2025年7月25日剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)Rotationaboutafixedpoint剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)選定點(diǎn)作為基點(diǎn)，則vO=0，aO=0，則某點(diǎn)速度、加速度定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度和角加速度的方向也改變。剛體三維一般運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是點(diǎn)的三維運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)之和。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何描述定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的解析描述定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何描述Oxyzx'y'z'xyzA固連坐標(biāo)系A(chǔ)至少有一個(gè)特征值等于1!變換矩陣A的特征方程為：—特征向量t時(shí)刻t+Δt時(shí)刻x'y'z'定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何描述將特征矢量看作是固連在剛體上的矢量p在坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)陣坐標(biāo)變換關(guān)系：p在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中不變！歐拉定理

—?jiǎng)傮w繞定點(diǎn)的任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)可由繞過(guò)該點(diǎn)的某根軸的一次定軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)p為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸Oxyzpx'y'z'矢量

p隨剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)而到達(dá)

q

的位置q定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何描述OXYZpO1PP0a0aΔθ剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可看作是一系列在微小時(shí)間間隔Δt內(nèi)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)，每一個(gè)有限轉(zhuǎn)動(dòng)都可以等價(jià)地看成是繞過(guò)定點(diǎn)的某根軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。平均角速度

=當(dāng)Δt→

0時(shí)，轉(zhuǎn)軸的極限位置為剛體在瞬時(shí)t的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，平均角速度的極限為剛體的瞬時(shí)角速度。剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以看成是一系列的瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度ω沿著瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸和角速度的方向都在不斷變化，不一定存在一根固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸。瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸在某一瞬時(shí)如果能找到定點(diǎn)O之外的另外一個(gè)點(diǎn)C的速度為零，OC線就是瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。如何確定瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸？定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體角速度如何求剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度？根據(jù)約束的特點(diǎn)找出剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸剛體上所有點(diǎn)均作瞬時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)，速度的大小為ωρρ

—F點(diǎn)到

OE

軸的距離角加速度角加速度ε就是角速度ω端點(diǎn)的速度。角速度向量端圖O例2-4-1軸C繞z軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)齒輪A沿定齒輪B滾動(dòng)。軸C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωC=15rad/s。求齒輪A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度。單位（mm）解已知條件：齒輪A的運(yùn)動(dòng)形式？

齒輪A繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。

瞬時(shí)軸?ωC

=15rad/s.待求量：ωA、εA解OE為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸：軸C繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：解角速度ωA

繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ωC任意矢量在動(dòng)坐標(biāo)系中的導(dǎo)數(shù)？有些教材：用剛性桿比喻角速度如何？討論H如何求vH和aH

？rOHωA如果將此裝置安裝在汽車上，如何求vH和aH

？例2-4-2正圓錐以其頂點(diǎn)O為固定點(diǎn)在水平面上純滾動(dòng)，圓錐的底面中心C點(diǎn)在水平方向的速度vC=

48cm/s

=

常數(shù)。已知圓錐高為h

=

4cm，底面半徑r=3cm。試求：(1)圓錐體的角速度和角加速度；(2)C點(diǎn)及A點(diǎn)的加速度。xyzOCAhr解圓錐體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。圓錐體與坐標(biāo)面Oxy相接觸的母線OA是瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸xyzOCAhr角速度ω繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω′為O1求ω的其它方法?xyzOCAhrO1解計(jì)算C點(diǎn)及A點(diǎn)的加速度計(jì)算aC的其它方法？aA為什么向上？例2-4-3半徑為r的車輪沿圓弧作純滾動(dòng)，如圖所示，已知輪心E的速度u是常數(shù)，輪心軌道半徑是R。求車輪上最高點(diǎn)B的速度和加速度。由于輪子作純滾動(dòng)，車輪與地面接觸點(diǎn)C的瞬時(shí)速度為零，OC為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。解如何解釋？車輪的輪心沿著一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為其圓心?？蓪點(diǎn)看作車輪延拓部分上的一點(diǎn),車輪繞著O點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。解輪子的角速度的大小是常數(shù)，其方向隨OC不斷地變化—繞過(guò)O點(diǎn)的鉛垂軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何方法解題思路根據(jù)剛體的約束條件判斷剛體是否在作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。找出作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上兩個(gè)速度為零的點(diǎn)以確定其瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。根據(jù)已知條件計(jì)算角速度ω。根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ω的變化規(guī)律，分析計(jì)算角加速度ε=dω/dt。計(jì)算剛體上點(diǎn)的速度和加速度。角速度瞬軸在哪里？坐標(biāo)變換矩陣A=？角速度=？角加速度=？練習(xí)題？？定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的解析描述歐拉角描述從參考系（定系）通過(guò)三次轉(zhuǎn)動(dòng)到本體系有二類轉(zhuǎn)動(dòng)方式，每類由6種不同轉(zhuǎn)動(dòng)順序：（1）第一次和第三次繞同類坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)：

1-3-1,1-2-1,2-3-2,2-1-2,3-1-3,3-2-3

（2）每次都繞不同類坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng):1-2-3,1-3-2,2-3-1,2-1-3,3-1-2,3-2-1*思考：假設(shè)每次都轉(zhuǎn)動(dòng)10度，3-2-1和1-2-3是否轉(zhuǎn)動(dòng)到相同的固連系？3-1-3為例推導(dǎo)變換矩陣第一次繞第3軸轉(zhuǎn)動(dòng)第二次繞新的第1軸轉(zhuǎn)動(dòng)第三次繞新的第三軸轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉角表示的變換矩陣綜合以上變換，參考系oXYZ與本體系oxyz之間的直接轉(zhuǎn)換關(guān)系為由于A是兩個(gè)直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為正交矩陣，剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理？*思考：三次轉(zhuǎn)動(dòng)后存在一個(gè)歐拉軸，這個(gè)是否每次轉(zhuǎn)動(dòng)中一直保持不變？＝>歐拉軸/角參數(shù)歐拉軸/角參數(shù)描述考慮以下兩次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。第一次繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度第二次繞新的x

軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度試做：作為一次轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉軸/角是多少？xyzxyzxyzxyzzxyxyz歐拉角表示角速度本體坐標(biāo)系中角速度可表示角速度和歐拉角分母上有歐拉角的三角函數(shù)，當(dāng)0度、90度時(shí)出現(xiàn)奇異。為什么？怎么解決？固定坐標(biāo)系上的分量？角加速度？角速度瞬軸在哪里？坐標(biāo)變換矩陣A=？角速度=？角加速度=？圖示瞬時(shí)練習(xí)題錐角為90度。求：小圓錐的角速度、角加速度、B點(diǎn)的加速度。思考題定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體初始角速度為[1,2,3]/s（在固連坐標(biāo)系上）。試用數(shù)值積分（可用Matlab的ODE函數(shù)或Simulink）求解100s以內(nèi)的角速度、角加速度和歐拉角。作業(yè)1、2、3、9、10推導(dǎo)312轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（角速度和歐拉角時(shí)間的關(guān)系）復(fù)合運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)35點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)基本定義絕對(duì)、相對(duì)、牽連三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系速度合成公式加速度合成公式以地球?yàn)閰⒖枷?，行星的運(yùn)動(dòng)很復(fù)雜。以太陽(yáng)為參考系，行星的運(yùn)動(dòng)很簡(jiǎn)單。相對(duì)不同參考系，描述運(yùn)動(dòng)難易不同。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，應(yīng)尋找合適的參考系使描述運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單；從動(dòng)力學(xué)角度，牛頓定律僅在慣性系中成立。因此，我們需要研究相對(duì)不同參考系的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。復(fù)合運(yùn)動(dòng)基本定義點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)理論，研究點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))相對(duì)不同參考坐標(biāo)系（定系和動(dòng)系）運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)—?jiǎng)狱c(diǎn)對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)—

動(dòng)點(diǎn)對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)—

動(dòng)參考系對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)是剛體的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系和定系的選取是人為的，“動(dòng)”和“定”是相對(duì)的。定參考系？動(dòng)參考系？絕對(duì)運(yùn)動(dòng)？牽連運(yùn)動(dòng)？相對(duì)運(yùn)動(dòng)？點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是由點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)坐標(biāo)系的牽連運(yùn)動(dòng)合成而得。動(dòng)點(diǎn)？已知：求：刀尖在工件上刻的軌跡。例1工件刀尖O解：建立定坐標(biāo)系Oξη，動(dòng)坐標(biāo)系Oxy與工件固連

所刻軌跡為一圓。M點(diǎn)(刀尖)的相對(duì)坐標(biāo)O0XYZOxyzP—P

點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系的速度是P點(diǎn)的牽連速度（給定瞬時(shí)）速度合成公式向量的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)和相對(duì)導(dǎo)數(shù)向量的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)—相對(duì)于定系的導(dǎo)數(shù)向量的相對(duì)導(dǎo)數(shù)—相對(duì)于動(dòng)系的導(dǎo)數(shù)向量r：—向量r相對(duì)于動(dòng)系的導(dǎo)數(shù)在定系中的列陣—向量r相對(duì)于動(dòng)系的導(dǎo)數(shù)在動(dòng)系中的列陣—向量r相對(duì)于定系的導(dǎo)數(shù)在定系中的列陣在定系中在動(dòng)系中牽連速度ve是動(dòng)參考系(剛體)上與點(diǎn)P重合的點(diǎn)(稱為牽連點(diǎn))的瞬時(shí)速度。牽連速度ve也可以看成是在該瞬時(shí)將P點(diǎn)固連在動(dòng)參考剛體上，跟隨動(dòng)參考剛體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的速度，即受動(dòng)參考剛體的拖帶或牽連而產(chǎn)生的速度。點(diǎn)P的絕對(duì)速度包括兩部分：點(diǎn)相對(duì)動(dòng)參考剛體的速度和被動(dòng)參考剛體攜帶一起運(yùn)動(dòng)的速度。怎么理解速度合成公式呢？CωωM實(shí)例分析CωM岸在岸上觀察，艦以角速度ω作縱搖運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)沿甲板飛行。

當(dāng)飛機(jī)未飛出甲板時(shí)當(dāng)飛機(jī)已飛出甲板時(shí)已知直管以等角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。管中質(zhì)點(diǎn)P以等速度u沿管線運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻O(píng)P=R/3。求OP＝R/3和OP＝R時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P對(duì)地面的速度。例2

ωO質(zhì)點(diǎn)Pu直管PPPPωOP動(dòng)點(diǎn)－P；牽連運(yùn)動(dòng)－繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿管線的等速直線運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－平面曲線；動(dòng)系－直管；定系－地面；P,P1PP牽連速度ve＝(ωR/3)

jvaveyx動(dòng)點(diǎn)－P；定系－地面OXY；動(dòng)系－直管Oxy絕對(duì)速度va＝？相對(duì)速度vr＝ui解OXYvr牽連速度ve

＝(Rω)

j絕對(duì)速度va＝？相對(duì)速度vr

＝uixyOXYvrvave例3已知：正弦機(jī)構(gòu)中，曲柄OA＝l，角速度為常數(shù)ω，θ＝30o。求：連桿BCD的速度。ADCBωOθ已知曲柄(原動(dòng)件)運(yùn)動(dòng)，求連桿(被動(dòng)件)的運(yùn)動(dòng)。1.選擇動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系動(dòng)點(diǎn)－曲柄上的A點(diǎn)動(dòng)系－連桿上oxy2.分析運(yùn)動(dòng)和速度

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－以O(shè)為圓心、l為半徑的等速圓周運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿BC方向的直線運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)－鉛垂方向的平移解IOωADCBθxyDvrvave絕對(duì)速度va：va＝ωl，方向已知。相對(duì)速度vr：vr＝？，方向已知。牽連速度ve：ve＝？，方向已知。解II絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分析OωADCBθxyD凸輪頂桿機(jī)構(gòu)如圖，已知：R,ω,OC=e；求：

時(shí)，AB桿的速度。

例4BACOACOxy解I復(fù)合運(yùn)動(dòng)選A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系Oxy與偏心輪固連：θ解II直接求導(dǎo)法當(dāng)時(shí)，BACOR=ω?BACO動(dòng)點(diǎn)：A動(dòng)系：Cxy，平動(dòng)系討論

動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇ACOxyθ動(dòng)點(diǎn)：A動(dòng)系：Oxy與偏心輪固連注意牽連速度的區(qū)別！BACOyxxy動(dòng)點(diǎn)：C動(dòng)系：Axy固連在AB桿上動(dòng)系：Axy固連在AB桿上動(dòng)點(diǎn)：圓盤(pán)上與A接觸的點(diǎn)？速度合成定理解題(幾何法)，可以避免列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程及求導(dǎo)，多用于求特定瞬時(shí)(位置)的速度。進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的選擇原則：動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系應(yīng)選在不同剛體上動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)盡量簡(jiǎn)單或直觀速度合成定理幾何表達(dá)

—

速度平行四邊形解析表達(dá)—投影方程例題的討論與總結(jié)BACO加速度合成公式?半徑為r的圓盤(pán)以勻角速度ω繞O軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其上有一小蟲(chóng)沿圓盤(pán)邊緣相對(duì)于圓盤(pán)以勻速度ωr向上爬動(dòng)。試分析小蟲(chóng)的加速度。ωO加速度合成公式ar

—P點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系xyz的加速度ac—科里奧利加速度，常簡(jiǎn)稱科氏加速度牽連加速度的物理意義牽連加速度ae是動(dòng)參考系(剛體)上與點(diǎn)P重合的點(diǎn)(牽連點(diǎn))的瞬時(shí)加速度。牽連加速度ae也可以看成是在該瞬時(shí)將P點(diǎn)固連在動(dòng)參考剛體上，跟隨動(dòng)參考剛體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的加速度，即受動(dòng)參考剛體的拖帶或牽連而產(chǎn)生的加速度。牽連加速度的物理意義？一根直管OP在Oxy

平面內(nèi)繞O

轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為φ

=

φ(t)。一小球M

在管內(nèi)沿OP

運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為ρ

=

ρ(t)。求M

的速度和加速度。例5xyMOP取與管子固連的坐標(biāo)系為動(dòng)參考系分析三種運(yùn)動(dòng)xyMPO解已知：求：

時(shí)，AB桿的加速度。

例6BAC解(2)速度分析(3)加速度分析：(1)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系，三個(gè)運(yùn)動(dòng)BAC向y軸投影一曲柄搖臂機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以作等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，滑套C可沿DB滑動(dòng)，短桿AC則與C固連且垂直于滑套。求圖示位置時(shí)，DB的角速度和角加速度。已知OA=AC=l，。例7CBOAD解：取桿BD為動(dòng)系，研究動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)。解OADBC解分析加速度將上式向ac方向投影得:OADBC半徑為r的圓輪在水平桌面上作直線純滾動(dòng)，輪心速度

vO

的大小為常數(shù)。一搖桿與桌面鉸接，并靠在圓輪上。當(dāng)搖桿與桌面夾角等于60o時(shí)，試求搖桿BA的角速度和角加速度。例8OBAOBAOAB取BA桿為動(dòng)系，O為動(dòng)點(diǎn)：解I向ac方向投影解IIααxOBA火車以u(píng)勻速自南向北沿子午線行駛，考慮地球自轉(zhuǎn)。求火車在北緯φ處的加速度例9緯度圈赤道子午圈緯度圈赤道子午圈解地理坐標(biāo)系取動(dòng)點(diǎn)M、動(dòng)系第二屆全國(guó)青年力學(xué)競(jìng)賽試題（1992年）在圖示平行四邊形機(jī)構(gòu)中EF＝AB＝2AE＝2