第31頁(yè)（共31頁(yè)）2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專(zhuān)題復(fù)習(xí)《勾股定理》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?德城區(qū)校級(jí)期中）如圖是兩個(gè)型號(hào)的圓柱型筆筒，粗細(xì)相同，高度分別是8cm和12cm，將一支鉛筆按如圖所示的方式先后放入兩個(gè)筆筒，鉛筆露在筆筒外面的部分分別為4cm和2cm，則鉛筆的長(zhǎng)為（）A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm2．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在一塊四邊形ABCD空地上種植草皮，測(cè)得∠ABC＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，則需要投入（）A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元3．（2025春?離石區(qū)期中）某物流公司的全自動(dòng)無(wú)人機(jī)需從倉(cāng)庫(kù)出發(fā)，向東飛行1.2km后，再向北飛行0.9km抵達(dá)社區(qū)配送點(diǎn)，由于中央?yún)^(qū)域有信號(hào)塔障礙，無(wú)人機(jī)必須嚴(yán)格沿正東、正北方向飛行．若升級(jí)后的導(dǎo)航系統(tǒng)支持直線飛行繞過(guò)障礙，則從倉(cāng)庫(kù)到社區(qū)配送點(diǎn)的最短路徑為（）A．1.0km B．1.5km C．1.8km D．2.1km4．（2025?廣東模擬）如圖，在底面周長(zhǎng)約為6米的石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面盤(pán)繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C，B為AC的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米5．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD＝3，以點(diǎn)D為圓心，以DA為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，連接DE，再分別以B、E為圓心，以大于12BE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)F，則A．2 B．83 C．73 D6．（2025春?信豐縣期中）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AB=5 B．AC＝5 C．BC=25 D．∠7．（2025春?福鼎市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BE是△ABC的角平分線，AD，BE相交于點(diǎn)F，若AF=32，EF＝2，則A．2 B．22 C．10 D．8．（2025春?巨野縣期中）三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝7：16：14 B．a(chǎn)2﹣b2＝c2 C．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） D．a(chǎn)：b：c＝15：9：129．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）如圖，用11個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類(lèi)似海螺的圖形，其中第一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為1和2，其它直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1．記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（）A．15 B．16 C．17 D．1810．（2025?伍家崗區(qū)模擬）一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，以下長(zhǎng)方形薄木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)的是（）A．長(zhǎng)6m，寬5m B．長(zhǎng)5m，寬4m C．長(zhǎng)4m，寬3.5m D．長(zhǎng)3m，寬2.1m二．填空題（共5小題）11．（2025春?離石區(qū)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形（斜邊長(zhǎng)為13，一條直角邊長(zhǎng)為12）拼成的大正方形，中空部分ABCD是一個(gè)小正方形．連接AC，則AC的長(zhǎng)為．12．（2025春?淮濱縣期中）如圖，網(wǎng)格小正方形邊長(zhǎng)為1，以O(shè)為圓心OA為半徑畫(huà)弧，交網(wǎng)格于點(diǎn)B，則BC長(zhǎng)是．13．（2025春?鹿邑縣期中）在△ABC中，AB＝AC＝41cm，BC＝80cm，AD為∠BAC的平分線，則AD＝cm．14．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）文化廣場(chǎng)有一塊矩形的草坪如圖所示，有少數(shù)的人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，卻踩傷了花草!青青綠草地，悠悠關(guān)我心，足下留“青”!走“路AB比走路A﹣C﹣B”少了米．15．（2025?東城區(qū)校級(jí)模擬）磁力棋的棋盤(pán)為9×9的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1．磁力珠（近似看成點(diǎn)）可放在網(wǎng)格交點(diǎn)處，擺放時(shí)要求任意兩顆磁力珠不吸到一起．若兩顆磁力珠不吸到一起，則它們之間的距離應(yīng)不小于5，根據(jù)以上規(guī)則，回答下列問(wèn)題：（1）如圖，小穎在棋盤(pán)A、B，C三處放置了互不相吸的三顆磁力珠．若她想從P1，P2中選擇一個(gè)位置再放一顆磁力珠，與其他磁力珠互不相吸，則她選擇的位置是；（2）棋盤(pán)最多可擺放顆互不相吸的磁力珠．三．解答題（共5小題）16．（2025春?昭平縣期中）作圖并比較大?。海?）如圖，先在數(shù)軸上準(zhǔn)確作出2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再用小黑點(diǎn)標(biāo)明﹣2，2，3，0，-12這5個(gè)數(shù)依次對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)（2）用“＜”號(hào)將這幾個(gè)數(shù)連接起來(lái)．17．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化可以解決很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題．為了比較10+1與17的大小，我們可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AC＝1，這樣就可以得出10+1與請(qǐng)寫(xiě)出10+1與1718．（2025?泉州校級(jí)模擬）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“測(cè)量旗桿高度”數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，甲組利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）進(jìn)行測(cè)量，小文同學(xué)將三角尺水平放置于眼前，使直角邊BC垂直于地面l，行走到點(diǎn)P處時(shí)，視線透過(guò)AB邊剛好經(jīng)過(guò)旗桿頂部M．經(jīng)測(cè)得，小文的眼睛離地面AP＝1.6m，點(diǎn)P離旗桿底部距離PN＝6m．如圖2，乙組發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面后多出一段DN，該繩子長(zhǎng)度未知．（1）根據(jù)甲組的方案，求旗桿MN的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)，其中3≈1.73（2）請(qǐng)利用卷尺，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫助乙組設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，并寫(xiě)出具體的求解旗桿MN長(zhǎng)度的過(guò)程．（注：卷尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，卷尺測(cè)量得到的長(zhǎng)度用a、b、c…表示，方案的相關(guān)圖示在圖2中標(biāo)注出來(lái)，旗桿與繩子間距離忽略不計(jì)）19．（2025春?武威期中）如圖，兩條公路AC，BC相交于點(diǎn)C，從A點(diǎn)沿直線再修建一條公路到B點(diǎn)．若AC＝60km，CB＝80km，AB＝100km．（1）求證：∠C＝90°；（2）若公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)．求M，C兩點(diǎn)間的距離．20．（2024秋?河源期末）【問(wèn)題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實(shí)地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知．【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：第一步：先測(cè)量比旗桿多出的部分繩子的長(zhǎng)度，測(cè)得多出部分繩子的長(zhǎng)度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)C，再測(cè)量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離，測(cè)得距離為5米；【問(wèn)題解決】設(shè)旗桿的高度AB為x米，通過(guò)計(jì)算即可求得旗桿的高度．（1）依題知BC＝米，用含有x的式子表示AC為米；（2）請(qǐng)你求出旗桿的高度．

2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專(zhuān)題復(fù)習(xí)《勾股定理》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CCBACDCACD一．選擇題（共10小題）1．（2025春?德城區(qū)校級(jí)期中）如圖是兩個(gè)型號(hào)的圓柱型筆筒，粗細(xì)相同，高度分別是8cm和12cm，將一支鉛筆按如圖所示的方式先后放入兩個(gè)筆筒，鉛筆露在筆筒外面的部分分別為4cm和2cm，則鉛筆的長(zhǎng)為（）A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】由題意可知，兩個(gè)筆筒粗細(xì)相同，底面直徑相等．根據(jù)勾股定理，第一個(gè)筆筒中：直徑平方＝（x﹣4）2﹣82；第二個(gè)筆筒中：直徑平方＝（x﹣2）2﹣122；因直徑相等，列方程即可求解．【解答】解：粗細(xì)相同的筆筒高度分別是8cm和12cm，鉛筆露在筆筒外面的部分分別為4cm和2cm，設(shè)鉛筆長(zhǎng)度為xcm，依題意得：（x﹣4）2﹣82＝（x﹣2）2﹣122，解得：x＝23，故鉛筆的長(zhǎng)為23cm；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在一塊四邊形ABCD空地上種植草皮，測(cè)得∠ABC＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，則需要投入（）A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；勾股定理的逆定理．【專(zhuān)題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由勾股定理求出AC＝5m，再由勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，然后由三角形面積公式列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接AC，∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，∴AC=AB2+∵CD＝12m，AD＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積=12×3×4+＝6+30＝36（m2），∴學(xué)校要投入資金為：200×36＝7200（元），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．（2025春?離石區(qū)期中）某物流公司的全自動(dòng)無(wú)人機(jī)需從倉(cāng)庫(kù)出發(fā)，向東飛行1.2km后，再向北飛行0.9km抵達(dá)社區(qū)配送點(diǎn)，由于中央?yún)^(qū)域有信號(hào)塔障礙，無(wú)人機(jī)必須嚴(yán)格沿正東、正北方向飛行．若升級(jí)后的導(dǎo)航系統(tǒng)支持直線飛行繞過(guò)障礙，則從倉(cāng)庫(kù)到社區(qū)配送點(diǎn)的最短路徑為（）A．1.0km B．1.5km C．1.8km D．2.1km【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，由題意可知，∠ABC＝90°，AB＝1.2km，BC＝0.9km，∴AC=AB2+即從倉(cāng)庫(kù)到社區(qū)配送點(diǎn)的最短路徑為1.5km，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2025?廣東模擬）如圖，在底面周長(zhǎng)約為6米的石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面盤(pán)繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C，B為AC的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形，每圈龍的長(zhǎng)度與高度和圓柱的周長(zhǎng)組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出每圈龍的長(zhǎng)度，最后乘2即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，根據(jù)題意可知，底面周長(zhǎng)約為6米，柱身高約16米，∴AF＝6，AB=12AC=12∴BF=AF∴雕刻在石柱上的巨龍至少為2×10＝20（米）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)A柱體的側(cè)面展開(kāi)，并分析出每圈龍的長(zhǎng)度與高度和圓柱的周長(zhǎng)組成直角三角形．5．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD＝3，以點(diǎn)D為圓心，以DA為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，連接DE，再分別以B、E為圓心，以大于12BE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)F，則A．2 B．83 C．73 D【考點(diǎn)】勾股定理；作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】作圖題；線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】由作圖可知DE＝DA＝3，MN是BE的垂直平分線，在Rt△ABC中，解直角三角形得到AB=AC2+BC2=213，cosA=21313，cosB=31313．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)MN與【解答】解：由作圖可知DE＝DA＝3，MN是BE的垂直平分線，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB=cosA=cosB=過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)MN與AB的交點(diǎn)為G，∴在Rt△ADH中，AH=由條件可知AE=2∴BE=∵BG=∴在Rt△BFG中，BF=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖——作線段，作垂直平分線，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．6．（2025春?信豐縣期中）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AB=5 B．AC＝5 C．BC=25 D．∠【考點(diǎn)】勾股定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB，AC，BC的長(zhǎng)度即可判斷A，B，C選項(xiàng)，然后利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，最后根據(jù)30°度角直角三角形的性質(zhì)即可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得，AB=12根據(jù)勾股定理可得，AC=32根據(jù)勾股定理可得，BC=22∵AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AC≠2AB，∴∠ACB≠30°，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理和網(wǎng)格的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．7．（2025春?福鼎市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BE是△ABC的角平分線，AD，BE相交于點(diǎn)F，若AF=32，EF＝2，則A．2 B．22 C．10 D．【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得到∠EFG＝∠2+∠3＝45°，即△EGF為等腰直角三角形，由此得到EG＝GF＝1，再利用勾股定理即可求出AE．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，如圖，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°，∴∠EFG＝∠2+∠3＝45°，∵EG⊥AD，∴△EGF為等腰直角三角形，又EF＝2，∴EG＝GF=2∴AG＝AF﹣GF＝32-∴AE=A故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線定義，勾股定理，作出輔助線，求得∠EFG＝45°是解題的關(guān)鍵．8．（2025春?巨野縣期中）三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝7：16：14 B．a(chǎn)2﹣b2＝c2 C．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） D．a(chǎn)：b：c＝15：9：12【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【解答】解：A、∵a：b：c＝7：16：14，∴設(shè)a＝7k，b＝16k，c＝14k，∴a2+c2＝245k2≠b2∴不能判斷它是直角三角形，符合題意；B、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴能判斷是直角三角形，不符合題意；C、a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴能判斷是直角三角形，不符合題意；D、a：b：c＝15：9：12，∵設(shè)a＝15k，b＝9k，c＝12k，∴b2+c2＝225k2＝a2∴能判斷是直角三角形，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）如圖，用11個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類(lèi)似海螺的圖形，其中第一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為1和2，其它直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1．記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（）A．15 B．16 C．17 D．18【考點(diǎn)】勾股定理；估算無(wú)理數(shù)的大?。緦?zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到第十一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，得到該圖形周長(zhǎng)l=13+【解答】解：由條件可知：左起第一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12第二個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12第三個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12第四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12?，∴第十一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為15，∴l(xiāng)=11+2+∵12.25＜15＜∴16.5＜∴l(xiāng)最接近的是17，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，無(wú)理數(shù)的估算，掌握勾股定理的計(jì)算，無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2025?伍家崗區(qū)模擬）一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，以下長(zhǎng)方形薄木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)的是（）A．長(zhǎng)6m，寬5m B．長(zhǎng)5m，寬4m C．長(zhǎng)4m，寬3.5m D．長(zhǎng)3m，寬2.1m【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】解答此題先要弄清題意，只要求出門(mén)框?qū)蔷€的長(zhǎng)再與已知薄木板的寬相比較即可得出答案．【解答】解：連接AC，則AC與AB、BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得AC=AB四個(gè)選項(xiàng)中只有2，2＜2.236，∴只有3×2.1薄木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，只要根據(jù)已知條件構(gòu)造出直角三角形即可解答．二．填空題（共5小題）11．（2025春?離石區(qū)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形（斜邊長(zhǎng)為13，一條直角邊長(zhǎng)為12）拼成的大正方形，中空部分ABCD是一個(gè)小正方形．連接AC，則AC的長(zhǎng)為72．【考點(diǎn)】勾股定理的證明．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】72．【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得答案．【解答】解：根據(jù)勾股定理，得AE=EF∴AD＝12﹣5＝7，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝7，∴AC=AD2故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角邊的長(zhǎng)度．12．（2025春?淮濱縣期中）如圖，網(wǎng)格小正方形邊長(zhǎng)為1，以O(shè)為圓心OA為半徑畫(huà)弧，交網(wǎng)格于點(diǎn)B，則BC長(zhǎng)是6．【考點(diǎn)】勾股定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】6．【分析】根據(jù)勾股定理求出OB=OA=【解答】解：網(wǎng)格小正方形邊長(zhǎng)為1，以O(shè)為圓心OA為半徑畫(huà)弧，交網(wǎng)格于點(diǎn)B，如圖，連接OB，∴OB=在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC=故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．13．（2025春?鹿邑縣期中）在△ABC中，AB＝AC＝41cm，BC＝80cm，AD為∠BAC的平分線，則AD＝9cm．【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】9．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，BD=12BC＝40cm，再由勾股定理求出AD【解答】解：如圖，∵AB＝AC＝41cm，BC＝80cm，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=12BC＝40∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2-故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）文化廣場(chǎng)有一塊矩形的草坪如圖所示，有少數(shù)的人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，卻踩傷了花草!青青綠草地，悠悠關(guān)我心，足下留“青”!走“路AB比走路A﹣C﹣B”少了4米．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】4．【分析】在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用AC+BC﹣AB進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵草坪是矩形的，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，AC＝5米，BC＝12米，由勾股定理得：AB=AC∴AC+BC﹣AB＝5+12﹣13＝4（米），故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2025?東城區(qū)校級(jí)模擬）磁力棋的棋盤(pán)為9×9的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1．磁力珠（近似看成點(diǎn)）可放在網(wǎng)格交點(diǎn)處，擺放時(shí)要求任意兩顆磁力珠不吸到一起．若兩顆磁力珠不吸到一起，則它們之間的距離應(yīng)不小于5，根據(jù)以上規(guī)則，回答下列問(wèn)題：（1）如圖，小穎在棋盤(pán)A、B，C三處放置了互不相吸的三顆磁力珠．若她想從P1，P2中選擇一個(gè)位置再放一顆磁力珠，與其他磁力珠互不相吸，則她選擇的位置是P2；（2）棋盤(pán)最多可擺放20顆互不相吸的磁力珠．【考點(diǎn)】勾股定理；一元一次不等式的應(yīng)用．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）分別計(jì)算P1，P2和點(diǎn)A、B、C之間的距離，與5比較后即可判斷應(yīng)選擇的位置；（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四邊形ABP2C為基本圖形，在磁盤(pán)中繼續(xù)作放置磁力珠，可得最多擺放磁力珠的顆數(shù)．【解答】解：（1）∵P1C=1∴P1C不符合題意．∵P2B=12+22=5，P2C=∴P2符合題意．故答案為：P2；（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四邊形ABP2C為基本圖形，在磁盤(pán)中繼續(xù)作放置磁力珠，可得磁盤(pán)中一共有20顆互不相吸的磁力珠．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用．由（1）得到符合題意的基本圖形并加以應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?昭平縣期中）作圖并比較大?。海?）如圖，先在數(shù)軸上準(zhǔn)確作出2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再用小黑點(diǎn)標(biāo)明﹣2，2，3，0，-12這5個(gè)數(shù)依次對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)（2）用“＜”號(hào)將這幾個(gè)數(shù)連接起來(lái)．【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸；實(shí)數(shù)大小比較．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的大小規(guī)律：數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大，-2【分析】首先利用勾股定理得出線段的長(zhǎng)度，利用圓的特性找到點(diǎn)在數(shù)軸的位置，依次找出各點(diǎn)的位置，數(shù)軸左側(cè)的點(diǎn)最小，往右依次變大，從而進(jìn)行比較其大?。窘獯稹拷猓海?）如圖所示：作圖步驟：①作2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：過(guò)數(shù)軸上表示1的點(diǎn)作數(shù)軸的垂線，在垂線上截取長(zhǎng)度為1的線段（與數(shù)軸單位長(zhǎng)度相同），設(shè)該線段一端（在垂線上且遠(yuǎn)離數(shù)軸一端）為點(diǎn)M，數(shù)軸上表示1的點(diǎn)為N．連接原點(diǎn)O與點(diǎn)M，以原點(diǎn)O為圓心，OM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)即為2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（依據(jù)勾股定理，直角邊為1和1的直角三角形，斜邊為12②標(biāo)點(diǎn)：在數(shù)軸上找到表示﹣2的標(biāo)點(diǎn)為A；剛才作出的2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)為B；表示3的點(diǎn)標(biāo)為C；表示0的點(diǎn)標(biāo)為D；表示-12的點(diǎn)標(biāo)為E（-12在（2）比較大小根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的大小規(guī)律：數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大．可得-2【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)作圖與比較大小的雙重任務(wù)，全面考查學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸關(guān)系的理解，需兼顧作圖規(guī)范與邏輯推理．17．（2025春?魚(yú)臺(tái)縣期中）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化可以解決很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題．為了比較10+1與17的大小，我們可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AC＝1，這樣就可以得出10+1與請(qǐng)寫(xiě)出10+1與17【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)大小比較；三角形三邊關(guān)系．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】10+1【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=AC2+BC2=12【解答】解：10+1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB=∵CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3，∴AD=∵AD+BD＞AB，∴10+1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，勾股定理以及三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．18．（2025?泉州校級(jí)模擬）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“測(cè)量旗桿高度”數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，甲組利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）進(jìn)行測(cè)量，小文同學(xué)將三角尺水平放置于眼前，使直角邊BC垂直于地面l，行走到點(diǎn)P處時(shí)，視線透過(guò)AB邊剛好經(jīng)過(guò)旗桿頂部M．經(jīng)測(cè)得，小文的眼睛離地面AP＝1.6m，點(diǎn)P離旗桿底部距離PN＝6m．如圖2，乙組發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面后多出一段DN，該繩子長(zhǎng)度未知．（1）根據(jù)甲組的方案，求旗桿MN的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)，其中3≈1.73（2）請(qǐng)利用卷尺，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫助乙組設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，并寫(xiě)出具體的求解旗桿MN長(zhǎng)度的過(guò)程．（注：卷尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，卷尺測(cè)量得到的長(zhǎng)度用a、b、c…表示，方案的相關(guān)圖示在圖2中標(biāo)注出來(lái)，旗桿與繩子間距離忽略不計(jì)）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）旗桿MN的長(zhǎng)約為12m；（2）見(jiàn)解答．【分析】（1）先求出∠AMQ＝30°，在Rt△MCN中利用三角函數(shù)即可求出MQ，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)；（2）（方案不唯一）可利用繩子、旗桿、地面構(gòu)造直角三角形設(shè)計(jì)方案，再利用勾股定理寫(xiě)出求解過(guò)程即可．【解答】解：（1）∵旗桿MN和BC垂直于地面l，∴∠AMQ＝∠ABC＝30°，由題意，知APNQ是矩形，∴AQ＝PN＝6m，QN＝AP＝1.6m，∴MQ=AQtan∠∴MN＝MQ+QN=63+1.6≈12（答：旗桿MN的長(zhǎng)約為12m；（2）（方案不唯一）先測(cè)出繩子多出的部分DN長(zhǎng)度為am，再將繩子拉直，使繩子末端貼在地面C處（如圖），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部N的距離bm，即可利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)．由測(cè)量方案可知，CM＝（MN+a）m，CN＝bm，由勾股定理，得CM2＝MN2+CN2，即（MN+a）2＝MN2+b2，解得MN=b2-答：旗桿MN長(zhǎng)度為b2-a【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2025春?武威期中）如圖，兩條公路AC，BC相交于點(diǎn)C，從A點(diǎn)沿直線再修建一條公路到B點(diǎn)．若AC＝60km，CB＝80km，AB＝100km．（1）求證：∠C＝90°；（2）若公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)．求M，C兩點(diǎn)間的距離．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）50km．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=【解答】解：（1）∵AC＝60km，CB＝80km，AB＝100km，∴AC2+BC2＝602+802＝10000，AB2＝10000，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°；（2）∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴MC=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2024秋?河源期末）【問(wèn)題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實(shí)地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知．【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：第一步：先測(cè)量比旗桿多出的部分繩子的長(zhǎng)度，測(cè)得多出部分繩子的長(zhǎng)度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)C，再測(cè)量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離，測(cè)得距離為5米；【問(wèn)題解決】設(shè)旗桿的高度AB為x米，通過(guò)計(jì)算即可求得旗桿的高度．（1）依題知BC＝5米，用含有x的式子表示AC為（x+1）米；（2）請(qǐng)你求出旗桿的高度．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；列代數(shù)式．【專(zhuān)題】整式；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）5；（x+1）；（2）12米．【分析】（1）根據(jù)“測(cè)量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離，測(cè)得距離為5米”和“測(cè)得多出部分繩子的長(zhǎng)度是1米”填空；（2）因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．故答案為：5；（x+1）；（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，即52+x2＝（x+1）2．解得x＝12．答：旗桿的高度為12米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

考點(diǎn)卡片1．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而?。?．實(shí)數(shù)大小比較實(shí)數(shù)大小比較（1）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小．正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而?。?．估算無(wú)理數(shù)的大小估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值．4．列代數(shù)式（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫(xiě)，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫(xiě)作“?”或者省略不寫(xiě)．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫(xiě)在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式．5．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫(xiě)出符合題意的解．6．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．7．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立