一般剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)剛體上有兩個(gè)固定點(diǎn)O和O1。剛體所受主動(dòng)力主向量為R，對(duì)O點(diǎn)主矩為Mo，F(xiàn)

和F1為約束反力。反問題：已知求動(dòng)力學(xué)正問題：已知求對(duì)O的動(dòng)量矩定理：由動(dòng)量定理：設(shè)為轉(zhuǎn)角。取慣性系OXYZ和固聯(lián)系Oxyz。其中在求解具體問題時(shí)，需要將這兩個(gè)向量方程寫成在OXYZ中或Oxyz中的分量形式。設(shè)OXYZ和Oxyz中的單位向量為：其中：為常數(shù)(已知)

為時(shí)間的函數(shù)(未知)顯然，在Oxyz中寫方程更方便。利用，即可得方程在Oxyz

中的分量形式。另外方法：利用絕對(duì)導(dǎo)數(shù)和相對(duì)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系方程變?yōu)椋河汷xyz中最后得到運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為：可以看出：1.求解正問題只需要最后一個(gè)方程；2.求反力時(shí)(6個(gè)未知數(shù))，需要其它5個(gè)方程，但是不能完全確定兩個(gè)反力z方向的分量，只能確定它們之和。3.對(duì)靜定問題，一個(gè)鉸鏈為滑動(dòng)，因此可以認(rèn)為F1z=0。等腰直角三角板繞一個(gè)直角邊轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)求使板對(duì)O點(diǎn)的側(cè)壓力為零的。例1

已知可解出，側(cè)壓力解靜反力：當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)的約束反力。動(dòng)反力：維持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需約束反力，當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)該力消失。當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到轉(zhuǎn)軸動(dòng)反力，轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)軸的反作用力中包括動(dòng)反力和靜反力。動(dòng)反力可否為零？條件是什么？方程(1)和(2)可看做是關(guān)于和的齊次線性方程組，它們的系數(shù)行列式都是：(當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí))結(jié)論：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)反力為零的充分必要條件是：

轉(zhuǎn)動(dòng)軸是中心慣性主軸。動(dòng)反力為零的條件作業(yè)第五章：5、6、8剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程方程組封閉，可求解動(dòng)力學(xué)問題。歐拉動(dòng)力學(xué)方程然而，這是關(guān)于歐拉角的非線性耦合方程，解析求解非常困難，一般情況下不存在解析解。因此剛體動(dòng)力學(xué)古典研究主要集中于重剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。這時(shí)有：OGa例1半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)車輪沿圓弧作純滾動(dòng)，如圖所示，已知輪心E的速度u為常數(shù)，輪心到O點(diǎn)距離為R。求車輪對(duì)地面的壓力。解根據(jù)輪心速度u，得OE軸繞OD軸的角速為D根據(jù)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系得輪子絕對(duì)角速度和相對(duì)OE軸的角速度分別為：什么情況下對(duì)地面的壓力恰好為0？陀螺近似理論陀螺基本公式陀螺：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軸對(duì)稱剛體（A=B）我們知道，若：反之，若剛體規(guī)則進(jìn)動(dòng)且A=B，那么則剛體作規(guī)則進(jìn)動(dòng)；D基本公式推導(dǎo)規(guī)則進(jìn)動(dòng)章動(dòng)角常數(shù)。陀螺基本公式此式稱為陀螺基本公式。當(dāng)或時(shí)

當(dāng)時(shí)特殊情況：陀螺近似理論現(xiàn)代科技中采用的陀螺儀，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度極高：于是有陀螺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(3)當(dāng)某一力F作用在陀螺對(duì)稱軸上時(shí)，對(duì)稱軸將向的方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)該力停止作用時(shí)，對(duì)稱軸將停止運(yùn)動(dòng)。

(1)當(dāng)時(shí)，沿著對(duì)稱軸方向，并且在慣性空間中保持不變。近似的永久轉(zhuǎn)動(dòng)。(2)當(dāng)時(shí)，向量的端點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng)的速度等于。陀螺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(4)設(shè)短時(shí)間內(nèi)作用在陀螺上的力F將使對(duì)稱軸偏離原方向角。若沖量為有限量，則由，可知

，在實(shí)際中很小。陀螺具有短時(shí)間的方向保持能力（抗干擾能力）陀螺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)例如自旋衛(wèi)星受干擾力矩作用，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后，自旋軸的方向?qū)⒂休^大的變化，必須實(shí)施控制。陀螺儀表會(huì)“漂移”，使用過程中必須定期校準(zhǔn)。陀螺的方向保持能力，在工程中有很多應(yīng)用。如自旋衛(wèi)星、導(dǎo)彈、魚雷、輪船的定向定位等。(5)當(dāng)高速旋轉(zhuǎn)陀螺的動(dòng)量矩方向改變時(shí)，反過來會(huì)對(duì)其載體產(chǎn)生陀螺力矩，記為，則有陀螺力矩示例例3飛機(jī)以速度v水平盤旋，半徑(轉(zhuǎn)彎)為ρ，螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為C，轉(zhuǎn)速為，求螺旋槳對(duì)飛機(jī)的陀螺力矩。飛機(jī)向左轉(zhuǎn)彎時(shí)，形成的陀螺力矩使飛機(jī)頭部抬起；飛機(jī)向右轉(zhuǎn)彎時(shí)，陀螺力矩使飛機(jī)頭部底下。重剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的積分問題歐拉情況：歐拉情況下剛體運(yùn)動(dòng)方程存在兩個(gè)首次積分動(dòng)量矩守恒：能量守恒：代入歐拉方程得（不妨設(shè)A>B>C）：將當(dāng)作參數(shù)，可以從這兩個(gè)表達(dá)式解出最后可用橢圓積分形式寫出角速度分量的表達(dá)式。重剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：OGrOxyz為固連系，慣性主軸。重心在其中坐標(biāo)為(a,b,c)。3-1-3歐拉角為固定慣性系OXYZ系OZ軸單位矢量(n)在固連系中坐標(biāo)為

。運(yùn)動(dòng)微分方程的首次積分：柯娃列夫斯卡亞情況：方便起見可?。篵=0拉格朗日情況：剛體對(duì)稱A=B;重心位于對(duì)稱軸上，即a=b=0；則有：重剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的積分問題3)科娃列夫斯卡婭情況(1888年)：重心在赤道面上，解可以用超橢圓函數(shù)表示。1)歐拉情況(1758年)：，即重心與固定點(diǎn)重合，解可以用橢圓函數(shù)表示。2)拉格朗日情況(1788年)：A=B，重心在對(duì)稱軸上，解可以用橢圓函數(shù)表示。4)Husson(1905年)、Burgatti(1910年)證明：除上述三種情況外，不存在其它可積情況。在一些情況下可求出適用任何初值的解析解。例4：AOmiriedi設(shè)單位向量的列陣為求：對(duì)過O點(diǎn)任意軸e的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：在若干平行軸中，剛體對(duì)通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的移軸公式)XYZxyzOC移心：求對(duì)兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系。思考題對(duì)稱剛體自由定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)章動(dòng)角能否為9