2023-2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一組數(shù)據(jù)5，4，5，6，5，3，4的眾數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D＝110°，則∠B的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．70° D．90°4．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣1，y1），B（2，y2）在函數(shù)y＝2x﹣7的圖象上，則（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．無法判斷6．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD是兩條對角線，添加下列條件后能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，下列選項中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 C．a(chǎn)2＝（c+b）（c﹣b） D．∠A＝∠B8．（3分）已知小麗家、便利店、體育館在同一直線上，某天小麗從家步行到便利店買了一瓶水，再到體育館鍛煉，最后騎共享單車回家．小麗離家距離y與時間x之間的關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論錯誤的是（）A．小麗家到便利店距離500米 B．小麗在便利店停留了5分鐘 C．小麗步行的速度是0.1km/min D．小麗騎自行車的速度是步行速度的1.5倍9．（3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊AD中點，連接OE．若AB的長為6，△DOE的周長為10，則△BCD的周長是（）A．8 B．12 C．16 D．2010．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于點G，交CD于F，則CF的長是（）A． B． C．32 D．2二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為．12．（3分）技術(shù)員分別從甲、乙兩塊玉米試驗田中隨機抽取100株玉米苗，測得玉米苗高的平均數(shù)相同，方差分別為，，則玉米苗長得更整齊的試驗田是．13．（3分）若直線y＝﹣2x+b與x軸的交點為（2，0），則關(guān)于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解為．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，點E是BC的中點，∠EAB＝35°，則∠CAD的度數(shù)為．15．（3分）如圖，某港口C在南北方向的海岸線上，快、慢兩艘船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢兩船每小時分別航行12海里和5海里，2小時后兩船分別位于點A，B處，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿方向航行．16．（3分）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C的坐標(biāo)為（3，0），點D，E分別是線段BO，BC上的動點，且BD＝CE，則BC的長為；當(dāng)AD+AE的值取最小值時，點D的坐標(biāo)為．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程17．（4分）計算：．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于點D，求BD的長．19．（6分）如圖，E、F為?ABCD的對角線AC上的兩點，請你添加一個條件，使得BE＝DF．（1）你添加的條件是．（2）根據(jù)你添加的條件和題目的已知條件，求證：BE＝DF．20．（6分）小明打算利用暑假閱讀名著《儒林外史》，該書有472頁，他計劃每天看15頁，設(shè)小明看書時間為x天，還剩下y頁書沒看．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系．（2）當(dāng)小明閱讀20天后，還剩下多少頁書沒看．21．（8分）2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發(fā)射取得成功，將我國航天事業(yè)推向了新的高峰．南沙區(qū)某中學(xué)為了豐富學(xué)生們航天知識，組織全校學(xué)生進行航天知識競賽，并隨機抽取50名學(xué)生的成績，整理成如統(tǒng)計表：分數(shù)60708090100頻數(shù)23151614（1）該50名同學(xué)這次競賽成績的中位數(shù)是．（2）求該50名同學(xué)這次競賽成績的平均數(shù)．（3）若競賽成績90分以上（含90分）為優(yōu)秀，該校有1500名學(xué)生，請估計競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．22．（10分）已知一次函數(shù)y＝（3﹣m）x+4的圖象不經(jīng)過第四象限．（1）求m的取值范圍．（2）當(dāng)m＝1時，在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的情況下，當(dāng)﹣3＜x≤1時，根據(jù)圖象求出y的取值范圍．23．（10分）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡，，，這種化簡的方法叫做分母有理化，請利用分母有理化解答下列問題：（1）化簡；＝．＝．（2）矩形的面積為，一邊長為，求這個矩形的周長．（3）當(dāng)a＞b＞0時，化簡：．24．（12分）如圖1，矩形ABCD的一邊AD在x軸上，點C的坐標(biāo)為（﹣2，4），點A的坐標(biāo)為（4，0）．（1）求證：四邊形OABE為正方形；（2）如圖2，若點F為AB中點，連接OC，OF，直線AC交OF于點G，交y軸于點H．①求△OCG的面積．②點M在x軸的正半軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點A，HM，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．（12分）四邊形ABCD是正方形，點E是射線CB上一動點，過點A作AE⊥AF交直線CD于點F，作∠EAF的平分線AH交直線BC于點H，連接HF．（1）如圖1，若點E在線段CB延長線上，點H在線段CB上．①求證：∠1＝∠2；②如圖2，連接BD交AH于點K，交AF于點L，請?zhí)剿鰾K，KL，DL之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）請直接寫出BH，BE和HF之間的數(shù)量關(guān)系．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，即可解答．【解答】解：A、＝＝，故A不符合題意；B、是最簡二次根式，故B符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝2，故D不符合題意；故選：B．2．（3分）一組數(shù)據(jù)5，4，5，6，5，3，4的眾數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念求得這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)即可．【解答】解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5，即眾數(shù)是5，故選：C．3．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D＝110°，則∠B的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．70° D．90°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠D，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵∠B+∠D＝110°，∴∠B＝∠D＝55°，故選：B．4．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運算法則判斷即可．【解答】解：A．+≠，故本選項不符合題意；B．3﹣＝2，故本選項不符合題意；C．+≠3，故本選項不符合題意；D．×＝3，故本選項符合題意；故選：D．5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣1，y1），B（2，y2）在函數(shù)y＝2x﹣7的圖象上，則（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．無法判斷【分析】根據(jù)所給函數(shù)解析式，得出y隨x的變化情況，據(jù)此可解決問題．【解答】解：因為函數(shù)解析式為y＝2x﹣7，所以y隨x的增大而增大，又因為﹣1＜2，所以y1＜y2．故選：A．6．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD是兩條對角線，添加下列條件后能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝CB，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，下列選項中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 C．a(chǎn)2＝（c+b）（c﹣b） D．∠A＝∠B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進行計算即可解答．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，∴不能判定△ABC為直角三角形，故A不符合題意；B、∵a2+b2＝12+22＝5，c2＝32＝9，∴a2+b2≠c2，∴不能判定△ABC為直角三角形，故B不符合題意；C、∵a2＝（c+b）（c﹣b），∴a2+b2＝c2，∴能判定△ABC為直角三角形，故C符合題意；D、∵∠A＝∠B，∴a＝b，∴能判定△ABC為等腰三角形，不能判定△ABC為直角三角形，故D不符合題意；故選：C．8．（3分）已知小麗家、便利店、體育館在同一直線上，某天小麗從家步行到便利店買了一瓶水，再到體育館鍛煉，最后騎共享單車回家．小麗離家距離y與時間x之間的關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論錯誤的是（）A．小麗家到便利店距離500米 B．小麗在便利店停留了5分鐘 C．小麗步行的速度是0.1km/min D．小麗騎自行車的速度是步行速度的1.5倍【分析】由函數(shù)圖象分別得出選項的結(jié)論，然后作出判斷即可．【解答】解：由圖象知，A、小麗家到便利店距離是0.5千米＝500米，故A選項不符合題意；B、小麗在便利店停留了10﹣5＝5（分鐘），故B選項不符合題意；C、小麗步行的速度是＝0.1（km/min），故C選項不符合題意；D、小麗騎自行車的速度是＝0.2（km/min），＝2，小麗騎自行車的速度是步行速度的2倍，故D選項符合題意；故選：D．9．（3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊AD中點，連接OE．若AB的長為6，△DOE的周長為10，則△BCD的周長是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，再證明OE是△ABD的中位線，得OE＝AB＝3，然后求出DE+OD＝7，則BC+BD＝14，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，∵E是邊AD中點，∴OE是△ABD的中位線，∴DE＝ADOE＝AB＝3，∵△DOE的周長為10，∴OE+DE+OD＝10，∴DE+OD＝10﹣3＝7，即AD+BD＝2（DE+OD）＝2×7＝14，∴BC+BD＝14，∴△BCD的周長＝BC+BD+CD＝14+6＝20，故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于點G，交CD于F，則CF的長是（）A． B． C．32 D．2【分析】由矩形的性質(zhì)得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，則BE＝＝8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因為AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，則EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF＝，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴BE＝＝＝8，∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，∵AF⊥DE于點G，交CD于F，∴AF垂直平分DE，∴EF＝DF＝6﹣CF，∵CE2+CF2＝EF2，∴22+CF2＝（6﹣CF）2，解得CF＝，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為x≥3．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故答案為：x≥3．12．（3分）技術(shù)員分別從甲、乙兩塊玉米試驗田中隨機抽取100株玉米苗，測得玉米苗高的平均數(shù)相同，方差分別為，，則玉米苗長得更整齊的試驗田是甲．【分析】根據(jù)方差越小，長勢越整齊進行求解即可．【解答】解：∵，，∴S2甲＜S2乙，∴玉米苗長得更整齊的是甲，故答案為：甲．13．（3分）若直線y＝﹣2x+b與x軸的交點為（2，0），則關(guān)于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解為x＝2．【分析】將（2，0）代入直線函數(shù)解析式，求出b，再解關(guān)于x的方程即可解決問題．【解答】解：將（2，0）代入y＝﹣2x+b得，b＝4，則解方程﹣2x+4＝0得，x＝2，所以關(guān)于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解為x＝2．故答案為：x＝2．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，點E是BC的中點，∠EAB＝35°，則∠CAD的度數(shù)為35°．【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，求出∠B＝55°，可得結(jié)論．【解答】解：∵∠∠BAC＝90°，E是BC的中點，∴AE＝EB＝EC，∴∠B＝∠EAB＝35°，∴∠C＝90°﹣∠B＝55°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣55°＝35°．故答案為：35°15．（3分）如圖，某港口C在南北方向的海岸線上，快、慢兩艘船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢兩船每小時分別航行12海里和5海里，2小時后兩船分別位于點A，B處，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿南偏西40°方向航行．【分析】根據(jù)三角形的三邊長，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，從而得出答案．【解答】解：由題意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里，∵AC2+BC2＝400，AB2＝400，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵甲船沿北偏西50°方向航行，∴乙船以南偏東40°方向航行．故答案為：南偏西40°．16．（3分）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C的坐標(biāo)為（3，0），點D，E分別是線段BO，BC上的動點，且BD＝CE，則BC的長為5；當(dāng)AD+AE的值取最小值時，點D的坐標(biāo)為（0，）．【分析】依據(jù)題意，由一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，從而令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣3，故可得A（﹣3，0），B（0，4），又C為（3，0），從而可得BC＝＝5；又作CF⊥x軸于C，使得CF＝AB，連接EF，先證明△ABD≌△FCE，進而可得AD＝FE，故AD+AE＝AE+EF≥AF，則當(dāng)E在AF上時，AD+AE最小，然后先求出直線AF為y＝x+，再求出BC，進而可得E的坐標(biāo)，最后求出CE＝BD，結(jié)合D在y軸上可得坐標(biāo)．【解答】解：由題意，∵一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，∴令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣3．∴A（﹣3，0），B（0，4）．又C為（3，0），∴OB＝4，OC＝3．∴BC＝＝5．如圖，作CF⊥x軸于C，使得CF＝AB，連接EF，∴BO∥FC．∴∠FCE＝∠CBD．∵A（﹣3，0），C（3，0），∴OA＝OC．又OB⊥AC，∴AB＝BC＝CF＝5，∠ABD＝∠CBD＝∠FCE．在△ABD和△FCE中，，∴△ABD≌△FCE（SAS）．∴AD＝FE．∴AD+AE＝AE+EF≥AF．∴當(dāng)E在AF上時，AD+AE最?。逨（3，5），A（﹣3，0），∴直線AF為y＝x+．又∵直線BC為y＝﹣x+4，∴聯(lián)列方程組．∴E（，）．∴CE＝BD＝．∴D的縱坐標(biāo)為：4﹣＝．∴D（0，）．故答案為：5；（0，）．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程17．（4分）計算：．【分析】根據(jù)乘法的分配律以及合并同類二次根式進行計算即可．【解答】解：原式＝2+3﹣3＝3﹣．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于點D，求BD的長．【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的長，再由題意可得到AD＝AC，根據(jù)BD＝AB﹣AD即可算出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．19．（6分）如圖，E、F為?ABCD的對角線AC上的兩點，請你添加一個條件，使得BE＝DF．（1）你添加的條件是AE＝CF（答案不唯一）．（2）根據(jù)你添加的條件和題目的已知條件，求證：BE＝DF．【分析】（1）由題意添加條件即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，則∠BAE＝∠DCF，再證明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：添加條件：AE＝CF，故答案為：AE＝CF（答案不唯一）；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．20．（6分）小明打算利用暑假閱讀名著《儒林外史》，該書有472頁，他計劃每天看15頁，設(shè)小明看書時間為x天，還剩下y頁書沒看．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系．（2）當(dāng)小明閱讀20天后，還剩下多少頁書沒看．【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式；（2）代入數(shù)據(jù)求值．【解答】解：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣15x+472；（2）x＝20時，y＝﹣15×20+472＝172（頁），∴當(dāng)小明閱讀20天后，還剩下172頁書沒看．21．（8分）2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發(fā)射取得成功，將我國航天事業(yè)推向了新的高峰．南沙區(qū)某中學(xué)為了豐富學(xué)生們航天知識，組織全校學(xué)生進行航天知識競賽，并隨機抽取50名學(xué)生的成績，整理成如統(tǒng)計表：分數(shù)60708090100頻數(shù)23151614（1）該50名同學(xué)這次競賽成績的中位數(shù)是90．（2）求該50名同學(xué)這次競賽成績的平均數(shù)．（3）若競賽成績90分以上（含90分）為優(yōu)秀，該校有1500名學(xué)生，請估計競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)定義解答即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的意義解答即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘樣本中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)所占比例即可．【解答】解：（1）把50名學(xué)生的成績從小到大排列，排在中間的數(shù)分別是90，90，故中位數(shù)90；故答案為：90；（2）該50名同學(xué)這次競賽成績的平均數(shù)為（2×60+3×70+15×80+16×90+14×100）÷50＝87.4；（3）1500×＝900（名），答：估計競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為900名．22．（10分）已知一次函數(shù)y＝（3﹣m）x+4的圖象不經(jīng)過第四象限．（1）求m的取值范圍．（2）當(dāng)m＝1時，在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的情況下，當(dāng)﹣3＜x≤1時，根據(jù)圖象求出y的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系得到3﹣m＞0，即可得出答案；（2）根據(jù)兩點確定一條直線可以畫出該函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝（3﹣m）x+4的圖象不經(jīng)過第四象限，∴3﹣m＞0，解得m＜3；（2）當(dāng)m＝1時，∴y＝（3﹣1）x+4＝2x+4，當(dāng)x＝0時，y＝4，當(dāng)y＝0時，x＝﹣2，該一次函數(shù)的圖象如圖所示：（3）由圖象可得，當(dāng)﹣3＜x≤1時，y的取值范圍是﹣2＜x≤6．23．（10分）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡，，，這種化簡的方法叫做分母有理化，請利用分母有理化解答下列問題：（1）化簡；＝．＝3﹣3．（2）矩形的面積為，一邊長為，求這個矩形的周長．（3）當(dāng)a＞b＞0時，化簡：．【分析】（1）分別分子、分母同乘和﹣即可；（2）首先求另一邊長為6﹣2，再按矩形的周長公式計算即可；（3）把各加數(shù)分母有理化，再加減即可．【解答】解：（1）＝＝，＝＝3﹣3；故答案為：，3﹣3；（2）另一邊長為：＝＝6﹣2，所以2（+2+6﹣2）＝16﹣2，答：這個矩形的周長為16﹣2；（3）當(dāng)a＞b＞0時，＝﹣＝＝．24．（12分）如圖1，矩形ABCD的一邊AD在x軸上，點C的坐標(biāo)為（﹣2，4），點A的坐標(biāo)為（4，0）．（1）求證：四邊形OABE為正方形；（2）如圖2，若點F為AB中點，連接OC，OF，直線AC交OF于點G，交y軸于點H．①求△OCG的面積．②點M在x軸的正半軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點A，HM，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由A（4，0）得OA＝4，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（﹣2，4），可得OA＝OE＝4，∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，故四邊形OABE為正方形；（2）①求出F（4，2），直線OF解析式為y＝x，直線AC解析式為y＝﹣x+，聯(lián)立，可得G（，），再求出H（0，），OH＝，故S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，從而S△OCG＝+＝；②設(shè)M（t，0），N（m，n），當(dāng)AH，MN為對角線時，AH，MN的中點重合，且AM＝HM，有，可解得N（，）；當(dāng)AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，同理得N（8，﹣）；當(dāng)AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，可得N（4，）．【解答】（1）證明：∵A（4，0），∴OA＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDA＝∠DAB＝∠B＝90°，∵∠DOE＝90°，∴四邊形CDOE是矩形，∵C（﹣2，4），∴CD＝OE＝4，∴OA＝OE＝4，∵∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，∴四邊形OABE為正方形；（2）解：①由（1）知，OA＝4，四邊形OABE為正方形，∴B（4，4），∵點F為AB中點，∴F（4，2），由O（0，0），F(xiàn)（4，2）的直線OF解析式為y＝x，由A（4，0），C（﹣2，4）得直線AC解析式為y＝﹣x+，聯(lián)立，解得，∴G（，），在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，∴H（0，），∴OH＝，∴S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，∴S△OCG＝+＝，∴△OCG的面積為；②平面內(nèi)存在點N，使以點A，HM，N為頂點的四邊形是菱形，理由如下：設(shè)M（t，0），N（m，n），而A（4，0），H（0，），當(dāng)AH，MN為對角線時，AH，MN的中點重合，且AM＝HM，∴，解得，∴N（，）；當(dāng)AM，HN為對角線時，AM，HN的中點重合，且AH＝HM，∴，解得或（此時M不在x軸正半軸，舍去），∴N（8，﹣）；當(dāng)AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，∴，解得或（舍去），∴N（4，）；綜上所述，N的坐標(biāo)為（，）或（8，﹣）或（4，）．25．（12分）四邊形ABCD是正方形，點E是射線CB上一動點，過點A作AE⊥AF交直線CD