41屆imo試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，則集合\(A\)中的元素個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)3.直線(xiàn)\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定4.若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7\)的值為（）A.11B.12C.13D.146.已知\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.8B.6C.4D.27.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線(xiàn)斜率為（）A.1B.2C.3D.48.不等式\(x^2-3x+2\gt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)9.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)10.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則它的表面積是（）A.24B.16C.32D.48多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=2^x\)2.下列屬于基本不等式應(yīng)用的有（）A.求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.已知\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值C.求\(y=\sinx+\frac{1}{\sinx}(0\ltx\lt\pi)\)的最小值D.已知\(a^2+b^2=1\)，求\(a+b\)的最大值3.以下哪些是等比數(shù)列（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,2,3,4,\cdots\)D.\(2,0,0,0,\cdots\)4.直線(xiàn)\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率\(k\)存在的情況有（）A.當(dāng)\(B=0\)時(shí)，斜率不存在B.當(dāng)\(B\neq0\)時(shí)，斜率\(k=-\frac{A}{B}\)C.當(dāng)\(A=0\)時(shí)，斜率\(k=0\)D.無(wú)論\(A\)、\(B\)如何取值，斜率都存在5.下列關(guān)于向量的運(yùn)算正確的有（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}\)6.以下哪些是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)7.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的性質(zhì)有（）A.當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)D.函數(shù)的值域?yàn)閈(R\)8.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=e^x\)9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域?yàn)閈([-1,2]\)，則函數(shù)\(y=f(2x-1)\)的定義域可能是（）A.\([0,\frac{3}{2}]\)B.\([-1,2]\)C.\([-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]\)D.\([0,1]\)10.下列關(guān)于三角函數(shù)的關(guān)系正確的有（）A.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)B.\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\neq0\)）C.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)D.\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值是\(2\)。（）4.直線(xiàn)\(y=kx+b\)一定與\(y\)軸相交。（）5.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）7.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）8.函數(shù)\(y=\cosx\)是周期函數(shù)，最小正周期是\(2\pi\)。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）10.對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象一定在\(y\)軸右側(cè)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱(chēng)軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，對(duì)稱(chēng)軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)。2.已知\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\overrightarrow=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)和\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。答案：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(3+1,-1+2)=(4,1)\)；\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=3×1+(-1)×2=3-2=1\)。3.求不等式\(x^2-4x-5\lt0\)的解集。答案：因式分解得\((x-5)(x+1)\lt0\)，則其解為\(-1\ltx\lt5\)，解集為\((-1,5)\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(n=5\)時(shí)，\(a_5=2+(5-1)×3=2+12=14\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，\(y_1\gty_2\)，單調(diào)遞減；在\((-\infty,0)\)上同理可證也單調(diào)遞減。2.討論直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是代數(shù)法，聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式判斷；二是幾何法，計(jì)算圓心到直線(xiàn)距離\(d\)，與半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交。3.討論如何求函數(shù)的最值。答案：對(duì)于二次函數(shù)，可通過(guò)配方或利用對(duì)稱(chēng)軸求最值；對(duì)于一些簡(jiǎn)單函數(shù)可根據(jù)單調(diào)性求最值；對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)值比較得最值。4.討論等比數(shù)列與等差數(shù)列在通項(xiàng)公式、性質(zhì)等方面的區(qū)別。答案：通項(xiàng)公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1q^{n-1}\)。性質(zhì)方面，等差數(shù)列有等差中