第2課時對數(shù)的運算1.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)積的對數(shù):loga(M·N)=___________.(2)商的對數(shù):loga=___________.(3)冪的對數(shù):logaMn=____________.必備知識·自主學(xué)習(xí)logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM(n∈R)【思考】在積的對數(shù)運算性質(zhì)中,三項的乘積式loga(MNQ)是否適用?你可以得到一個什么樣的結(jié)論?提示:適用,loga(MNQ)=logaM+logaN+logaQ,積的對數(shù)運算性質(zhì)可以推廣到真數(shù)是n個正數(shù)的乘積.2.換底公式若a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,則有l(wèi)ogab=________【思考】(1)對數(shù)的換底公式用常用對數(shù)、自然對數(shù)表示是什么形式?提示:

(2)你能用換底公式推導(dǎo)出結(jié)論嗎?提示:

【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)lg(x+y)=lgx+lgy. (

)(2)log2(16-8)=log216-log28. (

)(3)=1. (

)提示:(1)×.令x=y=1,則lg(x+y)=lg2>lg1=0,而lgx+lgy=0,不成立.(2)×.等式的左邊=log2(16-8)=log28=3,右邊=log216-log28=4-3=1.(3)×.等式的左邊=2.計算log69+log64= (

)A.log62 B.2C.log63 D.3【解析】選B.log69+log64=log636=2.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)若log34×log48×log8m=log416,則m=________.

【解析】原方程可化為

即lgm=2lg3=lg9,所以m=9.答案:9關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】1.計算lg2+lg5+2log510-log520的值為(

)A.21 B.20C.2 D.12.已知a=log32,用a來表示log38-2log36為 (

)A.a-2 B.5a-2C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-13.計算:lg5(lg8+lg1000)+()2+lg+lg0.06.【思路導(dǎo)引】1.逆用對數(shù)的運算性質(zhì)合并求值.2.變形8=23,6=2×3,利用對數(shù)運算性質(zhì)展開后代入a.3.綜合利用對數(shù)的運算性質(zhì)求值.【解析】1.選C.lg2+lg5+2log510-log520=1+log5=1+1=2.2.選A.log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.3.原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.【解題策略】利用對數(shù)運算求值的方法(1)“收”,將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù).(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差).【跟蹤訓(xùn)練】計算:+lg4+lg25.【解析】原式=

+2lg2+2lg5=6+2(lg2+lg5)=8.

【補償訓(xùn)練】求下列各式的值:(1)+2lg2+lg25.(2)(3)【解析】(1)原式=

+lg4+lg25=+lg100=+2=(2)原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log22+log23+log27)=log27-log23-log216+log23+2-log27-=-.(3)原式==2.類型二換底公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】1.(log43+log83)(log32+log92)=________.

2.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.【思路導(dǎo)引】利用換底公式求值或變形.【解析】1.原式=答案:

2.方法一:因為18b=5,所以log185=b.所以log3645=方法二:因為18b=5,所以log185=b.所以log3645=

方法三:因為log189=a,18b=5,所以lg9=alg18,lg5=blg18.所以log3645=【解題策略】利用換底公式進(jìn)行化簡和求值(1)一般先換底為常用對數(shù)或自然對數(shù)再進(jìn)行化簡求值.(2)注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化在求值中的應(yīng)用.(3)注意常見結(jié)論的應(yīng)用,如對數(shù)的倒數(shù)公式=logba.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知log1227=a,求log616的值.2.計算(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258)的值.【解析】1.由log1227=a,得所以lg2=所以log616=2.方法一:原式=

方法二:原式=

方法三:原式=類型三對數(shù)運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)角度1與方程有關(guān)的對數(shù)問題

【典例】若2lg(x-2y)=lgx+lgy,則的值為 (

)A.4 B.1或C.1或4 D.【思路導(dǎo)引】將原式去掉對數(shù)轉(zhuǎn)化為含x,y的方程.【解析】選D.因為2lg(x-2y)=lgx+lgy,所以lg(x-2y)2=lg(xy),(x-2y)2=xy,所以x2+4y2-5xy=0,所以解得或=1(舍),所以的值為.【變式探究】本例中的方程改為lgx+lgy=2lg(2x-3y),試求的值.【解析】因為lgx+lgy=2lg(2x-3y),所以解得(舍去).所以角度2實際應(yīng)用問題

【典例】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震級,其計算公式是M=lgA-lgA0,其中,A是被測地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅,M為震級.則8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的____倍.

【思路導(dǎo)引】利用公式表示出8級、5級時的最大振幅求比值.【解析】由M=lgA-lgA0可得,M=即=10M,A=A0·10M,當(dāng)M=8時,地震的最大振幅為A8=A0·108;當(dāng)M=5時,地震的最大振幅為A5=A0·105;所以兩次地震的最大振幅之比是:=108-5=1000.所以8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.答案:1000【解題策略】1.與對數(shù)方程有關(guān)的問題利用對數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為普通方程,通過變形求解,得出結(jié)論后要驗證方程中的對數(shù)式是否有意義.2.與對數(shù)相關(guān)的實際問題對數(shù)可以解決一些比較龐大的數(shù)據(jù)運算,因此在天文、物理、考古等問題中有廣泛的應(yīng)用,首先將實際問題利用對數(shù)表示,再利用對數(shù)、指數(shù)運算解決問題.【題組訓(xùn)練】1.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解x=____.

【解析】因為方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212,所以即解得x=-1.答案:-12.某工廠從2000年的年產(chǎn)值1000萬元增加到2018年的5000萬元,如果每年年產(chǎn)值增長率相同,則每年年產(chǎn)值增長率是多少?(ln(1+x)≈x,取lg5≈0.7,ln10≈2.3)【解析】設(shè)每年年產(chǎn)值增長率為x,根據(jù)題意得1000(1+x)18=5000,即(1+x)18=5,兩邊取常用對數(shù),得18lg(1+x)=lg5,即lg(1+x)=×0.7.由換底公式,得由已知條件ln(1+x)≈x,得x≈ln(1+x)=×ln10≈≈0.0894≈9%,所以每年年產(chǎn)值增長率約為9%.

備選類型半衰期中的對數(shù)運算問題(數(shù)學(xué)建模)【物理情境】在物理學(xué)上,一個放射性同位素的半衰期是指一個樣本內(nèi),其放射性原子衰變至原來數(shù)量的一半所需的時間.測定古植物的年代可用放射性碳法.在植物內(nèi)部含有微量的放射性元素14C,在植物死亡后,新陳代謝停止,14C就不再產(chǎn)生,且原有的14C會自動衰變,經(jīng)過5730年(14C的半衰期)它們的殘余量就只有原始含量的,經(jīng)過科學(xué)測定,若14C的原始含量為a,則經(jīng)過t年后的殘余量at與a之間滿足關(guān)系式at=a·e-kt.現(xiàn)有一出土古植物,其中的14C的殘余量占原始含量的87.9%,試推算出這個古植物死亡的時間.(lg2≈0.3010,lg0.879≈-0.056)【轉(zhuǎn)化模板】1.建—由題意可建立對數(shù)運算模型求解;2.譯—已知at=a·e-kt.當(dāng)t=5730時,若=0.879,試求t的值.(lg