廣東省2025屆高三3月第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題1．已知集合A=x∣2x>4，集合A．3 B．3,4 C．2,3,4 D．1,2,3,42．記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若z=3+4i，則1zA．3?4i5 B．3+4i5 C．3?4i253．已知向量a,b，則“a=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某學(xué)校為了了解學(xué)生美育培養(yǎng)的情況，用分層隨機(jī)抽樣方法抽樣調(diào)查，擬從美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組中共抽取30名學(xué)生，已知該校美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組分別有20，30，50名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A．C204CC．C206C5．若空間中四個(gè)不同的平面α1,αA．α1⊥αC．α1,α4既不垂直也不平行 D．6．已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且A．134 B．138 C．747．已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<π2在區(qū)間π6A．1 B．3 C．12 D．8．設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，記x=x?x，則對(duì)任意實(shí)數(shù)A．?x=x B．2x=2x C．9．已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=9,aA．a(chǎn)2=3 C．?dāng)?shù)列Snn是遞增數(shù)列 D．當(dāng)Sn10．已知函數(shù)fxA．若a=e，則fxB．若a≤0，則fx<0C．?a>0,fx在0,+D．?0<a<1,fx在0,+11．已知正四面體A?BCD的棱長為6，點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn)，則下列幾何體能夠整體放入正四面體A?BCD的有（）A．底面在平面BCD上，且底面半徑為2，高為26B．底面在平面BCD上，且底面半徑為2，高為1的圓柱C．軸為直線MN，且底面半徑為2，高為2的圓錐D．軸為直線MN，且底面半徑為2，高為0.2的圓柱12．若函數(shù)fx=?x13．已知α是銳角，若tan2α=3sinαcosα+sinα，則tanα=14．F1,F2分別為雙曲線x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)，A,C兩點(diǎn)在雙曲線上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（點(diǎn)A在第一象限），直線15．已知函數(shù)fx=alnx?bx2+1a,b∈R，曲線（1）求a、b的值；（2）求fx在1e,16．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且acosA（1）證明：cosAcosB=sinC；（2）若△ABC的面積為c210sinC，求17．近年來，中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)，不僅技術(shù)水平持續(xù)提升，市場規(guī)模也持續(xù)擴(kuò)大，取得了令人矚目的成就，國產(chǎn)新能源汽車正逐步引領(lǐng)全球新能源汽車的發(fā)展潮流．某新能源汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行了調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：時(shí)間2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代碼x12345銷量y/千輛1415161819（1）若y與x線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)該地區(qū)新能源汽車在2025年1月份的銷量；（2）該企業(yè)為加強(qiáng)新能源汽車宣傳推廣，計(jì)劃引進(jìn)入工智能工具，并對(duì)宣傳部門員工進(jìn)行人工智能工具使用培訓(xùn)．為節(jié)約培訓(xùn)成本，需要將宣傳部門部分員工調(diào)整至其他部門，剩余宣傳部門員工全部參加培訓(xùn)．培訓(xùn)分為四期，每期培訓(xùn)的結(jié)果是否“優(yōu)秀”相互獨(dú)立，且每期培訓(xùn)中員工達(dá)到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)的概率均為23，員工至少兩期培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)，才能使用人工智能工具．該企業(yè)宣傳部門現(xiàn)有員工100人，開展培訓(xùn)前，員工每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造凈利潤12萬元，開展培訓(xùn)后，能使用人工智能工具的員工預(yù)計(jì)每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造凈利潤18參考公式：b=18．如圖1，已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）．當(dāng)（1）求拋物線C的方程；（2）如圖2，把△ADF沿DF翻折為△PDF，使得二面角P?DF?B的大小為2π3①若θ=π3，求直線BD與平面②證明：三棱錐D?PBF的體積為定值．19．對(duì)于一個(gè)遞增正整數(shù)數(shù)列an，如果它的奇數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)，則稱它是一個(gè)交錯(cuò)數(shù)列．規(guī)定只有一項(xiàng)且是奇數(shù)的數(shù)列也是一個(gè)交錯(cuò)數(shù)列．將每項(xiàng)都取自集合1,2,?,n的所有交錯(cuò)數(shù)列的個(gè)數(shù)記為An．例如，當(dāng)n=1時(shí)，取自集合1的交錯(cuò)數(shù)列只有1一種情況，則A1=1；當(dāng)n=2時(shí)，取自集合（1）求A3和A（2）證明：取自集合1,2,?,nn≥3的首項(xiàng)不為1的交錯(cuò)數(shù)列的個(gè)數(shù)為A（3）記數(shù)列An的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵指數(shù)函數(shù)y=2x在∴由2x>4=22得∵B=1,2,3,4∴A∩B=3,4故答案為：B.【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡可得A=x∣x>22．【答案】D【解析】【解答】解：已知z=3+4i，則z=3?4i則1z故答案為：D.【分析】先利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得z=3?4i3．【答案】A【解析】【解答】解：若a=b，則a=若a2=b2，則a2故“a=b”是“故答案為：A.【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，美術(shù)組要抽取的學(xué)生數(shù)為30×20100=6，

音樂組要抽取的學(xué)生數(shù)為30×30100=9，

舞蹈組要抽取的學(xué)生數(shù)為故答案為：C.【分析】利用分層抽樣的定義分別求出每個(gè)興趣小組要抽取的學(xué)生人數(shù)，再分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合組合的定義即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：已知如圖所示：

在正方體中，記平面ABB1A1為平面α1，平面ABCD為平面α2，平面若平面A1B1C1D1若平面CDD1C1為平面α4由此可得，α1故答案為：D.【分析】先在正方體中找到符合條件的平面α1,α2,α36．【答案】A【解析】【解答】解：已知PF1=3所以PF2=因?yàn)椤螰1PF所以4c整理可得4c2=13a故答案為：A.【分析】先利用橢圓的定義及已知條件可得PF2=a27．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，函數(shù)fx的最小正周期T滿足T4=5π12?π6因?yàn)閤=π6是函數(shù)y=fx解得φ=π6+kπ,k∈Z，又因?yàn)棣账詅x=2sin2x+故答案為：B.【分析】利用正弦型函數(shù)圖象對(duì)稱性可得最小正周期為T=π，再利用x=π6可得參數(shù)ω和φ，8．【答案】D【解析】【解答】解：A、取x=1.3，則?1.3=?1.3??1.3=?1.3?B、取x=0.6，2x=1.2=1.2?所以20.6C、取x=y=0.5，則0.5=0.5?0.5=0.5?0=0.5所以0.5+D、令x=a+α,y=b+β，其中a,b為整數(shù)，0≤α,β<1，若α≥β，則x?y=x?y=若α<β，x?y=x?y=綜上x?故答案為：D【分析】利用新定義取特殊值即可判斷ABC；令x=a+α,y=b+β結(jié)合新定義即可判斷D.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由S3=9,a3是a1即a2=3a則an=a2+所以Snn=9?n2，又9?n當(dāng)Sn=n9?n2故答案為：ABD【分析】先由題意可得a2=3，d=?1即可判斷AB；再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、當(dāng)a=e時(shí)，由fx=0得，xx?1ex∴fxB、當(dāng)a≤0時(shí)，ex?a>0，由fx<0得∴fx<0的解集為C、當(dāng)a>0時(shí)，由fx=xx?1ex當(dāng)x→?∞時(shí)，fx→?∞，當(dāng)當(dāng)lna<0，即0<a<1時(shí)，fx的大致圖象為圖1，由圖象可得函數(shù)在當(dāng)lna=0，即a=1時(shí)，fx的大致圖象為圖2，由圖象可得函數(shù)在當(dāng)0<lna<1，即1<a<e時(shí)，fx當(dāng)lna=1，即a=e時(shí)，fx的大致圖象為圖4，由圖象可得函數(shù)在當(dāng)lna>1，即a>e時(shí)，fx的大致圖象為圖5，由圖象可得函數(shù)在綜上得，?a>0,fx在0,+D、由圖1可得，當(dāng)0<a<1時(shí)，fx在0,+故答案為：ABC.【分析】解方程即可判斷A；利用a≤0時(shí)ex?a>0，等價(jià)于xx?1<0解不等式即可判斷B；討論11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、正四面體ABCD，作AO⊥平面BCD，交平面BCD于O，如圖所示：連接OD，且O為正三角形BCD的中心，又棱長為6，則△BCD的內(nèi)切圓半徑為3，OD=2正四面體的高AO=則底面半徑為2，且2<3，且高B、平面EFG//平面BCD，如圖所示，

當(dāng)HO=1時(shí)，設(shè)△EFG內(nèi)切圓半徑為r'則r'3=故底面半徑為2，高為1的圓柱，無法放到正四面體內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C、軸為直線MN，且底面半徑為2，高為2的圓錐，如圖所示因MN=在線段MN上取點(diǎn)K使得NK=2，KL⊥MN則NQ=KLND=MKMN，即則軸為直線MN，且底面半徑為2，高為2的圓錐，可以放到正四面體內(nèi)，故C正確；D、采用選項(xiàng)C中的圖，此時(shí)條件變?yōu)?，在線段MN上取點(diǎn)K使得KL=則KLND=MKMN，即23而2MK=4<32?0.2，故軸為直線故答案為：ACD【分析】先計(jì)算△BCD的內(nèi)切圓半徑3與2比較，高26與AO比較即可判斷A；△BCD的內(nèi)切圓半徑以及高為1時(shí)的正四面體截面內(nèi)切圓半徑與2比較即可判斷B；以N為圓錐頂點(diǎn)，高為2時(shí)底面半徑2與KL比較即可判斷C；找到圓柱的軸中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?12．【答案】3【解析】【解答】解：已知函數(shù)fx為奇函數(shù)，則f設(shè)x<0，則?x>0，所以f?x所以a=2，則fx所以ff故答案為：3【分析】先利用函數(shù)fx=?13．【答案】1【解析】【解答】解：已知tan2α=3sinαcosα+sinα，化簡可得因?yàn)棣潦卿J角，所以tanα>0，所以2整理得3tan2α+2tanα?1=0，解得tan故答案為：1【分析】先利用二倍角的正切公式化簡可得21?14．【答案】6【解析】【解答】解：已知如圖所示：

由雙曲線的對(duì)稱性可知AF1=設(shè)直線BC的方程為x=my+2m>0，C由x=my+2x2?由題意3m2?1≠0BC=1+m整理得m2+123m故直線BC的方程為x=y+2，即x?y?2=0，則x1由題意A?x1,?y1，點(diǎn)則S△ABC故答案為：6【分析】先利用對(duì)稱性可知AF1=CF2，及AF1?BF2=6可得BC=6，設(shè)直線BC的方程為15．【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)fx=alnx?bx2+1因?yàn)榍€y=fx在x=1處與直線y=0所以，f'1=a?2b=0（2）解：由（1）可得fx=2lnx?x當(dāng)1e≤x<1時(shí)，f'x>0所以，fx在1e,1所以，函數(shù)fx在x=1處取得極大值即最大值，則f又f1e=2ln所以，fx【解析】【分析】（1）由題意可得f'1=0（2）先求導(dǎo)可得f'x=21?x1+xx，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)f（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx=alnx?bx2+1因?yàn)榍€y=fx在x=1處與直線y=0所以，f'1=a?2b=0（2）由（1）可得fx=2lnx?x當(dāng)1e≤x<1時(shí)，f'x>0所以，fx在1e,1所以，函數(shù)fx在x=1處取得極大值即最大值，則f又f1e=2ln所以，fx16．【答案】（1）證明：根據(jù)正弦定理設(shè)asinA=b代入acosA+bcosB=整理得cosAcosB=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B由A+B+C=π，得sinA+B所以cosAcosB=sinC；（2）解：由面積公式得S=1由正弦定理得12整理得sinAsinB=1由A+B+C=π，得cosC=?cosA+B由（1）得sinC+cosC=sinAsinB=1由平方關(guān)系得sinC+cosC=解得sinC=45因?yàn)镃∈0,π，所以sinC>0，所以cosC=?【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將邊化角可得sinAcosA（2）先利用三角形的面積公式S=12absinC（1）根據(jù)正弦定理設(shè)asinA=b代入acosA+bcosB=整理得cosAcosB=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B由A+B+C=π，得sinA+B所以cosAcosB=sinC；（2）由面積公式得S=1由正弦定理得12整理得sinAsinB=1由A+B+C=π，得cosC=?cosA+B由（1）得sinC+cosC=sinAsinB=1由平方關(guān)系得sinC+cosC=解得sinC=45因?yàn)镃∈0,π，所以sinC>0，所以cosC=?17．【答案】（1）解：由題意得x=i=15所以b=i=1n所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.3x+12.5由題意得，2025年1月份的月份代碼為14，當(dāng)x=14時(shí)，y=1.3×14+12.5=30.7所以估計(jì)該地區(qū)新能源汽車在2025年1月份的銷量為30.7千輛．（2）解：記事件M為“員工經(jīng)過培訓(xùn)后，能使用人工智能工具”，

則PM=1?C40134?C41231133=89，

設(shè)宣傳部門調(diào)至其他部門人數(shù)為nn∈N?，則參加培訓(xùn)的人數(shù)為100?n，

設(shè)【解析】【分析】（1）先由題意計(jì)算b,a，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程，再把（2）線路有條件可得培訓(xùn)后能使用人工智能工具的人數(shù)ξ～B100?n,89（1）由題意得x=i=15所以b=i=1n所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.3x+12.5由題意得，2025年1月份的月份代碼為14，當(dāng)x=14時(shí)，y=1.3×14+12.5=30.7所以估計(jì)該地區(qū)新能源汽車在2025年1月份的銷量為30.7千輛．（2）記事件M為“員工經(jīng)過培訓(xùn)后，能使用人工智能工具”，則PM設(shè)宣傳部門調(diào)至其他部門人數(shù)為nn∈N?設(shè)ξ為培訓(xùn)后能使用人工智能工具的人數(shù)，則ξ～B100?n,89調(diào)整后年凈利潤預(yù)計(jì)為：8100?n由題意得49100?n解得n≤1300所以預(yù)計(jì)最多可調(diào)整26人去其他部門．18．【答案】（1）解：當(dāng)θ=π2時(shí)，AF⊥DF，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為因?yàn)镺A=5，所以解得p=2，所以拋物線C的方程為y2（2）解：①在平面直角坐標(biāo)系中，若θ=π3，則直線AB的方程為聯(lián)立y=所以點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為3,23過O點(diǎn)作平面DBF的垂線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(?1,0,0),B1當(dāng)二面角P?DF?B的大小為2π3時(shí)，點(diǎn)P3,4×sinπ所以BD=設(shè)平面PBF的法向量為n=則n?PF=0,n?BF=0,即?2x?設(shè)直線BD與平面PDF所成角為θ，則sinθ=BD所以直線BD與平面PBF所成角的正弦值為991②由題意得VD?PBFPF?sinθ?sin當(dāng)θ=π2時(shí)，當(dāng)θ≠π2時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為x1聯(lián)立y=kx?1,y則Δ=2因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1,k=tanθ=所以VD?PBF==3綜上所述，三棱錐D?PBF的體積為定值23【解析】【分析】（1）先利用傾斜角得Ap2,p（2）①聯(lián)立方程得A3,23,B13,?23（1）當(dāng)θ=π2時(shí)，AF⊥DF，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為因?yàn)镺A=5，所以解得p=2，所以拋物線C的方程為y2（2）①在平面直角坐標(biāo)系中，若θ=π3，則直線AB的方程為聯(lián)立y=所以點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為3,23過O點(diǎn)作平面DBF的垂線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(?1,0,0),B1當(dāng)二面角P?DF?B的大小為2π3時(shí)，點(diǎn)P3,4×sinπ所以BD=設(shè)平面PBF的法向量為n=則n?PF=0,n?BF=0,即?2x?設(shè)直線BD與平面PDF所成角為θ，則sinθ=BD所以直線BD與平面PBF所成角的正弦值為991②由題意得VD?PBFPF?sinθ?sin當(dāng)θ=π2時(shí)，當(dāng)θ≠π2時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為x1聯(lián)立y=kx?1,y則Δ=2因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1,k=tanθ=所以VD?PBF==3綜上所述，三棱錐D?PBF的體積為定值2319．【答案】（1）解：當(dāng)n=3時(shí)，取自集合1,2,3的交錯(cuò)數(shù)列有1;3;1,2;1,2,3四種情況，因此A3當(dāng)n=4時(shí)，取自集合1,2,3,4的交錯(cuò)數(shù)列有1;3;1,2;1,4;3,4;1,2,3;1,2,3,4七種情況，因此A4（2）證明：設(shè)數(shù)列a1,a因?yàn)閍1≠1且是奇數(shù)，所以構(gòu)造數(shù)列bi=a此時(shí)數(shù)列b1,b