試題試題2024北京清華附中朝陽(yáng)學(xué)校高三12月月考數(shù)學(xué)（尖子生）一、單項(xiàng)選擇題：本題共15小題，每小題5分，共75分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若集合A、B滿足：，則集合對(duì)共有（）個(gè)．A.36 B.48 C.64 D.812.已知的三條邊上的高分別為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.3.設(shè)數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的第m百分位為，，則集合M中元素的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.6 C.9 D.1004.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.若，則稱為的“友好角”，已知為銳角，則在內(nèi)的“友好角”有（）個(gè)A.1 B.2 C.3 D.47.現(xiàn)有一種檢驗(yàn)方法，對(duì)患疾病的人化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，對(duì)未患疾病的人化驗(yàn)結(jié)果呈陰性．我們稱檢驗(yàn)為陽(yáng)性的人中未患病比例為誤診率．已知一地區(qū)疾病的患病率為，則這種檢驗(yàn)方法在該地區(qū)的誤診率為（）A. B. C. D.8.在三角形ABC中，，設(shè)，，則（）A. B. C. D.9.甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車空駛率，依據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%，則（）（精確到0.01）A.20.16 B.20.68 C.21.56 D.21.7910.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)：①存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；②不存在等比數(shù)列具有性質(zhì)；對(duì)于以上兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假11.在正四棱錐中，，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.12.設(shè)，為等差數(shù)列，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件13.定義區(qū)間的長(zhǎng)度為，設(shè)，若對(duì)于任意，不等式的解集所包含區(qū)間長(zhǎng)度之和恒為3，則k的值為（）．A.1 B. C.2 D.314.函數(shù)的最大值為（）A.1 B. C.2 D.15.已知，若，則的最小值為（）．A.1 B. C.2 D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共5小題，每小題5分，共25分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)但不全得2分，有錯(cuò)選的得0分．16.設(shè)周期數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的取值可以為（）A. B.0 C.1 D.217.在正方體中，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，則（）A.過有且只有一條直線與直線和都相交B.過有且只有一條直線與直線和都垂直C.過有且只有一個(gè)平面與直線和都平行D.過有且只有一個(gè)平面與直線和所成角相等18.已知雙曲線，對(duì)于點(diǎn)，若上存在兩個(gè)點(diǎn)、，使得為線段的中點(diǎn)，則稱為的一個(gè)“”點(diǎn)，下列各點(diǎn)中，是的“”點(diǎn)的為（）A. B. C. D.19.已知，直線.若點(diǎn)不在直線上，則直線與相交的充分條件為（）A. B. C. D.20.在直三棱柱中，，在線段上，若恒有，則的取值可以為（）A. B. C. D.

參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共15小題，每小題5分，共75分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】D【分析】利用子集的意義分類討論可求得集合對(duì)的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，又，故，當(dāng)集合中有一個(gè)元素時(shí)，又，這樣的集合對(duì)有，當(dāng)集合中有兩個(gè)元素時(shí)，又，這樣的集合對(duì)有，當(dāng)集合中有三個(gè)元素時(shí)，又，這樣的集合對(duì)有，當(dāng)集合中有四個(gè)元素時(shí)，又，這樣的集合對(duì)有，所以集合對(duì)共有.故選：D.2.【答案】D【分析】設(shè)的面積為，由題意可得，利用三角形三邊關(guān)系可求解.【詳解】設(shè)的面積為，由題意可得，又因?yàn)?，所以，由三邊關(guān)系定理可得，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.3.【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，利用的不同取值范圍分類討論求解.【詳解】設(shè)％，其中，所以％，當(dāng)時(shí)，，則的比鄰整數(shù)為1，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，則的比鄰整數(shù)為2，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，則的比鄰整數(shù)為3，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，則的比鄰整數(shù)為4，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，則的比鄰整數(shù)為5，所以；當(dāng)時(shí)，；綜上，，故選:C.4.【答案】A【分析】由題意可知，對(duì)任意的，，令，則，可得出，利用參變量分離法可求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)?，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，則對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的，，可得，因?yàn)楹瘮?shù)、在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A.5.【答案】A【分析】設(shè)，利用已知可得，可得點(diǎn)在直線上，進(jìn)而可求得到直線的距離，進(jìn)而可得，賦值法可判斷CD.【詳解】設(shè)，由，可得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，點(diǎn)在直線上，，所以原點(diǎn)到的距離，又，所以，所以，所以與以為圓心，1為半徑的圓總相切，，所以的最小值為1的平方1，所以，故A正確；B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：A.6.【答案】C【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式計(jì)算求解.【詳解】由，可得，則有，所以，因?yàn)闉殇J角，所以也為銳角，所以，所以，①因?yàn)?，?dāng)或，即或時(shí)，，則①式成立，滿足題意；當(dāng)且，即或時(shí)，，則由①可得，，因?yàn)榫坏扔诹悖?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，綜上，，故選：C.7.【答案】A【分析】記事件檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，事件被檢查確實(shí)患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用貝葉斯公式可求出的值，即為所求.【詳解】記事件檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，事件被檢查確實(shí)患疾病，由題意可知，，，，，所以，，因此，這種檢驗(yàn)方法在該地區(qū)的誤診率為，故選：A.8.【答案】B【分析】在△、△及△中，由正弦定理可得，，從而，再由知D、E是BC的三等分點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)即得求解.【詳解】設(shè)則，設(shè)，∵，∴，在△與△中由正弦定理，得，即；，∴①在△與△中由正弦定理，得，即；，∴②由①②，得，∴，故選：B.9.【答案】B【分析】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗(yàn)甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.【詳解】依題意，因?yàn)槌鲎廛囆旭偟目偫锍虨椋鲎廛囉休d客時(shí)行駛的里程為，所以出租車空駛率，對(duì)于甲，，滿足題意；對(duì)于乙，，滿足題意；所以上述模型滿足要求，則丙的空駛率為，即.故選：B10.【答案】B【分析】直接構(gòu)造和，說明存在等差數(shù)列具有性質(zhì)，且存在等比數(shù)列具有性質(zhì)，從而得到①真②假.【詳解】一方面，對(duì)，知是等差數(shù)列.而，令就有，所以具有性質(zhì)，這表明存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；另一方面，對(duì)，知是等比數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.這表明恒成立，再令就有，所以具有性質(zhì)，這表明存在等比數(shù)列具有性質(zhì).綜上，①正確，②錯(cuò)誤，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造和作為例子，直接判斷命題的真假，是判斷選項(xiàng)正確性的簡(jiǎn)單有效的方法.11.【答案】D【分析】由，結(jié)合已知可得，利用共面求.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以，因?yàn)楣裁?，所以，解?故選：D.12.【答案】C【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后從充分性與必要性兩個(gè)方面論證，用反證法進(jìn)行必要性的證明.【詳解】已知，則，故在R上單調(diào)遞增.又由，得，故，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.已知數(shù)列是等差數(shù)列，則.①先證明充分性：若，由數(shù)列是等差數(shù)列，可得，則，所以由函數(shù)的對(duì)稱性可知，，，，，，即“”得證.因此，“”是“”的充分條件；②再證明必要性：下面用反證法證明：假設(shè)，已知數(shù)列是等差數(shù)列，則，即，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，所以，由函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可得，，，各式累加得，，所以，即，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤；同理，假設(shè)S2024>2024π，可證得，也與已知所以“”得證.即“”是“”的必要條件.綜上所述，“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于應(yīng)用反證法進(jìn)行必要條件的證明，基于自變量不等（大?。╆P(guān)系的假設(shè)，借助函數(shù)單調(diào)遞增等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性推出與等量關(guān)系矛盾.13.【答案】A【分析】原不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合“三個(gè)”二次的關(guān)系，得到原不等式的解集，由韋達(dá)定理及題意可列出方程求解.【詳解】不妨設(shè)，原不等式等價(jià)于，整理得:，因?yàn)?，可設(shè)方程的兩根為,令,則的零點(diǎn)為，原不等式即.因?yàn)?0,結(jié)合二次函數(shù)圖像，可知：.則不等式的解集為,則此解集的區(qū)間長(zhǎng)度之和為,因?yàn)橛身f達(dá)定理可得，，所以此不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度之和為,解得k=1，故選：A14.【答案】C【分析】由柯西不等式求解即可.【詳解】，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，則，此時(shí)且，由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以函數(shù)的最大值為2.故選：C.15.【答案】C【分析】取的中點(diǎn)分別為，連接，由題意可得，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，所以，進(jìn)而可求的最小值，進(jìn)而可求的最小值.【詳解】取的中點(diǎn)分別為，連接，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，以為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)共線，且在之間取等號(hào)，所以的最小值為1，從而的最小值為2.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：重點(diǎn)在于得到，進(jìn)而求得，結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理求得取小值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共5小題，每小題5分，共25分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)但不全得2分，有錯(cuò)選的得0分．16.【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，可得數(shù)列在一個(gè)周期內(nèi)的所有項(xiàng)的和為0，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的是周期數(shù)列，又，數(shù)列在一個(gè)周期內(nèi)的所有項(xiàng)的和為0，如周期若為3，則，則會(huì)逐漸增大或逐漸減小，不滿足，所以，則或或，解得或或，如時(shí)，，周期為4的數(shù)列的前4項(xiàng)為符合題意，如時(shí)，，周期為4的數(shù)列的前4項(xiàng)為，符合題意，如時(shí)，，周期3的數(shù)列的前3項(xiàng)為，符合題意.故選：ABC.17.【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A，由題意滿足條件的直線是平面與平面的交線，選項(xiàng)B，由線線平行的性質(zhì)結(jié)合異面直線成角的概念可判斷；從而可判斷；選項(xiàng)C，由線面平行的判定定理可判斷；選項(xiàng)D，利用空間向量法可判斷.【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，若，則平面，顯然滿足條件的直線唯一，即，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證平面，所以過有且只有一個(gè)平面與直線和都平行，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則A0,0,0、B1,0,0、、，，，設(shè)滿足題設(shè)條件的平面的法向量為m=x,y,z，其中由題意可得，可得，即，所以，以或n=x,?x,zx2故過有無數(shù)個(gè)平面與直線和所成角相等，D錯(cuò).故選：ABC18.【答案】CD【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法求出直線的方程，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，對(duì)于A選項(xiàng)，若為的一個(gè)“”點(diǎn)，則，可得，此時(shí)，軸或過原點(diǎn)，若軸，則直線的方程為，但直線與雙曲線無公共點(diǎn)，若過原點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，不合乎題意，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知直線的斜率存在，若為的一個(gè)“”點(diǎn)，則，因?yàn)椋@兩個(gè)等式作差可得，即，則，直線的方程為，即，此時(shí)，直線過原點(diǎn)，則、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與假設(shè)矛盾，B不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知直線的斜率存在，若為的一個(gè)“”點(diǎn)，則，因?yàn)?，這兩個(gè)等式作差可得，即，則，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，合乎題意；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知直線的斜率存在，若為的一個(gè)“”點(diǎn)，則，因?yàn)椋@兩個(gè)等式作差可得，即，則，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，D滿足條件.故選：CD.19.【答案】AC【分析】利用點(diǎn)與直線的同側(cè)與異側(cè)兩種情況討論，同側(cè)時(shí)，判斷直線與是否平行可得結(jié)論.【詳解】C，因?yàn)辄c(diǎn)不在直線上，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于直線的異側(cè)，故直線與相交，所以是直線與相交的充分條件，故C正確；A，若，又，所以滿足，所以是直線與相交的充分條件，故A正確；B，由點(diǎn)到直線，，由，