14.2三角形全等的判定第5課時直角三角形全等的判定(“HL”)

知識關聯探究與應用 課堂小結與檢測判斷：具有下列條件的Rt△ABC與Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=90°)是否全等？若全等，在(

)里填寫理由；若不全等，在(

)里打“×”:知識關聯(1)AC=A'C',∠A=∠A';

()(2)AC=A'C',BC=B'C';

()(3)AB=A'B',∠B=∠B';

()(4)∠A=∠A',∠B=∠B';

()A′B′C′ABCASASASAAS×

【探究】直角三角形全等的判定方法--HL

【情境問題】

前面學習的三角形全等的判定方法,對滿足條件的三角形都是適用的,同樣也適用于直角三角形.

探究與應用

由于兩個直角三角形的直角相等,故對于兩個直角三角形,滿足一直角邊和它相對(或相鄰)的銳角分別相等,或斜邊和一銳角分別相等,或兩直角邊分別相等,這兩個直角三角形就全等了.

如果滿足斜邊和一直角邊分別相等,這兩個直角三角形全等嗎?

【探究】直角三角形全等的判定方法--HL【操作嘗試】(1)如圖，在△ABC和△A'B'C中,∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.

這兩個三角形全等嗎?探究與應用

【探究】直角三角形全等的判定方法--HL

【嘗試交流】如圖，由∠C'=∠C=90°可知，如果使點C'與點C重合，并且使射線C'A'與射線CA重合，那么射線C'B'與射線CB重合，再由B'C'=BC，可知點B'與點B重合.探究與應用A(A’)

【探究】直角三角形全等的判定方法--HL

【嘗試交流】探究與應用

為了判斷點A'與點A是否重合,我們討論射線CA上除點C、A外的點與點B的連線和邊AB的大小關系.

設點M在直角邊AC(不包括端點)上,連接BM,則∠BMA>∠C,∠BMA是鈍角.若過點M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點M',則有AB>BM'>BM.設點N在線段CA的延長線上,連接BN,同理可得BN>AB.因此,在射線CA上,與點B的連線長度等于AB的點只有一個.再由點A'在射線CA上,A'B'=AB,可知點A'與點A重合.這樣,△A'B'C'的三個頂點與△ABC的三個頂點分別重合,△A'B'C'與△ABC能夠完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC.A(A’)?M︵M’?N

【探究】直角三角形全等的判定方法--HL【概括新知】一般地，有如下判定直角三角形全等的方法:斜邊和一直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

探究與應用幾何語言：

A′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′,BC=B′C′,ABC【概況歸納】

探究與應用判定兩個三角形全等的一般思路

【理解應用】

例1如圖，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分別為C、D，AC=BD.

求證：BC=AD.探究與應用分析：如果能證明Rt△ABC和Rt△ABD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BCD具備“斜邊、直角邊”的條件.ABCD證明：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD

中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.

【理解應用】【變式】如圖，已知∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD，還需增加一個什么條件？把增加的條件填在橫線上，并在后面相應的括號內填上判定它們全等的理由:探究與應用ABCD(1)

(

);

(2)

(

);

(3)

(

);

(4)

(

).

AD=BCHLBD=ACHL∠BAD=∠ABCAAS∠DBA=∠CABAAS探究與應用

【理解應用】

例2：如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形對應角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.變式

探究與應用

【理解應用】

AFCEDB如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.證明:

∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.

(1)兩直角三角形兩條直角邊對應相等,這兩個直角三角形全等,根據;

探究與應用

【總結歸納】

(2)兩直角三角形斜邊和一個銳角對應相等,這兩個直角三角形全等,根據

;

(3)兩直角三角形一個銳角和一條直角邊對應相等,這兩個直角三角形全等,根據

;

(4)兩直角三角形全等的特殊條件是

和

對應相等.

SAS

AASAAS或ASA斜邊直角邊

【拓展】

例4如圖，已知∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，BE=CD，AB交DC于點M，AC交BE于點N.求證:△ADM≌△AEN.探究與應用分析：要證明△ADM≌△AEN，我們容易尋找到的條件是∠ADC=∠AEB=90°，其他條件都是未知的?？紤]到AD=AE，∠DAM=∠EAN都可通過△ADC≌△AEB得到,故可考慮先證明△ADC≌△AEB.尋找未知的等邊或等角時，?？紤]轉移到其他三角形中，利用三角形全等來進行證明.[答案:同學們展示]

【小結】課堂小結與檢測任意三角形全等的判定SSSSAS直角三角形全等的判定HLASAAAS

【檢測】課堂小結與檢測D1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（）A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等C.斜邊和一條直角邊對應相等D.兩個銳角對應相等

【檢測】課堂小結與檢測2.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC

（填“全等”或“不全等”），根據

（用簡寫法）.HL全等

【檢測】課堂小結與檢測3.如圖所示,在四邊形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，則∠BCD=

度.

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【檢測】課堂小結與檢測4．如圖