第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=3?2i，則A.4+i B.2?3i C.4?i D.?2+3i2.袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到紅球的概率為(

)A.25 B.415 C.353.正方形O′A′B′C′的邊長為2，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖(如圖)，則原圖形的周長是(

)A.12

B.42

C.16

4.一個(gè)圓臺(tái)母線長為2，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為2π3的扇環(huán)，則圓臺(tái)上下底面圓周長之差的絕對(duì)值為(

)A.4π3 B.2π C.3π D.5.如圖，兩座山峰的高度AM=CN=200m，為測(cè)量峰頂M和峰頂N之間的距離，測(cè)量隊(duì)在B點(diǎn)(A,B,C在同一水平面上)測(cè)得M點(diǎn)的仰角為45°，N點(diǎn)的仰角為30°，且∠MBN=45°，則兩座山峰峰頂之間的距離MN=(

)A.200m B.400m C.2002m6.在平行四邊形ABCD中,DE=3EC，若AE交BD于點(diǎn)M，則AMA.AM=13AB+23AD 7.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD，DA.直線A1G，C1E共面

B.VD1?BEF=13

C.直線A1G與平面AD8.如圖，以邊長為4的菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，∠ABC=60°，則AB?AP的最大值是16 B.16C.18 D.20二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在一次比賽中，7名裁判員對(duì)運(yùn)動(dòng)員甲的評(píng)分分別為8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的有(

)A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于平均數(shù)

B.這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為8.5

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8.0

D.去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分后，新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)會(huì)變大10.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同，編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中依次不放回摸出兩個(gè)球.設(shè)事件A=“第一次摸出球的編號(hào)為奇數(shù)”，事件B=“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為5”，事件C=“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為2的球”，則(

)A.P(C)=12 B.事件A與事件B為獨(dú)立事件

C.P(A+B)=512 D.事件11.在銳角△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且c+b=2acosB.則下列說法正確的是(

)A.A=2B

B.角B的范圍是(0,π6)

C.若∠BAC的平分線交BC于D，AD=2，sinB=35，則1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z=2?i，|z?+i|=13.若4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為6，方差為5，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為______．14.在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，∠ABC=120°，△ABC的面積為332，則三棱錐P?ABC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某中學(xué)為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一場(chǎng)“數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)知識(shí)大賽”，分為初賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，全校學(xué)生參加了初賽，現(xiàn)從參加初賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取300人的成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：

(1)求頻率分布直方圖中a的值.若從成績不低于70分的學(xué)生中，按分層抽樣方法抽取24人的成績，求24人中成績不低于90分的人數(shù)．

(2)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)知識(shí)初賽成績的中位數(shù).(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)

(3)若甲、乙兩位同學(xué)均進(jìn)入復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為25，乙復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為116.(本小題15分)

已知向量a=(sinx,1)，b=(cosx,1)．

(1)當(dāng)x=π2時(shí)，求向量a+b的坐標(biāo)；

(2)若a//b17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐A?BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2．

(1)證明：DE⊥平面ACD；

(2)求二面角18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2bsin(C+π6)．

(1)求B；

(2)已知D為邊AB上的一點(diǎn)，且∠ACD=π2．

(ⅰ)若BC=23，BD=1，求19.(本小題17分)

離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為φP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,?,k,k≥3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1PQk和平面QkPQ1為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面

參考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.ABD

10.AB

11.ACD

12.213.17314.28π

15.解：(1)根據(jù)題意可得(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

因?yàn)槌煽兾挥?70,80]，(80,90]，(90,100]的頻率之比為0.3：0.25：0.05=12：10：2，

所以按分層抽樣方法抽取24人的成績，這24人中成績不低于90分的人數(shù)為2；

(2)因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.1，0.15，0.15，0.3，

所以中位數(shù)位于(70,80]，且為70+0.5?0.1?0.15?0.150.03≈73.33；

(3)因?yàn)榧讖?fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為25，乙復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為13，

且甲、乙是否獲一等獎(jiǎng)互不影響，

所以甲乙兩個(gè)人都未復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為(1?216.(1)已知向量a=(sinx,1)，b=(cosx,1)，

當(dāng)x=π2時(shí)，a=(sinx,1)=(1,1)，b=(cosx,1)=(0,1)，

則a+b=(1+0,1+1)=(1,2)．

(2)若a//b，

則sinx×1?1×cosx=0，

即sinx=cosx，

所以x=kπ+π4，k∈Z．

(3)因?yàn)閍=(sinx,1)，b=(cosx,1)，

所以f(x)=a?b=sinxcosx+1×1=117.(1)證明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=2，

由AC=2，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；

(2)解：作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，BO⊥CD，與CD交于點(diǎn)O，連接OF，

由(1)知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B?AD?C的平面角，

在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB，

由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．

在Rt△ACD中，由DC=2，AC=2，得AD=6；

在Rt△ABD中，由18.(1)因?yàn)閍=2bsin(C+π6)=b(3sinC+cosC)，

由正弦定理得sinA=sinB(3sinC+cosC)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以cosBsinC=3sinBsinC，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以tanB=33，

所以B=π6．

(2)(ⅰ)因?yàn)锽C=23,BD=1,∠B=π6，

根據(jù)余弦定理得CD2=BC2+BD2?2BC?BD?cosB=1+12?2×1×23×32=7，所以CD=7，

因?yàn)椤螧DC=π2+A，所以sin∠BDC=sin(π2+A)=cosA，

19.(1)根據(jù)離散曲率的定義得φP=1?12π(∠APB+∠BPC+∠APC)，

φA=1?12π(∠PAB+∠BAC+∠PAC),φB=1?12π(∠PBA+∠ABC+∠PBC)，

φC=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)，

又因?yàn)椤螦PB+∠BPC+∠APC+∠PAB+∠BAC+∠PAC+∠PBA+∠ABC+∠PBC

+∠PCA+∠BCA+∠PCB=4π，

所以φP+φA+φB+φC=4?12π×4π=2．

(2)因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，

又因?yàn)锳C⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，

因?yàn)镻C?平面PAC，∴BC⊥PC，

因?yàn)棣誄=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)=38，即1?12π(∠PCA+π2+π2)=38

所以∠PCA=π4，所以PA=AC=BC=