2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-數(shù)列極限與極限運(yùn)算應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.當(dāng)我們談?wù)摂?shù)列的極限時(shí)，就像是在追尋一條無(wú)限延伸的道路，直到它最終穩(wěn)定在一個(gè)點(diǎn)上，對(duì)吧？比如數(shù)列{a_n}，如果隨著n無(wú)限增大，a_n無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，我們就說(shuō)數(shù)列{a_n}以A為極限，記作lim_{n→∞}a_n=A。那么，對(duì)于數(shù)列{a_n}={(-1)^n*(1/n)}，它的極限是多少呢？A.1B.-1C.0D.不存在2.極限的運(yùn)算可是有章可循的，就像做菜有食譜一樣。比如，如果lim_{x→2}(f(x)+g(x))=5，并且lim_{x→2}f(x)=3，你能猜到lim_{x→2}g(x)是多少嗎？A.2B.3C.5D.83.說(shuō)到極限的保號(hào)性，我就想起有一次我教學(xué)生的時(shí)候，舉了個(gè)例子：如果lim_{x→a}f(x)=L，并且L>0，那么在a附近的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，f(x)的值會(huì)是正的還是負(fù)的？大多數(shù)同學(xué)會(huì)說(shuō)是正的，對(duì)吧？但要注意，這只是“大多數(shù)”情況，有沒(méi)有例外呢？A.絕對(duì)沒(méi)有，f(x)一定大于0B.可能大于0，也可能小于0，視具體情況而定C.絕對(duì)沒(méi)有，f(x)一定小于0D.只在a點(diǎn)處f(x)等于04.極限的運(yùn)算法則是解決復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵，就像拼圖一樣，要把零散的碎片拼湊成一個(gè)完整的畫(huà)面。比如，lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)，這個(gè)極限存在嗎？如果存在，是多少呢？我讓學(xué)生們分組討論，有的組說(shuō)分子分母都趨近于0，可以用洛必達(dá)法則；有的組說(shuō)可以直接約分。最后我發(fā)現(xiàn)，他們的方法都很有道理，但前提是分母不能為0，對(duì)吧？A.存在，且極限為3B.存在，且極限為-1C.不存在，因?yàn)榉帜笧?D.存在，但極限為無(wú)窮大5.極限的ε-δ語(yǔ)言定義，聽(tīng)起來(lái)是不是有點(diǎn)像數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”？其實(shí)，它就像是我們給極限找一個(gè)“精確的靶心”，要證明lim_{x→a}f(x)=L，就得對(duì)任意的ε>0，找到一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。這個(gè)定義是不是很?chē)?yán)謹(jǐn)？就像我們要求學(xué)生做實(shí)驗(yàn)時(shí)，要嚴(yán)格控制變量一樣。A.是的，ε-δ語(yǔ)言定義非常嚴(yán)謹(jǐn)B.不是的，ε-δ語(yǔ)言定義很模糊C.ε-δ語(yǔ)言定義只適用于簡(jiǎn)單的極限D(zhuǎn).ε-δ語(yǔ)言定義是數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”，沒(méi)什么實(shí)際意義6.極限的保號(hào)性，就像是我們買(mǎi)東西，商家不會(huì)給你送免費(fèi)的“負(fù)數(shù)”商品，對(duì)吧？如果lim_{x→a}f(x)=L，并且L>0，那么在a附近的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，f(x)的值會(huì)是正的，這是不是很直觀？就像我們平時(shí)買(mǎi)東西，價(jià)格不會(huì)突然變成負(fù)數(shù)一樣。A.是的，極限的保號(hào)性很直觀B.不是的，極限的保號(hào)性很抽象C.極限的保號(hào)性只適用于有理數(shù)D.極限的保號(hào)性是數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”，沒(méi)什么實(shí)際意義7.極限的運(yùn)算法則，就像是我們做數(shù)學(xué)題的“萬(wàn)能鑰匙”，可以打開(kāi)各種難題的大門(mén)。比如，lim_{x→0}(sinx/x)，這個(gè)極限是多少呢？我讓學(xué)生們回憶三角函數(shù)的性質(zhì)，有的組說(shuō)可以用泰勒展開(kāi)式，有的組說(shuō)可以用夾逼定理。最后我發(fā)現(xiàn)，他們的方法都很有道理，但前提是x要趨近于0，對(duì)吧？A.極限為1B.極限為0C.極限為無(wú)窮大D.極限不存在8.極限的ε-δ語(yǔ)言定義，雖然聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)像數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”，但它其實(shí)是我們證明極限的“利器”。就像我們要求學(xué)生做實(shí)驗(yàn)時(shí)，要嚴(yán)格控制變量一樣，ε-δ語(yǔ)言定義要求我們對(duì)任意的ε>0，都能找到一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。這個(gè)定義是不是很?chē)?yán)謹(jǐn)？就像我們要求學(xué)生做實(shí)驗(yàn)時(shí)，要嚴(yán)格控制變量一樣。A.是的，ε-δ語(yǔ)言定義非常嚴(yán)謹(jǐn)B.不是的，ε-δ語(yǔ)言定義很模糊C.ε-δ語(yǔ)言定義只適用于簡(jiǎn)單的極限D(zhuǎn).ε-δ語(yǔ)言定義是數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”，沒(méi)什么實(shí)際意義9.極限的保號(hào)性，就像是我們買(mǎi)東西，商家不會(huì)給你送免費(fèi)的“負(fù)數(shù)”商品，對(duì)吧？如果lim_{x→a}f(x)=L，并且L>0，那么在a附近的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，f(x)的值會(huì)是正的，這是不是很直觀？就像我們平時(shí)買(mǎi)東西，價(jià)格不會(huì)突然變成負(fù)數(shù)一樣。A.是的，極限的保號(hào)性很直觀B.不是的，極限的保號(hào)性很抽象C.極限的保號(hào)性只適用于有理數(shù)D.極限的保號(hào)性是數(shù)學(xué)家的“黑話(huà)”，沒(méi)什么實(shí)際意義10.極限的運(yùn)算法則，就像是我們做數(shù)學(xué)題的“萬(wàn)能鑰匙”，可以打開(kāi)各種難題的大門(mén)。比如，lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)，這個(gè)極限存在嗎？如果存在，是多少呢？我讓學(xué)生們分組討論，有的組說(shuō)分子分母都趨近于0，可以用洛必達(dá)法則；有的組說(shuō)可以直接約分。最后我發(fā)現(xiàn)，他們的方法都很有道理，但前提是分母不能為0，對(duì)吧？A.存在，且極限為3B.存在，且極限為-1C.不存在，因?yàn)榉帜笧?D.存在，但極限為無(wú)窮大二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.我曾經(jīng)問(wèn)過(guò)我的學(xué)生，如果lim_{x→2}f(x)=5，并且lim_{x→2}g(x)=3，那么lim_{x→2}(f(x)-g(x))是多少呢？我期待他們能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則，輕松地得出答案是2，就像做減法一樣簡(jiǎn)單。2.在一次課堂上，我舉了個(gè)例子：如果lim_{x→a}f(x)=∞，那么f(x)會(huì)無(wú)限接近于哪個(gè)常數(shù)呢？我期待他們能運(yùn)用極限的定義，得出答案是f(x)會(huì)無(wú)限接近于無(wú)窮大，就像我們平時(shí)說(shuō)一個(gè)人越來(lái)越高一樣。3.我曾經(jīng)問(wèn)過(guò)我的學(xué)生，如果lim_{x→0}(sinx/x)=1，那么這個(gè)極限可以用什么定理來(lái)證明呢？我期待他們能運(yùn)用夾逼定理，就像用一把鉗子夾住一個(gè)物體一樣，精確地證明這個(gè)極限。4.在一次課堂上，我舉了個(gè)例子：如果lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)=4，那么這個(gè)極限是如何得出來(lái)的呢？我期待他們能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則，將分子分母進(jìn)行因式分解，然后約分，最后得出答案是4，就像解方程一樣簡(jiǎn)單。5.我曾經(jīng)問(wèn)過(guò)我的學(xué)生，如果lim_{x→2}(f(x)+g(x))=8，并且lim_{x→2}f(x)=3，那么lim_{x→2}g(x)是多少呢？我期待他們能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則，輕松地得出答案是5，就像做加法一樣簡(jiǎn)單。三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.我記得有一次上課，咱們一起探討過(guò)這樣一個(gè)數(shù)列：{a_n}={n/(n+1)}。這可是一個(gè)典型的無(wú)窮遞減等比數(shù)列，對(duì)吧？我讓同學(xué)們思考一下，當(dāng)n變得越來(lái)越大的大時(shí)候，這個(gè)數(shù)列{a_n}會(huì)怎么樣呢？有的同學(xué)說(shuō)，它會(huì)越來(lái)越接近于1，但永遠(yuǎn)也達(dá)不到1；有的同學(xué)說(shuō)，它會(huì)“無(wú)限地逼近”1，就像我們跑馬拉松，不斷向終點(diǎn)沖刺一樣。我肯定了他們的想法，并引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)現(xiàn)象，也就是寫(xiě)出lim_{n→∞}a_n=1。這個(gè)極限的計(jì)算過(guò)程其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是用分子分母同時(shí)除以n，然后利用極限的運(yùn)算法則，得出答案。但關(guān)鍵在于理解“無(wú)限地逼近”的含義，就像我們平時(shí)說(shuō)一個(gè)人越來(lái)越像另一個(gè)人一樣，但永遠(yuǎn)也完全變成另一個(gè)人。2.在一次習(xí)題課上，我給出了這樣一個(gè)極限問(wèn)題：lim_{x→∞}(3x^2-5x+2)/(x^2+4x-1)。這個(gè)極限看起來(lái)有點(diǎn)復(fù)雜，但只要我們掌握了“抓大放小”的原則，就能輕松解決。我引導(dǎo)同學(xué)們觀察分子和分母的最高次項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)都是x^2，于是我們可以將分子分母同時(shí)除以x^2，然后利用極限的運(yùn)算法則，得出答案是3。這個(gè)過(guò)程中，一些低次項(xiàng)的極限為0，就像我們平時(shí)說(shuō)一個(gè)人越來(lái)越老，他的童年記憶就會(huì)越來(lái)越模糊一樣，最終只留下最深刻的印象。這個(gè)例子也說(shuō)明了，在研究無(wú)窮大時(shí)的極限問(wèn)題時(shí)，我們要關(guān)注主要矛盾，也就是最高次項(xiàng)，這樣才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)。3.我曾經(jīng)給同學(xué)們講過(guò)這樣一個(gè)極限：lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2。這個(gè)極限看起來(lái)有點(diǎn)棘手，因?yàn)橹苯哟離=0會(huì)出現(xiàn)0/0的形式。這時(shí)候，有的同學(xué)會(huì)想到用洛必達(dá)法則，這是很正確的思路。我們可以對(duì)分子和分母同時(shí)求導(dǎo)，然后再次求導(dǎo)，最終得出答案是1/2。這個(gè)過(guò)程中，我們需要運(yùn)用到指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及洛必達(dá)法則的應(yīng)用條件。這個(gè)例子也說(shuō)明了，在遇到不定式極限時(shí)，洛必達(dá)法則是一個(gè)非常有用的工具，就像我們平時(shí)遇到難題時(shí)，會(huì)尋求幫助一樣。但需要注意的是，洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的，我們要根據(jù)具體情況選擇合適的方法。4.在一次課堂上，我提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：lim_{x→1}(x^3-1)/(x-1)。這個(gè)極限看起來(lái)也很簡(jiǎn)單，因?yàn)橹苯哟離=1會(huì)出現(xiàn)0/0的形式。這時(shí)候，有的同學(xué)會(huì)想到用因式分解的方法，將分子進(jìn)行因式分解，然后約分，最終得出答案是3。這個(gè)過(guò)程中，我們需要運(yùn)用到多項(xiàng)式的因式分解公式，以及極限的運(yùn)算法則。這個(gè)例子也說(shuō)明了，在遇到不定式極限時(shí)，因式分解是一個(gè)簡(jiǎn)單有效的方法，就像我們平時(shí)解方程時(shí)，會(huì)嘗試將方程進(jìn)行因式分解一樣。但需要注意的是，因式分解并不是萬(wàn)能的，我們要根據(jù)具體情況選擇合適的方法。四、證明題（本大題共1小題，共10分。證明過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.我記得在講極限的ε-δ語(yǔ)言定義時(shí)，我曾給同學(xué)們布置了一個(gè)證明題：證明lim_{x→2}(3x-4)=2。這個(gè)證明過(guò)程其實(shí)很簡(jiǎn)單，但需要同學(xué)們嚴(yán)格按照ε-δ語(yǔ)言定義的步驟進(jìn)行證明。首先，我們需要根據(jù)定義，對(duì)任意的ε>0，找到一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí)，|3x-4-2|<ε。然后，我們可以將|3x-4-2|進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到|3x-6|=3|x-2|。接下來(lái)，我們需要找到一個(gè)δ，使得當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí)，3|x-2|<ε。這個(gè)δ很容易找到，就是δ=ε/3。最后，我們可以得出結(jié)論：對(duì)任意的ε>0，存在δ=ε/3>0，使得當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí)，|3x-4-2|<ε，因此lim_{x→2}(3x-4)=2。這個(gè)證明過(guò)程雖然簡(jiǎn)單，但需要同學(xué)們仔細(xì)理解ε-δ語(yǔ)言定義的內(nèi)涵，并能夠靈活運(yùn)用到具體的證明中，就像我們平時(shí)做實(shí)驗(yàn)時(shí)，需要嚴(yán)格按照實(shí)驗(yàn)步驟進(jìn)行操作一樣。五、綜合應(yīng)用題（本大題共1小題，共15分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.在一次模擬考試中，我出了這樣一道綜合應(yīng)用題：已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2a_{n+2}（n∈N*），且數(shù)列{a_n}的極限存在，求lim_{n→∞}a_n。這個(gè)題目看起來(lái)有點(diǎn)復(fù)雜，但只要我們掌握了數(shù)列極限的性質(zhì)，就能輕松解決。首先，我們可以根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式，推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，因?yàn)閍_n+a_{n+1}=2a_{n+2}可以變形為a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n。然后，我們可以利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a_n的表達(dá)式。最后，我們可以利用數(shù)列極限的性質(zhì)，得出lim_{n→∞}a_n=a_1=1。這個(gè)過(guò)程中，我們需要運(yùn)用到數(shù)列遞推關(guān)系式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列極限的性質(zhì)。這個(gè)例子也說(shuō)明了，在解決數(shù)列極限問(wèn)題時(shí)，我們需要綜合運(yùn)用多種知識(shí)和方法，才能最終得出答案，就像我們平時(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題一樣，需要多管齊下，才能取得成功。本次試卷答案如下一、選擇題1.C.0解析：考慮數(shù)列{a_n}={(-1)^n*(1/n)}，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=1/n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=-1/n。隨著n無(wú)限增大，1/n無(wú)限接近于0，而-1/n也無(wú)限接近于0。因此，數(shù)列{a_n}的極限是0。2.A.2解析：根據(jù)極限的運(yùn)算法則，lim_{x→2}(f(x)+g(x))=lim_{x→2}f(x)+lim_{x→2}g(x)。已知lim_{x→2}(f(x)+g(x))=5，且lim_{x→2}f(x)=3，所以lim_{x→2}g(x)=5-3=2。3.B.可能大于0，也可能小于0，視具體情況而定解析：極限的保號(hào)性指的是，如果lim_{x→a}f(x)=L且L>0，那么存在一個(gè)鄰域，使得在這個(gè)鄰域內(nèi)（除了a點(diǎn)本身），f(x)>0。但是，如果L=0，那么f(x)在a點(diǎn)附近的值可以是正的，也可以是負(fù)的，只要它們無(wú)限接近于0即可。因此，保號(hào)性并不保證f(x)一定大于0。4.A.存在，且極限為3解析：首先，我們注意到當(dāng)x→3時(shí)，分子x^2-5x+6=(x-3)(x-2)也趨近于0，分母x-3也趨近于0。這是一個(gè)0/0的不定式，我們可以使用洛必達(dá)法則，即求導(dǎo)數(shù)后再求極限。對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，得到2x-5和1。因此，lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)=lim_{x→3}(2x-5)=2*3-5=1。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有正確應(yīng)用洛必達(dá)法則。正確的做法是，我們可以直接約分，因?yàn)榉肿雍头帜付加幸蜃?x-3)。約分后，我們得到lim_{x→3}(x-2)=3-2=1。所以，這個(gè)極限存在，且極限為1。5.A.是的，ε-δ語(yǔ)言定義非常嚴(yán)謹(jǐn)解析：ε-δ語(yǔ)言定義是極限的精確數(shù)學(xué)定義，它用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述了函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)的概念。根據(jù)這個(gè)定義，對(duì)于任意的ε>0，我們都能找到一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。這個(gè)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性在于它提供了判斷極限存在的充分必要條件，并且可以用于證明極限的性質(zhì)。6.A.是的，極限的保號(hào)性很直觀解析：極限的保號(hào)性是直觀的，因?yàn)槿绻瘮?shù)值在x趨近于a時(shí)無(wú)限接近于一個(gè)正數(shù)，那么在a點(diǎn)附近的一個(gè)小鄰域內(nèi)，函數(shù)值也應(yīng)該為正。這是因?yàn)楹瘮?shù)值在趨近過(guò)程中不會(huì)突然跳變符號(hào)。例如，如果lim_{x→a}f(x)=L且L>0，那么對(duì)于任意小的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，L-ε<f(x)<L+ε。由于L>0，我們可以選擇ε使得L-ε>0，因此在這個(gè)鄰域內(nèi)，f(x)>0。7.A.極限為1解析：考慮極限lim_{x→0}(sinx/x)。當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx和x都趨近于0，這是一個(gè)0/0的不定式。我們可以使用洛必達(dá)法則，即求導(dǎo)數(shù)后再求極限。對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，得到cosx和1。因此，lim_{x→0}(sinx/x)=lim_{x→0}(cosx)=cos0=1。這個(gè)極限也可以通過(guò)夾逼定理來(lái)證明，因?yàn)楫?dāng)x趨近于0時(shí)，-|x|≤sinx≤|x|，而-|x|/|x|≤sinx/x≤|x|/|x|，即-1≤sinx/x≤1。由于-1和1都趨近于0，根據(jù)夾逼定理，sinx/x也趨近于0。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有正確應(yīng)用夾逼定理。正確的做法是，我們可以使用泰勒展開(kāi)式，sinx≈x-x^3/6+o(x^3)，當(dāng)x趨近于0時(shí)，x^3/6和o(x^3)都趨近于0，因此sinx≈x，所以sinx/x≈x/x=1。所以，這個(gè)極限存在，且極限為1。8.A.是的，ε-δ語(yǔ)言定義非常嚴(yán)謹(jǐn)解析：ε-δ語(yǔ)言定義是極限的精確數(shù)學(xué)定義，它用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述了函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)的概念。根據(jù)這個(gè)定義，對(duì)于任意的ε>0，我們都能找到一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。這個(gè)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性在于它提供了判斷極限存在的充分必要條件，并且可以用于證明極限的性質(zhì)。9.A.是的，極限的保號(hào)性很直觀解析：極限的保號(hào)性是直觀的，因?yàn)槿绻瘮?shù)值在x趨近于a時(shí)無(wú)限接近于一個(gè)正數(shù)，那么在a點(diǎn)附近的一個(gè)小鄰域內(nèi)，函數(shù)值也應(yīng)該為正。這是因?yàn)楹瘮?shù)值在趨近過(guò)程中不會(huì)突然跳變符號(hào)。例如，如果lim_{x→a}f(x)=L且L>0，那么對(duì)于任意小的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，L-ε<f(x)<L+ε。由于L>0，我們可以選擇ε使得L-ε>0，因此在這個(gè)鄰域內(nèi)，f(x)>0。10.A.存在，且極限為3解析：首先，我們注意到當(dāng)x→3時(shí)，分子x^2-5x+6=(x-3)(x-2)也趨近于0，分母x-3也趨近于0。這是一個(gè)0/0的不定式，我們可以使用洛必達(dá)法則，即求導(dǎo)數(shù)后再求極限。對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，得到2x-5和1。因此，lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)=lim_{x→3}(2x-5)=2*3-5=1。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有正確應(yīng)用洛必達(dá)法則。正確的做法是，我們可以直接約分，因?yàn)榉肿雍头帜付加幸蜃?x-3)。約分后，我們得到lim_{x→3}(x-2)=3-2=1。所以，這個(gè)極限存在，且極限為1。二、填空題1.2解析：根據(jù)極限的運(yùn)算法則，lim_{x→2}(f(x)-g(x))=lim_{x→2}f(x)-lim_{x→2}g(x)。已知lim_{x→2}f(x)=5，且lim_{x→2}g(x)=3，所以lim_{x→2}(f(x)-g(x))=5-3=2。2.∞解析：如果lim_{x→a}f(x)=∞，那么意味著隨著x趨近于a，f(x)的值會(huì)無(wú)限增大。因此，f(x)會(huì)無(wú)限接近于無(wú)窮大，就像我們平時(shí)說(shuō)一個(gè)人越來(lái)越高一樣，但永遠(yuǎn)也達(dá)不到無(wú)窮高。3.夾逼定理解析：lim_{x→0}(sinx/x)=1這個(gè)極限可以使用夾逼定理來(lái)證明。因?yàn)楫?dāng)x趨近于0時(shí)，-|x|≤sinx≤|x|，而-|x|/|x|≤sinx/x≤|x|/|x|，即-1≤sinx/x≤1。由于-1和1都趨近于0，根據(jù)夾逼定理，sinx/x也趨近于0。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有正確應(yīng)用夾逼定理。正確的做法是，我們可以使用泰勒展開(kāi)式，sinx≈x-x^3/6+o(x^3)，當(dāng)x趨近于0時(shí)，x^3/6和o(x^3)都趨近于0，因此sinx≈x，所以sinx/x≈x/x=1。所以，這個(gè)極限存在，且極限為1。4.將分子分母進(jìn)行因式分解，然后約分，最后得出答案是4解析：首先，我們注意到當(dāng)x→3時(shí)，分子x^2-5x+6=(x-3)(x-2)也趨近于0，分母x-3也趨近于0。這是一個(gè)0/0的不定式，我們可以使用洛必達(dá)法則，即求導(dǎo)數(shù)后再求極限。對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，得到2x-5和1。因此，lim_{x→3}(x^2-5x+6)/(x-3)=lim_{x→3}(2x-5)=2*3-5=1。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有正確應(yīng)用洛必達(dá)法則。正確的做法是，我們可以直接約分，因?yàn)榉肿雍头帜付加幸蜃?x-3)。約分后，我們得到lim_{x→3}(x-2)=3-2=1。所以，這個(gè)極限存在，且極限為1。5.5解析：根據(jù)極限的運(yùn)算法則，lim_{x→2}(f(x)+g(x))=lim_{x→2}f(x)+lim_{x→2}g(x)。已知lim_{x→2}(f(x)+g(x))=8，且lim_{x→2}f(x)=3，所以lim_{x→2}g(x)=8-3=5。三、解答題1.1解析：考慮數(shù)列{a_n}={n/(n+1)}，當(dāng)n變得越來(lái)越大的大時(shí)候，分子