第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1．一元二次方程的定義：（1）等號(hào)兩邊都是，只含有一個(gè)（一元），并且是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．（2）注意以下幾點(diǎn)：①只含有；②未知數(shù)的最高次數(shù)是；③等號(hào)兩邊都是．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是．其中，ax2是，a是；bx是，b是；c是．3．一元二次方程的根：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定義是解方程過程中的依據(jù)．將此數(shù)代入這個(gè)一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個(gè)方程的根；若不相等，就不是這個(gè)方程的根．K知識(shí)參考答案：1．（1）整式，未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)（2）一個(gè)未知數(shù)，2，整式2．a(chǎn)x2+bx+c=0(a≠0)，二次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)3．解，驗(yàn)根K—重點(diǎn)一元二次方程的根K—難點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問題列出一元二次方程K—易錯(cuò)（1）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，則根據(jù)一元二次方程的定義求值時(shí)，要注意不能忽略隱含條件“”．（2）指出一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)均包含前面的符號(hào)．一、一元二次方程的定義及一般形式1．等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是（二次）的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是，其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)；是常數(shù)項(xiàng)．【例1】下面關(guān)于的方程中：①；②；③；④（為任意實(shí)數(shù)）；⑤．一元二次方程的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【名師點(diǎn)睛】判斷是否為一元二次方程，需看方程是否滿足三個(gè)條件：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是．對于復(fù)雜的方程需要化簡后再根據(jù)定義進(jìn)行判斷．【例2】將方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．【答案】二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為－26，常數(shù)項(xiàng)為22.【解析】去括號(hào)，得40－16x－10x＋4x2＝18，移項(xiàng)，得4x2－26x＋22＝0，其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為－26，常數(shù)項(xiàng)為22.二、一元二次方程的根1．使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．2．將此數(shù)代入這個(gè)一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個(gè)方程的根；若不相等，就不是這個(gè)方程的根．【例3】關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】【解析】∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，∴，，∴．【名師點(diǎn)睛】已知方程的根求方程中未知字母的值，步驟如下：一是“代入”，二是“變形求解”．若二次項(xiàng)系數(shù)含有未知字母，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零．1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=02．一元二次方程的一般形式是A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0 B．a(chǎn)x2＋bx＋c(a≠0)C．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0(a≠0) D．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0(b≠0)3．一元二次方程4x2–3x–5=0的一次項(xiàng)系數(shù)是A．–5 B．4 C．–3 D．34．方程（m–2）x2+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠25．下列方程是一元二次方程的是A．2x–3y+1 B．3x+y=zC．x2–5x=1 D．x+2y=16．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別是A．2，5，–4 B．2，5，4C．2，–5，–4 D．2，，47．把方程x（x+2）=5x化成一般式，則a、b、c的值分別是A．1，3，5 B．1，–3，0 C．–1，0，5 D．1，3，08．一元二次方程2x2–3x=1的二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)c分別是A．a(chǎn)=2，b=3，c=–1 B．a(chǎn)=2，b=1，c=–3C．a(chǎn)=2，b=–3，c=–1 D．a(chǎn)=2，b=–3，c=19．一元二次方程化為一般形式是__________，它的一次項(xiàng)是__________，常數(shù)項(xiàng)是__________．10．當(dāng)m=__________時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程．11．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則__________．12．關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，求n的值．13．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值．14．若方程是一元二次方程，則m的值為A．0 B．±1 C．1 D．–115．下面關(guān)于的方程中：①；②；③；④（為任意實(shí)數(shù)）；⑤．一元二次方程的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．416．已知關(guān)于x的方程x2–kx–6=0的一個(gè)根為x=3，則實(shí)數(shù)k的值為A．1 B．–1 C．2 D．–217．關(guān)于的方程是一元二次方程，則=__________．18．已知=0是關(guān)于x的一元二次方程，則k為__________．19．如果是一元二次方程的一個(gè)解，那么代數(shù)式的值為__________．20．已知是方程的根，則式子的值為__________．21．關(guān)于x的方程x2+5x–m=0的一個(gè)根是2，則m=__________．22．若一元二次方程ax2–bx–2017=0有一根為x=–1，則a+b=__________．23．關(guān)于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一個(gè)根是0，則a的值是__________．24．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a–c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．如果x=–1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．25．（2018·鹽城市）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一個(gè)根為1，則k的值為A．?2 B．2 C．?4 D．426．（2018·揚(yáng)州）若是方程的一個(gè)根，則的值為__________．1．【答案】C【解析】A．可能，不是一元二次方程.B．化成一般形式，不是一元二次方程.C．化成一般形式，是一元二次方程.D．不是整式方程.2．【答案】C 【解析】一元二次方程的一般形式.5．【答案】C【解析】根據(jù)一元二次方程的概念，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的方程叫一元二次方程可得．A不是方程，錯(cuò)誤；B是三元一次方程，錯(cuò)誤；C正確；D是二元一次方程，錯(cuò)誤．故選C．6．【答案】C【解析】方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別是2，–5，–4．故選C．7．【答案】B【解析】∵x（x+2）=5x，∴x2+2x–5x=0，∴x2–3x=0，∴a=1，b=–3，c=0．故選B．8．【答案】C【解析】∵2x2–3x=1，∴2x2–3x–1=0，∴二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)c分別是2、–3、–1．故選C．9．【答案】，3x，–2．【解析】方程可整理為：，，即，根據(jù)一元二次方程的一般式（a≠0）可得，該一元二次方程的一般式為，它的一次項(xiàng)是3x，常數(shù)項(xiàng)為–2．故答案為：，3x，–2．10．【答案】–2【解析】由得，又∵，∴，∴．11．【答案】2【解析】∵關(guān)于的方程的一個(gè)根是，∴，∴，∴．12．【答案】【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，∴，∴，∵，∴．13．【答案】m=?2【解析】由題意，得，解得.【名師點(diǎn)睛】一元二次方程需要滿足三個(gè)條件：（1）含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）整式方程.14．【答案】D【解析】已知方程是一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義可得且m–1≠0，∴且m≠1，∴m=–1，故選D．16．【答案】A【解析】把x=3代入x2–kx–6=0得9–3k–6=0，∴3–3k=0，∴3k=3，∴k=1，故選A．17．【答案】3【解析】根據(jù)題意得，|m?1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，∴m的值為3．18．【答案】–2【解析】已知=0是關(guān)于x的一元二次方程，可得，1–k≥0，解得k=–2．19．【答案】–2【解析】把代入得，a2–3a–3=0，∴2a2–6a–6=0，∴2a2–6a=6，∴=6–8=–2．20．【答案】2018【解析】∵m為方程x2+x?1=0的根，∴m2+m?1=0，∴m2+m=1，∴m3+2m2+2017=m(m2+m)+m2+2017=m+m2+2017=1+2017=2018．故答案為：2018．21．【答案】14【解析】把x=2代入方程：x2+5x–m=0可得4+10–m=0，解得m=14．22．【答案】2017【解析】把x=–1代入ax2–bx–2017=0得a+b–2017=0，∴a+b=2017．25．【答案】B【解析】把x=1