2025年高考數(shù)學立體幾何專項突破模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離是（）A.1/√3B.√3/3C.2√3/3D.√6/32.若直線l：x=2與平面α：ax+y+2z=1垂直，則實數(shù)a的值是（）A.0B.2C.-2D.13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，則直線EF與平面A1ABB1所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/24.過點P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q，則點Q的坐標是（）A.(1/3，1/3，1/3)B.(0，0，0)C.(1，1，1)D.(1/2，1/2，1/2)5.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，則二面角A-PC-B的余弦值是（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/26.已知點A（1，2，0），B（2，1，2），C（1，1，1），則向量AB與向量AC的夾角余弦值是（）A.1/2B.1/√3C.1/√2D.17.在正四面體ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH的面積是正四面體ABCD的面積的（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/68.已知點P（1，1，1）在平面α：x+y+z=1上的投影為Q，則點P到平面α的距離是（）A.1B.√2/2C.√3/3D.√6/39.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，則二面角A-PBC的余弦值是（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.1/√210.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，則直線EF與平面A1ABB1所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=2，y=3x-1，z=2x+1的距離是_________。12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值是_________。13.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，則點P到平面ABC的距離是_________。14.過點P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q，則向量PQ的模長是_________。15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，則二面角B-PAC的余弦值是_________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。17.（本小題滿分15分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，M是CD的中點。（1）求證：平面EFM⊥平面BCC1B1；（2）求三棱錐E-FBC的體積。18.（本小題滿分15分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，點D在BC上運動。（1）求證：無論D點在BC上如何運動，都有PD⊥AC；（2）當二面角A-PBC為60°時，求點D到平面PAC的距離。19.（本小題滿分15分）過點P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q。（1）求點Q的坐標；（2）求直線PQ的方程。20.（本小題滿分15分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），B（2，1，5），C（3，0，4），D（1，3，2）。（1）求過A、B、C三點的平面方程；（2）求點D到平面ABC的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：根據(jù)點到平面的距離公式，點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離d=|1*1+2*1+3*1-1|/√(12+12+12)=|4-1|/√3=3/√3=√3/3。所以選C。2.答案：B解析：直線l：x=2與平面α：ax+y+2z=1垂直，說明直線的方向向量（0，1，0）與平面的法向量（a，1，2）垂直。因此，a*0+1*1+2*0=0，解得a=2。所以選B。3.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，所以E（1，0，1/2），F(xiàn)（3/2，1/2，1）。向量EF=（3/2-1，1/2-0，1-1/2）=（1/2，1/2，1/2）。平面A1ABB1的法向量為（0，1，0）。向量EF與平面A1ABB1所成角的正弦值=|EF·法向量|/（|EF|·|法向量|）=|1/2*0+1/2*1+1/2*0|/（√(1/4+1/4+1/4)·√(02+12+02)）=1/2/（√6/6）=1/2*6/√6=√6/6=1/3。所以選A。4.答案：A解析：過點P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q。設(shè)Q（x，y，z），則PQ垂直于平面α，所以PQ的方向向量（x-1，y，z-1）與平面α的法向量（1，1，1）平行。因此，有x-1=y=z-1。又因為Q在平面α上，所以x+y+z=1。代入得x-1+x-1+x-1=1，解得x=1/3，y=1/3，z=1/3。所以Q（1/3，1/3，1/3）。所以選A。5.答案：B解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1。二面角A-PC-B的平面角是∠ACB。在直角三角形ABC中，AC=1，BC=1，所以∠ACB=45°，余弦值為√2/2。所以選B。6.答案：A解析：向量AB=（2-1，1-2，2-0）=（1，-1，2），向量AC=（1-1，1-2，1-0）=（0，-1，1）。向量AB與向量AC的夾角余弦值=|AB·AC|/（|AB|·|AC|）=|1*0+(-1)*(-1)+2*1|/（√(12+(-1)2+22)·√(02+(-1)2+12)）=|0+1+2|/（√6·√2）=3/√12=3/2√3=√3/2=1/2。所以選A。7.答案：B解析：在正四面體ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，所以四邊形EFGH是正四面體的中截面，面積是正四面體面積的1/4。但EFGH是正方形，其面積是正四面體底面面積的1/2。所以四邊形EFGH的面積是正四面體ABCD的面積的1/3。所以選B。8.答案：B解析：點P（1，1，1）在平面α：x+y+z=1上的投影為Q，Q在平面α上，所以Q的坐標滿足x+y+z=1。又因為Q是P在平面α上的投影，所以向量PQ垂直于平面α，即PQ的方向向量（x-1，y-1，z-1）與平面α的法向量（1，1，1）平行。因此，有x-1=y-1=z-1。解得x=y=z=1/3。所以Q（1/3，1/3，1/3）。點P到平面α的距離=|1*1+1*1+1*1-1|/√(12+12+12)=|3-1|/√3=2/√3=√2/2。所以選B。9.答案：A解析：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，二面角A-PBC的平面角是∠PAB。在直角三角形PAB中，PA=1，AB=1，所以∠PAB=45°，余弦值為√2/2。但二面角A-PBC是∠PAB的補角，所以余弦值為-√2/2。所以選A。10.答案：C解析：同第3題，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，所以E（1，0，2），F(xiàn)（2，1，2）。向量EF=（2-1，1-0，2-2）=（1，1，0）。平面A1ABB1的法向量為（0，1，0）。向量EF與平面A1ABB1所成角的正弦值=|EF·法向量|/（|EF|·|法向量|）=|1*0+1*1+0*0|/（√(12+12+02)·√(02+12+02)）=1/（√2·1）=1/√2=√2/2=1/2。所以選C。二、填空題答案及解析11.答案：√6/3解析：直線l：x=2，y=3x-1，z=2x+1的方向向量為（0，3，2）。點P（2，5，5）在直線上。點A（1，2，3）到直線l的距離=|向量AP·方向向量單位向量|。向量AP=（2-1，5-2，5-3）=（1，3，2）。方向向量單位向量=（0，3/√13，2/√13）。向量AP·方向向量單位向量=1*0+3*(3/√13)+2*(2/√13)=9/√13+4/√13=13/√13=√13。所以距離=√13/√(12+32+22)=√13/√14=√6/3。所以填√6/3。12.答案：1/2解析：同第3題，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B的中點，F(xiàn)是B1C的中點，所以E（1/2，0，1），F(xiàn)（3/2，1/2，1）。向量EF=（3/2-1/2，1/2-0，1-1）=（1，1/2，0）。平面ABB1A1的法向量為（0，1，0）。向量EF與平面ABB1A1所成角的正弦值=|EF·法向量|/（|EF|·|法向量|）=|1*0+1/2*1+0*0|/（√(12+(1/2)2+02)·√(02+12+02)）=1/2/（√(1+1/4)·1）=1/2/（√5/2）=1/√5=√5/5=1/2。所以填1/2。13.答案：√2/2解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1。點P到平面ABC的距離就是點P到點C的距離，即PC。在直角三角形PAC中，PA=1，AC=1，所以PC=√(PA2+AC2)=√(12+12)=√2。所以填√2/2。14.答案：√2/2解析：同第4題，過點P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q（1/3，1/3，1/3）。向量PQ=（1/3-1，1/3-0，1/3-1）=（-2/3，1/3，-2/3）。向量PQ的模長=√((-2/3)2+(1/3)2+(-2/3)2)=√(4/9+1/9+4/9)=√9/9=√2/2。所以填√2/2。15.答案：√2/2解析：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，二面角B-PAC的平面角是∠PAB。在直角三角形PAB中，PA=1，AB=1，所以∠PAB=45°，余弦值為√2/2。所以填√2/2。三、解答題答案及解析16.解：（1）證明：在矩形ABCD中，AB⊥AD。因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因為AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。在△PAC中，PA⊥AC。因為E是PC的中點，所以PE=EC。又因為PA⊥平面ABCD，所以PE⊥AC。在△ABE中，AB⊥BE。因為AB∩PE=A，所以AB⊥平面PEA。又因為AC在平面PEA中，所以AB⊥AC。所以平面ABE⊥平面PAC。（2）解：過點B作BM⊥PC于M，連AM。因為平面ABE⊥平面PAC，且平面ABE∩平面PAC=PE，所以BM⊥平面PAC。在直角三角形PBC中，BC=√2，PC=2，所以∠PBC=45°。所以∠PBM=22.5°。在直角三角形PBM中，BM=PC*sin∠PBM=2*sin22.5°=√2/2。在直角三角形ABM中，AM=AB*tan∠PBM=1*tan22.5°=√2-1。所以二面角A-PC-B的余弦值=AM/AC=（√2-1）/1=√2-1。17.解：（1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面BCC1B1。因為EF在平面BCC1B1中，所以EF⊥B1C1。又因為E、F分別是A1B、B1C的中點，所以EF平行于A1C1。因為A1C1⊥B1C1，所以EF⊥B1C1。又因為EF⊥BC（正方體的棱垂直），且BC∩B1C1=C1，所以平面EFM⊥平面BCC1B1。（2）解：三棱錐E-FBC的體積V=1/3*底面積*高。底面FBC是等腰三角形，F(xiàn)B=FC=1，BC=√2。底面積S=1/2*BC*√(FB2-(BC/2)2)=1/2*√2*√(1-(√2/2)2)=1/2*√2*√(1-1/2)=1/2*√2*√(1/2)=1/2。高是點E到平面FBC的距離，即點E到直線BC的距離。點E（1，0，1/2），直線BC的方程為x=0，y=1，z=1。點E到直線BC的距離=|向量EB·直線BC方向向量單位向量|。向量EB=（0-1，1-0，1-1/2）=（-1，1，1/2）。直線BC方向向量單位向量=（0，1，0）。向量EB·方向向量單位向量=-1*0+1*1+1/2*0=1。所以距離=1。所以V=1/3*1/2*1=1/6。18.解：（1）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC。又因為AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC。在△PBC中，PC是斜邊，AC⊥BC。因為D在BC上，所以PD⊥AC。（2）解：二面角A-PBC為60°，即∠PAB=60°。在直角三角形PAB中，PA=1，∠PAB=60°，所以AB=PA*tan60°=1*√3=√3。所以BC=√3。在直角三角形PBC中，PB=√(PA2+BC2)=√(12+(√3)2)=√4=2。點D到平面PAC的距離，即點D到直線PA的距離。點D在BC上，設(shè)D（x，0，x），因為BD=DC，所以x=1/2。直線PA的方程為x=0，y=2z。點D到直線PA的距離=|向量DP·直線PA方向向量單位向量|。向量DP=（-1/2，0，-1/2）。直線PA方向向量單位向量=（0，√3/2，1/2）。向量DP·方向向量單位向量=-1/2*0+0*√3/2-1/2*1/2=