14.3角的平分線第1課時(shí)

角的平分線的作法與性質(zhì)1.會(huì)用尺規(guī)作圖法作一個(gè)角的平分線，知道作法的理論依據(jù).（重點(diǎn)）2.探究并證明角平分線的性質(zhì).（難點(diǎn)）3.會(huì)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.角平分線的概念:一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OABC如圖，OC是∠AOB的平分線.

1.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M,N分別是OA，OB上的點(diǎn)，當(dāng)OM,ON滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP,∠POM=∠PON.如果OM=ON,那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM=PN.反過來，如圖，M,N分別是∠AOB的邊OA,OB上的點(diǎn)，OM=ON,點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN.連接OP,由OM=ON,PM=PN,OP=OP,可得△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM=∠PON，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.?思考

由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個(gè)點(diǎn)的射線，就能得到角的平分線了.ABMNCO例1

已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

?思考：角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段與角兩邊的位置關(guān)系是什么？

?歸納

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.?思考：你能證明這個(gè)性質(zhì)嗎？已知：一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上，求證：這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.用符號(hào)表示如下：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E，求證PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE,就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件.證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，

∠AOC=∠BOC，

OP=OP，

?歸納

證明幾何命題的一般步驟：（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.例2

求證：三角形的一邊的兩端點(diǎn)到這條邊上的中線所在直線的距離相等.解：已知：如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E.求證：BE=CF.可先將命題改寫成“如果……那么……”的形式，然后確定已知和求證∵BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.在△BED和△CFD中

∠BED=∠CFD，

∠BDE=∠CDF，

BD=CD，

B

1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是

.32.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線AP,交BC于點(diǎn)P(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若CP＝3,AB＝10,求△APB的面積.（1）解：如圖，AP即為所求.2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線AP,交BC于點(diǎn)P(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若CP＝3,AB＝10,求△AP