出模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明、參數(shù)少、適應(yīng)性強(qiáng)等顯著優(yōu)點(diǎn)，因而是一類具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的非線性時(shí)序模型[199，204]。應(yīng)用BM的主要問(wèn)題是BM建模過(guò)程的復(fù)雜性。目前常采用SubbaRao提出的反復(fù)殘差法[199，204]，是在模型階數(shù)已定的條件下反復(fù)應(yīng)用最小二乘法來(lái)近似估計(jì)模型參數(shù)，計(jì)算量大，操作不便。BM建模的復(fù)雜性在一定程度上限制了它的廣泛應(yīng)用。BM模型的建模問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，可用遺傳算法處理。基于這一思想，下面給出一套簡(jiǎn)便實(shí)用的BM建模方法，它包括如下3個(gè)步驟：步驟1：用自相關(guān)分析技術(shù)確定BM模型的自回歸項(xiàng)。實(shí)測(cè)時(shí)序{x(i)}延遲k步的自相關(guān)系數(shù)R(k)為[201](4.15)(4.16)式中，N為實(shí)測(cè)時(shí)序{x(i)}的容量，k=1，2，…，nk。nk<[n/4]。R(k)的方差隨k的增大而增大，R(k)的估計(jì)精度隨k的增加而降低，因此nk應(yīng)取較小值。根據(jù)R(k)的抽樣分布理論，在容許水平1–a的情況下，當(dāng)自相關(guān)系數(shù)值(4.17)時(shí)則推斷時(shí)序值x(i)與x(i-k)之間的相依性顯著；否則推斷時(shí)序值x(i)與x(i-k)之間的相依性不顯著[201]。式(4.17)中分位值ua/2可從正態(tài)分布表中查得。BM模型自回歸項(xiàng)應(yīng)與這些相依性顯著的x(i-k)項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，其中相依性顯著的最大延遲步數(shù)即為自回歸項(xiàng)的階數(shù)p。步驟2：根據(jù)自回歸項(xiàng)和建模經(jīng)驗(yàn)確定BM模型的滑動(dòng)平均項(xiàng)和雙線性項(xiàng)?；诳刂评碚撝姓`差反饋校正的思想，BM模型的滑動(dòng)平均項(xiàng)和雙線性項(xiàng)是利用過(guò)去預(yù)測(cè)所產(chǎn)生的殘差信息來(lái)修正當(dāng)前的預(yù)測(cè)值，因此這兩項(xiàng)的具體結(jié)構(gòu)形式與殘差對(duì)系統(tǒng)行為的作用有關(guān)。根據(jù)應(yīng)用BM模型的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)用中時(shí)序樣本容量N一般不大。筆者認(rèn)為，這兩項(xiàng)中殘差的延遲階數(shù)（q和n)傾向于取較小值(一般取1，有時(shí)取2，很少取3或以上)，以保持較少的模型參數(shù)，提高模型預(yù)測(cè)的穩(wěn)健性，而雙線性項(xiàng)中的x(i-k)應(yīng)與步驟1中確定的BM模型的自回歸項(xiàng)相一致，故可取m=p。步驟3：用加速遺傳算法(AGA)同時(shí)優(yōu)化BM模型參數(shù)。若BM(p，q，m，n)模型具有可逆性，則可用下式遞推出殘差系列{e(i)|i=1，2，…，N}[211](4.18)式中，M=max(p，q，m，n)，max()為取最大值函數(shù)。BM(p，q，m，n)模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為如下極小化問(wèn)題(4.19)作為一種通用的優(yōu)化方法，AGA顯然可同時(shí)求解式(4.19)中所有模型參數(shù)。4.4.2應(yīng)用實(shí)例[210]例4.4.1在具有周期變化和下降趨勢(shì)的地下水位的預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)地下水位的動(dòng)態(tài)變化，可為控制地面沉降、穩(wěn)定邊坡、規(guī)劃市政工程、經(jīng)濟(jì)利用土地等工程設(shè)計(jì)提供重要的理論依據(jù)和參考數(shù)據(jù)。在中國(guó)許多地區(qū)，大氣降水是地下水的主要來(lái)源，因降水具有準(zhǔn)年周期性波動(dòng)，地下水位也呈現(xiàn)周期性動(dòng)態(tài)變化；另外，若地下水的開采量大于補(bǔ)給量，地下水位又有持續(xù)下降的趨勢(shì)。在這種情況下，如用灰色GM(1,1)模型就不能反映地下水位周期波動(dòng)的特征，而用周期外延預(yù)測(cè)模型又不能有效描述序列總體下降趨勢(shì)。目前通常的處理方法是對(duì)周期性特征和下降趨勢(shì)特征分別建立模型，然后迭加[203，212]。迭加模型所用的模型參數(shù)個(gè)數(shù)一般較多，導(dǎo)致預(yù)測(cè)模型的不確定性較大，嚴(yán)重影響了模型的實(shí)用價(jià)值。為此，下面探討B(tài)M模型在地下水位動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。某地區(qū)1985年~1995年間每年2、6、10月份的地下水位平均值如表4.11所示，該表顯示地下水位呈現(xiàn)明顯的準(zhǔn)年周期和持續(xù)下降趨勢(shì)變化[212]。這里用該表1985年~1994年序列{x(i)|i=1~30}來(lái)建立BM模型，1995年用于試報(bào)。計(jì)算該序列前9階自相關(guān)系數(shù)值R(k)和與之相應(yīng)的式(4.17)右邊上、下限R2(k)、R1(k)值，結(jié)果見表4.12，其中置信水平取95%。表4.12顯示，R(1)~R(3)的相依性在置信水平95%的條件下是顯著的，R(6)值、R(9)值是R(3)值的反映，表明該序列具有準(zhǔn)年周期性，故這里取延遲1~3步作為BM模型的自回歸項(xiàng)，p=3。表4.11例4.4.1地下水位實(shí)測(cè)值和BM(3,1,3,1)模型的計(jì)算值（單位：m）年份1985(2，6，10月)1986(2，6，10月)1987(2，6，10月)1988(2，6，10月)實(shí)測(cè)值27.89，25.67，27.3327.38，25.55，26.9126.88，25.42，26.4026.17，24.86，25.87計(jì)算值27.49，25.52，26.9526.99，25.39，26.5726.43，25.04，25.94殘差–0.11，0.03，–0.04–0.11，0.03，–0.17–0.26，–0.18，–0.07年份1989(2，6，10月)1990(2，6，10月)1991(2，6，10月)1992(2，6，10月)實(shí)測(cè)值25.64，24.33，25.4225.22，24.00，25.1225.10，23.70，24.9324.84，23.61，24.83計(jì)算值25.88，24.61，25.4525.41，24.20，25.0925.04，24.11，24.7824.90，23.73，24.65殘差–0.24，–0.28，–0.03–0.19，–0.20，0.030.06，–0.41，0.15–0.06，–0.12，0.18年份1993(2，6，10月)1994(2，6，10月)1995(2，6，10月)(試報(bào))實(shí)測(cè)值24.75，23.49，24.7324.61，23.40，24.5624.50，23.48，24.60計(jì)算值24.65，23.73，24.5424.54，23.58，24.4324.38，23.42，24.27殘差0.10，–0.24，0.190.07，–0.18，0.130.12，0.06，0.33表4.12例4.4.1地下水位序列自相關(guān)系數(shù)及其上、下限值(95%置信水平)k123456789R1(k)–0.392–0.399–0.407–0.415–0.424–0.433–0.443–0.454–0.465R(k)0.4510.4650.7620.2810.2800.5150.0920.0790.275R2(k)0.3230.3280.3330.3380.3440.3500.3560.3630.370

考慮到該資料序列較短，模型參數(shù)不宜太多，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定該雙線性模型的結(jié)構(gòu)為BM(3,1,3,1)，同時(shí)考慮該序列具有下降趨勢(shì)，故模型的具體形式可表寫為=a(1)x(i-1)+a(2)x(i-2)+a(3)x(i-3)-b(1)e(i-1)-c(1,1)x(i-1)e(i-1)-c(2,1)x(i-2)e(i-1)-c(3,1)x(i-3)e(i-1)+di(4.20)式中，i為時(shí)序的序號(hào)，1985年2月對(duì)應(yīng)的序號(hào)為1，1994年10月對(duì)應(yīng)的序號(hào)為30，余類推；為第i時(shí)刻地下水位的預(yù)測(cè)值；序列x(i)值都已經(jīng)去掉資料序列的均值25.287（中心化）；e(i-1)為預(yù)測(cè)第i-1時(shí)刻地下水位的殘差，通過(guò)把式(4.20)代入式(4.18)求得；d為趨勢(shì)項(xiàng)的系數(shù)。把{e(i)}代入式(4.19)，即得例4.4.1的目標(biāo)函數(shù)，用AGA優(yōu)化BM模型的參數(shù)，它們的初始變化區(qū)間和優(yōu)化結(jié)果參見表4.13。表4.13用AGA優(yōu)化例4.4.1地下水位BM(3,1,3,1)模型的參數(shù)加速優(yōu)秀個(gè)體的變化區(qū)間最佳目標(biāo)次數(shù)a(1)a(2)a(3)b(1)c(1,1)c(2,1)c(3,1)d函數(shù)值10.00,1.000.00,1.000.00,1.00–1.00,1.00–1.00,1.00–1.00,1.00–1.00,1.00–0.100,0.1002.2340.05,0.340.01,0.160.60,0.84–0.79,0.01–0.61,0.14–0.61,0.48–0.35,0.70–0.024,0.0071.0380.05,0.090.01,0.050.77,0.80–0.68,–0.25–0.38,–0.14–0.41,0.19–0.06,0.30–0.015,–0.0080.77優(yōu)化值0.06870.01530.8026–0.6599–0.2810–0.34850.1896–0.00890.77把表4.13所得的參數(shù)優(yōu)化值代入式(4.20)，即得預(yù)測(cè)實(shí)例4.4.1地下水位時(shí)序的BM(3,1,3,1)模型。顯然，該模型具有可逆性，也反映了表4.12所示的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。BM(3,1,3,1)模型1986年2月~1994年10月的擬合結(jié)果和1995年2月~10月的預(yù)測(cè)結(jié)果參見表4.11。表4.14列出了BM(3,1,3,1)模型擬合誤差的分析結(jié)果。表4.14例4.4.1地下水位時(shí)序各預(yù)測(cè)模型的擬合誤差分析結(jié)果對(duì)比表預(yù)測(cè)模型類型殘差絕對(duì)值/m落在下列區(qū)間的百分比/%(1986年2月~1994年10月)[0,0.2][0,0.4][0,0.6][0,0.8]灰色GM(1,1)模型[212]18.537.055.677.8灰色—周期外延組合模型[212]44.488.9100.0100.0BM(3,1,3,1)模型81.596.3100.0100.0例4.4.2在逐月地下水位地下水位預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[203]中76-7號(hào)孔1983年~1991年逐月地下水位觀測(cè)序列{x(i)|i=1~108}的延遲1步、2步、3步和12步的自相關(guān)系數(shù)值R(1)、R(2)、R(3)和R(12)分別為0.722、0.455、0.212和0.419，用式(4.17)可以驗(yàn)證，它們的相依性在置信水平取95%下是顯著的。其中，R(2)、R(3)分別近似為R(1)2、R(1)3，這正是AR(1)模型自相關(guān)系數(shù)的拖尾特征[201]，因此僅用R(1)就可以大致反映R(2)、R(3)的相依特性；R(12)表明該序列具有準(zhǔn)年周期性。該序列尚有其它較為次要的相依性顯著的延遲步數(shù)，考慮到穩(wěn)健的預(yù)測(cè)模型的參數(shù)不宜太多，故這里只取延遲1步、延遲12步作為BM模型的自回歸項(xiàng)，p=12。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定例4.4.2的雙線性模型的結(jié)構(gòu)形式為BM(12,1,12,1)，即=a(1)x(i–1)+a(12)x(i–12)–b(1)e(i–1)–c(1,1)x(i–1)e(i–1)–c(12,1)x(i–12)e(i–1)(4.21)式中，序列x(i)值都已去掉觀測(cè)序列的均值42.529；其它符號(hào)參見式(4.20)。把{e(i)}代入式(4.19)，即得例4.4.2的目標(biāo)函數(shù)，用AGA優(yōu)化BM(12,1,12,1)模型的參數(shù)a(1)、a(12)、b(1)、c(1,1)和c(12,1)，它們的初始變化區(qū)間分別取[0,1]、[0,1]、[–1,1]、[–1,1]和[–1,1]，AGA加速尋優(yōu)6次即得它們的優(yōu)化值分別為0.559、0.295、–0.245、0.302和0.556。把這些BM(12,1,12