福建省泉州市部分中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共5頁，考試時間120分鐘，總分150分.一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，，則，且，所以.故選：A.2.已知函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求，進而可求.【詳解】因為，所以.故選：D.3.在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用負相關(guān)性的定義求解即可.【詳解】由樣本數(shù)據(jù)可知解釋變量與響應(yīng)變量之間具有負相關(guān)性，所以又因為對應(yīng)的點均在直線上，故，故A正確.故選：A4.隨機變量的分布列如下:12ab若，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望公式，列出方程求出的值，最后利用方差公式求出方差即可.【詳解】根據(jù)各離散型隨機變量對應(yīng)的概率和為1，可得，又因為，解得，所以.故選：B.5.某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個互動節(jié)目，現(xiàn)將這2個互動節(jié)目插入節(jié)目單中，要求互動節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（）A.6 B.10 C.12 D.20【答案】C【解析】【分析】利用插空法，原定5個節(jié)目之間有4個空位，從中選擇2個安排互動節(jié)目即可，結(jié)合排列數(shù)計算即可求解.【詳解】根據(jù)題意：原定5個節(jié)目之間有4個空位，從中選擇2個安排互動節(jié)目即可，所以不同的插法種數(shù)為.故選：C.6.某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進行計算求解.【詳解】設(shè)“王同學(xué)第i天去A餐廳就餐”，“王同學(xué)第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因為，所以，所以.故選：B.7.某人在次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，其中，擊中偶數(shù)次為事件，則（）A.當(dāng)時，取得最小值B.若，則的取值范圍是C.若，當(dāng)取最大值時，則D.當(dāng)時，隨著的增大而減小【答案】D【解析】【分析】對于A，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于B，求出概率，然后運用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而得到取值范圍；對于C，求出，因為取最大值，所以，解得范圍即可；對于D，，求出，借助函數(shù)分析單調(diào)性即可．【詳解】對于A，，當(dāng)時，取得最大值，故A錯誤；對于B，，若，則由于，則，由于，則，則在上單調(diào)遞增.則，的取值范圍是，故B錯誤.對于C，在20次射擊中擊中目標的次數(shù)，當(dāng)時對應(yīng)的概率，因為取最大值，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大．故C錯誤；對于D，，，，當(dāng)時，為正項且單調(diào)遞減的數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故D正確；故選：D．8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】整理可得，換元令，構(gòu)建，可知對任意恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】設(shè)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當(dāng)趨近于0或時，趨近于，所以在內(nèi)的值域為.因為的定義域為，若，整理可得，令，設(shè)，則，可知對任意恒成立，若，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，設(shè)，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為，即；綜上所述：，所以實數(shù)的最大值為.故選：D.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C.二項式系數(shù)和為256 D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，由二項式定理求解，對于B，令，對于C，直接由二項式系數(shù)公式求解，對于D，先兩邊求導(dǎo)，再令求解．【詳解】解：對于A項，，故A項錯誤；對于B項，令，得，故B項正確；對于C項，二項式系數(shù)和為：；故C項正確；對于D項，對二項展開式兩邊求導(dǎo)得，，令，得，故D項錯誤；故選：BC10.設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用概率的加法公式求解選項A即可?！驹斀狻窟x項A：所以故選項A正確.選項B：所以所以事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，則故選項B錯誤.選項C:故選項C正確，選項D：因為事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，所以故選項D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，直線不是曲線的切線B.若有三個不同的零點，則C.當(dāng)時，存在等差數(shù)列，滿足D.若曲線上有且僅有四點能構(gòu)成一個正方形，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷，對于B，由題意可得，化簡后可得答案，對于C，由判斷，對于D，由函數(shù)關(guān)系式可得的圖象關(guān)于點對稱，則正方形的中心為，不妨設(shè)正方形的4個頂點分別為，設(shè)出的方程，與曲線聯(lián)立結(jié)合弦長公式可求出，同理可得，則可得與的關(guān)系，表示出，再構(gòu)造函數(shù)可得答案.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，所以A錯誤，對于B，因為有三個不同的零點，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，當(dāng)時，，因為，，，，，所以，因為是公差為1的等差數(shù)列，所以存在等差數(shù)列，滿足，所以C正確，對于D，由，得當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以曲線上不存在4個點能構(gòu)成正方形，所以，因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以此正方形的中心為，不妨設(shè)正方形的4個頂點分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，所以，同理可得，由，得，化簡得，根據(jù)題意可知方程只有一個正解，因為上式不成立，所以，因為，所以，得，設(shè)，則，令，由題意可知，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點即可，結(jié)合對勾函數(shù)圖象可知，，得，所以D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，選項D解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式求出，則可得的圖象關(guān)于點對稱，進一步得正方形的中心為，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)人的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù):568912（人）1720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗回歸方程，則當(dāng)時，殘差為_____________.【答案】##【解析】【分析】計算出，將代入回歸方程，得到，求出回歸方程，當(dāng)時，，計算出殘差.【詳解】，，將代入中得，，解得，故，當(dāng)時，，故殘差.故答案為：13.在“楊輝三角”中，每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第_____________行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.【答案】34【解析】【分析】由題意可知第行第個數(shù)為，連續(xù)三項，，，結(jié)合組合數(shù)運算求解即可.【詳解】由題意可知第行第個數(shù)為，根據(jù)題意，設(shè)所求的行數(shù)為，則存在正整數(shù)，使得連續(xù)三項，，，有且．化簡得，，聯(lián)立解得，．故第34行會出現(xiàn)滿足條件的三個相鄰的數(shù)．故答案為：34.14.英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是:對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.已知，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為，繼續(xù)牛頓法的操作得到數(shù)列.設(shè)，數(shù)列的前項積為.若對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為_____________.【答案】2【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點處的切線方程，可得出，結(jié)合可求出的值，推導(dǎo)出，可求得，進而可求得整數(shù)的最小值.【詳解】由，則，，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知點在直線上，所以，，，則，，，因為函數(shù)的零點近似值為r，且函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，由零點存在定理可知，由題意可知，，故整數(shù)的最小值為2.故答案為:2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得出數(shù)列的遞推公式，利用數(shù)列的遞推公式求解.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.習(xí)近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示:第天12345高度1.31.72.22.835（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測第7天這株幼苗的高度.參考數(shù)據(jù):.參考公式:相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.【答案】（1）證明見詳解（2），預(yù)測當(dāng)年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5【解析】【分析】（1）求出，結(jié)合公式求出r，即可下結(jié)論；（2）利用最小二乘法求出回歸直線方程，令計算，即可求解.【小問1詳解】由，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．【小問2詳解】由題意可得：，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.16.定義:若函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有且僅有一個公共點，則稱函數(shù)與在區(qū)間上單交，此交點被稱為“單交點”.已知函數(shù).（1）當(dāng)，判斷函數(shù)在點處的切線與函數(shù)是否在R上單交，若是，并求出“單交點”的坐標;若不是，說明理由?（2）若函數(shù)與在上存在“單交點”，求的值.【答案】（1）函數(shù)在點處的切線與函數(shù)在R上單交，單交點為；（2）3【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，與聯(lián)立，得到只有一個根，故在點處的切線與函數(shù)是否在R上單交，并求出單交點坐標；（2）轉(zhuǎn)化為，故，，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值，最值情況，從而得到答案.【小問1詳解】，，，故在點處的切線方程為，時，，聯(lián)立與得，，解得，故函數(shù)在點處的切線與函數(shù)在R上單交，當(dāng)時，，故單交點坐標為；【小問2詳解】令，定義域為，令，即，故，，令，則，，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故在處取得極小值，也是最小值，且，若函數(shù)與上存在“單交點”，故.【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.17.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動的自然語言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機抽取了60名居民進行調(diào)查.整理如下列聯(lián)表：年齡因素對該程序的態(tài)度合計不喜歡該程序喜歡該程序青少年7中老年1630合計21注:本研究定義年齡不小于45周歲為“中老年人”，其余的稱為“青少年”.（1）請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為年齡因素與是否喜歡該程序有關(guān)系;（2）在抽取的60名居民中有5人經(jīng)常使用該程序輔助工作.以樣本頻率估計概率.若在全市范圍內(nèi)抽取20位居民，經(jīng)常使用該程序輔助工作的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差;（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.為進一步了解他們的對于AI的認知和看法，在10名高中生中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）年齡因素與喜歡該程序有關(guān)系（2），（3）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意完成列聯(lián)表，代入公式可得，即可得到結(jié)論；（2）依題意可得，即可求得和；（3）依題意可得Y的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進而即可得到Y(jié)的分布列和期望值．【小問1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；性別不喜歡該程序喜歡該程序合計青少年72330中老年141630合計213960零假設(shè)為：年齡因素與是否喜歡該程序無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算可得χ2=根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即年齡因素與喜歡該程序有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．【小問2詳解】由題意可知：隨機抽取一人為“經(jīng)常使用該程序輔助工作”的概率，可知，所以，．【小問3詳解】易知10名高中生有7名男生，3名女生，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得18.已知，（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性;（3）設(shè)，當(dāng)時，證明:.【答案】（1）的極小值為，無極大值（2）答案見詳解（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；（2）求導(dǎo)可得，討論的符號，結(jié)合判別式分析求解；（3）利用作差法，整理可得，令，構(gòu)建?t=t?1t?2lnt,t>1【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，若，則，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.【小問2詳解】因為，可知的定義域為，且，若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；若，則，可知有2個實根，，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，在內(nèi)單調(diào)遞增；若，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.【小問3詳解】當(dāng)時，則，可得對任意的，則，則12m?nm令，則，設(shè)Ft=t?1可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則Ft>F1=0，即可得12即32m?n?【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．19.近年來，購買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營者不能變相誘導(dǎo)消費，盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上