第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=5+i1?i，則z=(

)A.2?2i B.1?3i C.1+3i D.2+3i2.已知a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(b?A.?2 B.2 C.?1 D.13.某班有男生36人，女生20人，現(xiàn)在要用性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該班中抽取14人參加跳繩比賽，則男生被抽取的人數(shù)為(

)A.7 B.8 C.9 D.104.已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為(

)A.6π B.12π C.3π D.2π5.位于燈塔A處正西方相距30海里的B處有一艘甲船，需要海上加油，位于燈塔A處北偏東45°方向有一與燈塔A相距102海里的C處有一艘乙船，則乙船前往支援B處甲船需要航行的最短距離是(

)A.105海里 B.1017海里 C.86.如圖，某幾何體可看成是3個(gè)幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺(tái)，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺(tái)，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為2：3：5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為(

)A.2：6：15 B.9：15：25 C.6：21：35 D.9：21：567.如圖，在△ABC中，PC=2BP，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，設(shè)AB=mAM,AC=nAN，其中m，A.1

B.2

C.3

D.48.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.在費(fèi)馬提到的這個(gè)問題中所求的點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn)，其答案如下：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成120°角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，且a2?(b?c)2=8，bsinB+C2=asinB，若A.?4 B.?3 C.?6 D.?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若復(fù)數(shù)z滿足i?z=1+3i(i是虛數(shù)單位)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.z=3?i B.z?的模為4

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 D.10.下列說(shuō)法中正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位數(shù)為3

B.若A、B為互斥事件，則A的對(duì)立事件與B的對(duì)立事件一定互斥

C.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1、x2、x3、?、x9、x10的平均數(shù)和方差分別為2和8，若yi=2xi+1(i=1,2,3,?,10)，則y1、y2、y3、?、y9、y11.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1A.AC1⊥平面A1PD

B.若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為22

C.若λ+μ=12，則四面體DPQA112.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線13.已知向量a與b的夾角為30°,|a|=43,b=(214.已知正四面體的棱長(zhǎng)為46，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為26

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

為了解某小區(qū)居民的體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)在該小區(qū)選取了100名住戶，將他們上周體育鍛煉的時(shí)間(單位：時(shí))按照[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，用每組數(shù)據(jù)區(qū)間中點(diǎn)值作代表，估計(jì)這100名住戶上周體育鍛煉時(shí)間的平均值．16.(本小題12分)

在△ABC中，已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，記m=(2c,1)，n=(2a?b,cosB)，且m//n．

(1)求角C；

(2)若c=17.(本小題12分)

DeepSeek是由中國(guó)杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、智能制造、教育等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景.為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織A、B兩部門的員工參加DeepSeek培訓(xùn)．

(1)已知該公司A、B部門分別有3名領(lǐng)導(dǎo)，此次DeepSeek培訓(xùn)需要從這6名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求全部來(lái)自A部門領(lǐng)導(dǎo)的概率；

(2)此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為23,18.(本小題12分)

如圖，等腰直角三角形ABC所在平面與半圓弧AB所在平面垂直，O為AB的中點(diǎn)，且AC=BC，M是AB上異于A、B的點(diǎn)，N是AM的中點(diǎn)．

(1)證明：AM⊥平面OCN

(2)若圓O的半徑為1，設(shè)∠MAB=α，

(i)當(dāng)α=30°時(shí)，求二面角C?AM?B的平面角的正切值；

(ii)當(dāng)M在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合)，證明：點(diǎn)O到平面BCM的距離d=cosα1+19.(本小題12分)

將所有平面向量組成的集合記作R2.如果對(duì)于向量．x=(x1,x2)∈R2，存在唯一的向量y=(y1,y2)∈R2與之對(duì)應(yīng)，其中坐標(biāo)y1、y2由x1、x2確定，則把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為．y=f(x)或者(y1,y2)=f(x1,x2)簡(jiǎn)記為f.例如(y1,y2)=f(x1,x2)=(2x1+x2,x12)就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.若在|x|=1的條件下|y|參考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.60°

13.(314.215.(1)在頻率分布直方圖中，所有條形圖的面積之和為1，

可得(0.05+0.1+0.15+a+0.075)×2=1，解得a=0.125．

(2)前三個(gè)矩形的面積之和為(0.05+0.1+0.15)×2=0.6，

前四個(gè)矩形的面積之和為0.6+0.125×2=0.85，

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為m，則m∈(6,8)，

由百分位數(shù)的定義可得0.6+(m?6)×0.125=0.8，解得m=7.6．

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本的平均數(shù)為x?=1×0.1+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15=5.3．

估計(jì)這100名住戶上周體育鍛煉時(shí)間的平均值為5.3小時(shí)．16.(1)因?yàn)閙=(2c,1),n=(2a?b,cosB),m//n，

所以2a?b=2ccosB，

利用正弦定理得：2sinA?sinB=2sinCcosB，

因?yàn)閟inA=sin(B+C)，所以2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC?sinB=0，因?yàn)閟inB≠0，所以cosC=12．

又因?yàn)?<C<π，所以C=π3．

(2)因?yàn)閏=3，C=π3，

所以由正弦定理asinA=csinC=3317.(1)記A部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為a1，a2，a3，B部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為b1，b2，b3，

從6名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，不同結(jié)果有：

a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共18.證明(1)因?yàn)镸是半圓弧AB上一點(diǎn)，所以∠AMB=π2，即AM⊥BM，

因?yàn)镺、N分別是AB、AM的中點(diǎn)，所以O(shè)N/?/BM，ON⊥AM，

因?yàn)椤鰽CB是等腰直角三角形，AC=BC，所以O(shè)C⊥AB，

因?yàn)槠矫鍭CB⊥平面ABM，平面ACB∩平面ABM=AB，CO?平面ABC，

所以CO⊥平面ABM，又因?yàn)锳M?平面ABM，所以AM⊥CO，

因?yàn)镺C、ON?平面OCN，ON∩OC=O，所以AM⊥平面OCN．

(2)(i)由(1)可知AM⊥平面OCN，故CN⊥AM，ON⊥AM，

所以，二面角C?AM?B的平面角為∠CNO，

當(dāng)α=30°時(shí)，ON=12OA=12，

因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，且AC=BC，則∠ACB=π2，

因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12AB=1，

因?yàn)镃O⊥平面ABM，ON?平面ABM，故CO⊥ON，

所以tan∠CNO=COON=112=2，即二面角C?AM?B的平面角的正切值為2；

(ii)證明：過(guò)點(diǎn)M在平面ABM內(nèi)作MG⊥AB交AB于點(diǎn)G，如圖所示，

因?yàn)槠矫鍭BM⊥平面ABC，且平面ABM∩平面ABC=AB，MG?平面ABM，

所以MG⊥平面ABC，

由(ⅰ)知OA=OB=OC=OM=1，

當(dāng)∠MAB=α?xí)r，∠ABM=π2?α，

則BMAB=sinα，即BM=2sinα，

所以MG=BM?sin∠ABM=2sinα?sin(π2?α)=2sinα?cosα=sin2α，

由等腰三角形ABC得，