第18頁（共18頁）2025年暑期新高一數(shù)學人教新版學困生專題復習《一元二次方程》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?界首市期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0時，若將方程變形為（x+p）2＝q，則q﹣p＝（）A．9 B．17 C．13 D．52．（2025春?昭平縣期中）方程x（x﹣5）＝4x﹣10化為一元二次方程的一般形式是（）A．x2﹣9x+10＝0 B．x2﹣x+10＝0 C．x2+9x﹣10＝0 D．x2﹣x﹣10＝03．（2025春?利辛縣期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，則α+β＝（）A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣104．（2025?南崗區(qū)模擬）現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，則實數(shù)x的值是（）A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣45．（2025?廈門模擬）2020年教育部印發(fā)了《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》，勞動教育已納入人才培養(yǎng)過程．某中學加大校園農(nóng)場建設(shè)，為學生提供更多的勞動場所．該農(nóng)場某種作物2020年的年產(chǎn)量為100千克，2022年的年產(chǎn)量為225千克．設(shè)該作物年產(chǎn)量的平均增長率為x，則符合題意的方程是（）A．100（1+2x）＝225 B．100（1+x）2＝225 C．100（1+x2）＝225 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝2256．（2025?東莞市模擬）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一個解，則m的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣27．（2025?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）新能源汽車已逐漸成為人們的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商1月至3月份統(tǒng)計，該品牌新能源汽車1月份銷售1000輛，3月份銷售1210輛．設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210 C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝10008．（2025春?鯉城區(qū)校級期末）將一元二次方程x2﹣2x＝6化為一般形式后，其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣69．（2025春?蒙城縣期中）方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠310．（2025?鹽城一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷二．填空題（共5小題）11．（2025春?蒙城縣期中）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了1600元．設(shè)平均每月降價的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是．12．（2025春?界首市期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣m＝x的兩個實數(shù)根分別為α，β，則α+β＝．13．（2025春?利辛縣期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，則x12x2+x14．（2025?李滄區(qū)校級三模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（2025?盤龍區(qū)校級模擬）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則可列方程為．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?興隆縣期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取何值，方程一定有兩個實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長a＝1，另兩邊b，c的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．17．（2025春?濉溪縣期中）設(shè)x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值．（1）（x1+1）（x2+1）；（2）1x18．（2025春?新泰市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）若該△ABC是等邊三角形，求該方程的根；（2）若該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，判斷△ABC的形狀，并說明理由．19．（2024秋?威寧縣期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰方程”．（1）判斷一元二次方程3x2+4x+1＝0是否為“鳳凰方程”，并說明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0是“鳳凰方程”，求m的值．20．（2024秋?吳橋縣期末）用適當方法解方程．（1）x2﹣7＝6x；（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）．

2025年暑期新高一數(shù)學人教新版學困生專題復習《一元二次方程》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案AAACBDBCBC一．選擇題（共10小題）1．（2025春?界首市期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0時，若將方程變形為（x+p）2＝q，則q﹣p＝（）A．9 B．17 C．13 D．5【考點】解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方，據(jù)此可得p，q得值，再代值計算即可．【解答】解：x2+8x+3＝0，x2+8x＝﹣3，x2+8x+42＝﹣3+42，（x+4）2＝﹣3+16，（x+4）2＝13，∵方程x2+8x+3＝0變形為（x+p）2＝q，∴p＝4，q＝13，∴q﹣p＝13﹣4＝9．故選：A．【點評】本題主要考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．2．（2025春?昭平縣期中）方程x（x﹣5）＝4x﹣10化為一元二次方程的一般形式是（）A．x2﹣9x+10＝0 B．x2﹣x+10＝0 C．x2+9x﹣10＝0 D．x2﹣x﹣10＝0【考點】一元二次方程的一般形式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】首先利用單項式乘以多項式把等號左邊展開，然后移項，把等號右邊化為0，再化簡即可．【解答】解：x（x﹣5）＝4x﹣10，x2﹣5x＝4x﹣10，即x2﹣5x﹣4x+10＝0，∴x2﹣9x+10＝0，∴方程x（x﹣5）＝4x﹣10化為一元二次方程的一般形式是x2﹣9x+10＝0．故選：A．【點評】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握：任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），這種形式叫一元二次方程的一般形式．3．（2025春?利辛縣期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，則α+β＝（）A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于-ba，即可求出α+【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，∴α+β＝7．故選：A．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于-ba，兩根之積等于4．（2025?南崗區(qū)模擬）現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，則實數(shù)x的值是（）A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】新定義．【答案】C【分析】原式根據(jù)題中的新定義，進行列式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵對于任意實數(shù)a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，∴x★2＝x2﹣3x+2，即：x2﹣3x+2＝6，∴x2﹣3x﹣4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，∴x1＝4，x2＝﹣1．故選：C．【點評】此題考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本題關(guān)鍵是明確新定義的運算符號所代表的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?廈門模擬）2020年教育部印發(fā)了《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》，勞動教育已納入人才培養(yǎng)過程．某中學加大校園農(nóng)場建設(shè)，為學生提供更多的勞動場所．該農(nóng)場某種作物2020年的年產(chǎn)量為100千克，2022年的年產(chǎn)量為225千克．設(shè)該作物年產(chǎn)量的平均增長率為x，則符合題意的方程是（）A．100（1+2x）＝225 B．100（1+x）2＝225 C．100（1+x2）＝225 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝225【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】B【分析】利用該農(nóng)場某種作物2022年的年產(chǎn)量＝該農(nóng)場某種作物2020年的年產(chǎn)量×（1+該作物年產(chǎn)量的平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得100（1+x）2＝225．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2025?東莞市模擬）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一個解，則m的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考點】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】D【分析】將方程的解x＝1代入方程中求解即可．【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一個解，∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程的解，理解方程的解滿足方程是解答的關(guān)鍵．7．（2025?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）新能源汽車已逐漸成為人們的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商1月至3月份統(tǒng)計，該品牌新能源汽車1月份銷售1000輛，3月份銷售1210輛．設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210 C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝1000【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)1月份的銷售量×（1+增長率）2＝3月份的銷售量，列出方程即可．【解答】解：設(shè)某品牌新能源汽車銷售量的月均增長率為x，根據(jù)題意得：1000（1+x）2＝1210，故選：B．【點評】本題考查了從實際問題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8．（2025春?鯉城區(qū)校級期末）將一元二次方程x2﹣2x＝6化為一般形式后，其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6【考點】一元二次方程的一般形式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式解答．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x＝6化為一般形式，得x2﹣2x﹣6＝0，則二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，﹣2，﹣6，故選：C．【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫做二次項系數(shù)，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項．9．（2025春?蒙城縣期中）方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠3【考點】一元二次方程的定義．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到m﹣1≠0，解不等式即可．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．10．（2025?鹽城一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】C【分析】求出判別式Δ＝b2﹣4ac，判斷其的符號就即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，∴2x2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?蒙城縣期中）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了1600元．設(shè)平均每月降價的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是3200（1﹣x）2＝1600．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】3200（1﹣x）2＝1600．【分析】利用該種品牌的手機經(jīng)過兩次降價后的價格＝該種品牌的手機的原售價×（1﹣平均每月降價的百分率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：3200（1﹣x）2＝1600．故答案為：3200（1﹣x）2＝1600．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2025春?界首市期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣m＝x的兩個實數(shù)根分別為α，β，則α+β＝1．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】1．【分析】把方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案．【解答】解：由根與系數(shù)關(guān)系可知：α+β＝1，故答案為：1．【點評】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系．熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2025春?利辛縣期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，則x12x2+x【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】﹣6．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，再將其代入原式＝x1x2（x1+x2）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝﹣6故答案為：﹣6．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于-ba，兩根之積等于14．（2025?李滄區(qū)校級三模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤4，且k≠0．【考點】根的判別式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】若一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．【解答】解：∵方程有兩個實數(shù)根，∴根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，即k≤4，且k≠0，故答案為k≤4，且k≠0．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．15．（2025?盤龍區(qū)校級模擬）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則可列方程為1+x+x（1+x）＝121．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】1+x+x（1+x）＝121．【分析】先根據(jù)題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，而已知第二輪傳染后患流感的人數(shù)即可列出方程．【解答】解：第一輪傳染后患流感的人數(shù)為：x人，第二輪傳染后患流感的人數(shù)為：1+x+x（1+x），經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，可列方程為：1+x+x（1+x）＝121．故答案為：1+x+x（1+x）＝121．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵分清題意，找出等量關(guān)系，兩輪傳染的人數(shù)是等量關(guān)系，列出一輪傳染的代數(shù)式，二輪傳染的代數(shù)式即可解決問題．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?興隆縣期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取何值，方程一定有兩個實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長a＝1，另兩邊b，c的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【考點】根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先計算判別式的值得到Δ＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得△≥0，則根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）把x＝1代入方程得出關(guān)于k的方程，求得k的數(shù)值即可．已知a＝6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進行檢驗【解答】解：（1）證明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；（2）①若a＝1為底邊，則b，c為腰長，則b＝c，則Δ＝0．∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2．此時原方程化為x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此時△ABC三邊為1，2，2能構(gòu)成三角形，故周長為1+2+2＝5；②若a＝b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)b＝a＝1代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0解得k＝1，則原方程化為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，即b＝1，c＝2，此時△ABC三邊為1，1，2不能構(gòu)成三角形，則舍去；∴△ABC的周長為5．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．17．（2025春?濉溪縣期中）設(shè)x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值．（1）（x1+1）（x2+1）；（2）1x【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-42=-2，x1（1）利用乘法公式展開得到原式＝x1x2+x1+x2+1，然后利用整體代入的方法計算；（2）通分得到原式=x【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=-42=-2，x1（1）原式＝x1x2+x1+x2+1=-32（2）原式=x【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x18．（2025春?新泰市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）若該△ABC是等邊三角形，求該方程的根；（2）若該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，判斷△ABC的形狀，并說明理由．【考點】根的判別式；等邊三角形的性質(zhì)；一元二次方程的定義；解一元二次方程﹣公式法．【專題】一元二次方程及應用．【答案】（1）x1＝0，x2＝1；（2）直角三角形，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得a＝b＝c，繼而可將方程化簡，再進行求解即可；（2）根據(jù)題意可知根的判別式的值為0，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．【解答】解：（1）當△ABC是等邊三角形時，a＝b＝c，原方程可化為：2ax2﹣2ax＝0，即2a（x2﹣x）＝0，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1；（2）是直角三角形，理由如下：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，∴4a2﹣4b2+4c2＝0，∴a2﹣b2+c2＝0，即a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?威寧縣期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰方程”．（1）判斷一元二次方程3x2+4x+1＝0是否為“鳳凰方程”，并說明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0是“鳳凰方程”，求m的值．【考點】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)“鳳凰方程”的意義判斷即可；（2）根據(jù)“鳳凰方程”的意義，得出1﹣m﹣5＝0，求出m即可．【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0是鳳凰方程，理由：因為一元二次方程3x2+4x+1＝0滿足3﹣4+1＝0，所以一元二次方程3x2+4x+1＝0是鳳凰方程；（2）若關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0是“鳳凰方程”，則1﹣m﹣5＝0，解得m＝﹣4．【點評】本題考查了一元二次方程的解，理解題意，掌握“鳳凰方程”的意義是解決本題的關(guān)鍵．20．（2024秋?吳橋縣期末）用適當方法解方程．（1）x2﹣7＝6x；（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）移項后用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，∴x﹣7＝0或x+1＝0，∴x1＝7，x2＝﹣1；（2）原方程整理得2（2x﹣3）﹣3x（2x﹣3）＝0，∴（2x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴2x﹣3＝0或2﹣3x＝0，∴x1【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵．

考點卡片1．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．4．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．5．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．6．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．7．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有