2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何經(jīng)典題型解析模擬試卷（掌握核心）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，3），點(diǎn)C（3，1，2），那么△ABC的形狀是（）。A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無法確定2.已知直線l1：x+y-1=0和直線l2：2x-y+3=0，那么直線l1和直線l2的位置關(guān)系是（）。A.平行B.相交C.重合D.無法確定3.平面α和平面β相交于直線l，如果點(diǎn)A在平面α上，點(diǎn)B在平面β上，且點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線l的距離都是1，那么線段AB的最短長度是（）。A.1B.√2C.√3D.24.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個等邊三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=2，BC=2，那么三棱柱ABC-A1B1C1的體積是（）。A.2√3B.4√3C.8√3D.16√35.已知點(diǎn)P（1，2，3），點(diǎn)Q（3，2，1），那么向量PQ的模長是（）。A.1B.√2C.√3D.26.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x+y+z=1，那么點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離是（）。A.0B.1C.√2D.√37.已知直線l：x+y-1=0和直線m：2x-y+3=0，那么直線l和直線m的夾角是（）。A.30°B.45°C.60°D.90°8.在四面體ABCD中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面體ABCD的體積是（）。A.1/6B.1/4C.1/3D.1/29.已知直線l：x+y-1=0和直線m：2x-y+3=0，那么直線l和直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）。A.（1，0）B.（0，1）C.（-1，2）D.（2，-1）10.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x-y+2z=0，那么點(diǎn)A（1，2，3）到平面α的距離是（）。A.1B.2C.3D.411.已知直線l：x+y-1=0和直線m：2x-y+3=0，那么直線l和直線m的斜率分別是（）。A.-1，2B.1，-2C.-1/2，2D.1/2，-212.在四面體ABCD中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面體ABCD的表面積是（）。A.√2B.√3C.2√2D.3√2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填寫在答題卡上對應(yīng)位置。）13.已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，3），那么向量AB的坐標(biāo)是__________。14.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x+y+z=1，那么點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離是__________。15.已知直線l：x+y-1=0和直線m：2x-y+3=0，那么直線l和直線m的夾角是__________。16.在四面體ABCD中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面體ABCD的體積是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，3），點(diǎn)C（3，1，2）。求△ABC的面積。18.已知直線l1：x+y-1=0和直線l2：2x-y+3=0。求直線l1和直線l2的夾角。19.在四面體ABCD中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1）。求四面體ABCD的體積。20.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x-y+2z=0。求點(diǎn)A（1，2，3）到平面α的距離。21.已知直線l：x+y-1=0和直線m：2x-y+3=0。求直線l和直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)。22.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x+y+z=1。求點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離。四、證明題（本大題共2小題，共30分。證明過程應(yīng)寫出詳細(xì)的推理步驟。）23.在四面體ABCD中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1）。證明：四面體ABCD是一個正四面體。24.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α的方程是x-y+2z=0。證明：點(diǎn)A（1，2，3）在平面α上。五、應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分。應(yīng)用題應(yīng)結(jié)合實(shí)際情境，解決相關(guān)問題。）25.在一個長方體容器中，長、寬、高分別為3米、2米、1米。容器內(nèi)有一塊立方體冰塊，冰塊的邊長為1米。如果冰塊完全融化，水面會上升多少米？26.在一個三棱錐中，底面是一個等邊三角形，邊長為2米。三棱錐的高為3米。求三棱錐的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：首先計(jì)算向量AB和向量AC的坐標(biāo)，分別為（1，-1，0）和（2，-1，-1）。然后計(jì)算向量AB和向量AC的點(diǎn)積，得到1×2+(-1)×(-1)+0×(-1)=3。接著計(jì)算向量AB和向量AC的模長，分別為√2和√6。最后，根據(jù)向量的夾角公式cosθ=(AB·AC)/(|AB|×|AC|)，得到cosθ=3/(√2×√6)=√3/2。因?yàn)閏osθ=√3/2對應(yīng)的角度是60°，所以△ABC是一個銳角三角形。2.B解析：直線l1的斜率為-1，直線l2的斜率為2。因?yàn)閮蓚€直線的斜率不相等，所以它們相交。3.√2解析：過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為H。過點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足為M。因?yàn)锳H和BM都是1，所以AH=BM=1。根據(jù)勾股定理，AH的長度為√(1^2+1^2)=√2。所以線段AB的最短長度是√2。4.4√3解析：底面ABC是一個等邊三角形，邊長為2，所以底面面積為(√3/4)×2^2=√3。側(cè)棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=2，所以三棱柱的高為2。三棱柱的體積為底面面積×高=√3×2=2√3。但是題目中說的是三棱柱ABC-A1B1C1，所以需要將體積乘以2，得到4√3。5.√5解析：向量PQ的坐標(biāo)為（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2）。向量PQ的模長為√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2。所以向量PQ的模長是2√2。6.√11/3解析：點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)的坐標(biāo)，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入點(diǎn)A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以點(diǎn)A到平面α的距離是√3/3。7.45°解析：直線l的斜率為-1，直線m的斜率為2。兩個直線的斜率之積為(-1)×2=-2。根據(jù)兩條直線的夾角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因?yàn)閠an45°=1，所以θ=45°。所以直線l和直線m的夾角是45°。8.1/6解析：四面體ABCD的體積公式為V=1/3×底面面積×高。底面ABC是一個等邊三角形，邊長為1，所以底面面積為(√3/4)×1^2=√3/4。四面體的高為1，所以體積為1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面體ABCD的體積是√3/12。9.（4/3，-1/3）解析：聯(lián)立直線l和直線m的方程x+y-1=0和2x-y+3=0，解得x=4/3，y=-1/3。所以直線l和直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)是（4/3，-1/3）。10.√6/3解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)的坐標(biāo)，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入點(diǎn)A（1，2，3）和平面α的方程x-y+2z=0，得到d=|1×1+(-1)×2+2×3|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6/3。所以點(diǎn)A到平面α的距離是√6/3。11.-1/2，2解析：直線l的斜率為-1，直線m的斜率為2。所以直線l和直線m的斜率分別是-1/2和2。12.3√2解析：四面體ABCD的表面積等于四個面的面積之和。每個面的面積都是(√3/4)×2^2=√3。所以表面積為4×√3=4√3。但是題目中說的是四面體ABCD的表面積，所以需要將表面積乘以√2，得到4√3×√2=4√6。所以四面體ABCD的表面積是4√6。二、填空題答案及解析13.（1，-1，0）解析：向量AB的坐標(biāo)為（2-1，1-2，3-3）=（1，-1，0）。14.√6/3解析：點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)的坐標(biāo)，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入點(diǎn)A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以點(diǎn)A到平面α的距離是√3/3。15.60°解析：直線l的斜率為-1，直線m的斜率為2。兩個直線的斜率之積為(-1)×2=-2。根據(jù)兩條直線的夾角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因?yàn)閠an60°=√3，所以θ=60°。所以直線l和直線m的夾角是60°。16.1/6解析：四面體ABCD的體積公式為V=1/3×底面面積×高。底面ABC是一個等邊三角形，邊長為1，所以底面面積為(√3/4)×1^2=√3/4。四面體的高為1，所以體積為1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面體ABCD的體積是√3/12。三、解答題答案及解析17.√3/4解析：首先計(jì)算向量AB和向量AC的坐標(biāo)，分別為（1，-1，0）和（2，-1，-1）。然后計(jì)算向量AB和向量AC的叉積，得到（1，-1，0）×（2，-1，-1）=（1，-2，-1）。接著計(jì)算向量AB和向量AC的模長，分別為√2和√6。最后，根據(jù)向量的叉積的模長公式|AB×AC|=|AB|×|AC|×sinθ，得到|（1，-1，0）×（2，-1，-1）|=√2×√6×sinθ。因?yàn)閟inθ=|（1，-1，0）×（2，-1，-1）|/(√2×√6)=√3/3，所以sinθ=√3/3。所以△ABC的面積為(1/2)×√2×√6×√3/3=√3/4。18.90°解析：直線l1的斜率為-1，直線l2的斜率為2。兩個直線的斜率之積為(-1)×2=-2。根據(jù)兩條直線的夾角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因?yàn)閠an90°=無窮大，所以θ=90°。所以直線l1和直線l2的夾角是90°。19.1/6解析：四面體ABCD的體積公式為V=1/3×底面面積×高。底面ABC是一個等邊三角形，邊長為1，所以底面面積為(√3/4)×1^2=√3/4。四面體的高為1，所以體積為1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面體ABCD的體積是√3/12。20.√6/3解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)的坐標(biāo)，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入點(diǎn)A（1，2，3）和平面α的方程x-y+2z=0，得到d=|1×1+(-1)×2+2×3|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6/3。所以點(diǎn)A到平面α的距離是√6/3。21.（4/3，-1/3）解析：聯(lián)立直線l和直線m的方程x+y-1=0和2x-y+3=0，解得x=4/3，y=-1/3。所以直線l和直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)是（4/3，-1/3）。22.√11/3解析：點(diǎn)A（1，1，1）到平面α的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是點(diǎn)的坐標(biāo)，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入點(diǎn)A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以點(diǎn)A到平面α的距離是√3/3。四、證明題答案及解析23.證明：首先計(jì)算向量AB、向量AC和向量AD的坐標(biāo)，分別為（-1，1，0）、（-1，0，1）和（0，-1，1）。然后計(jì)算向量AB和向量AC的叉積，得到（-1，1，0）×（-1，0，1）=（1，1，1）。接著計(jì)算向量AB和向量AC的模長，分別為√2和√2。最后，根據(jù)向量的叉積的模長公式|AB×AC|=|AB|×|AC|×sinθ，得到|（-1，1，0）×（-1，0，1）|=√2×√2×sinθ。因?yàn)閟inθ=|（-1，1，0）×（-1，0，1）|/(√2×√2)=1，所以sinθ=1。所以四面體