【鞏固練習(xí)】【注意】③底邊上行的中線（頂角的平分線、底邊上行的高）所在直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸．②作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D；【注意】②等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．:AB=AD．:△ABD是等邊三角形:BD=AB．又BD=2BC，AB．由此可以得到上述結(jié)論．2．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°,則它的頂角為()A．80°B．50°C．50°或65°D．50°或80°3．等腰三角形的底角比頂角大15°,求各個(gè)角的度數(shù)．4．如圖，在△ABC中，線段AB=AC，BD,CE的全等三角形的對(duì)數(shù)是()5．如圖，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且(1)求證：PD=PE；(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)若上BAC=62°,求DAC7．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是()8．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE平分DABC分別交AD、ACAC邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長(zhǎng)的最小值是()是()小于這條邊上中線的長(zhǎng)度；@三角形一邊上的中線小于另兩邊和的一半．對(duì)于結(jié)論①和@，下列說(shuō)法正確的是()A．①、@都正確B．①、@都錯(cuò)誤C．①正確，@錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，@正確12．下列命題的逆命題是假命題的是()EFⅡBC交AB于E，交BC于F，那么圖中所有的等腰三角形的個(gè)數(shù)()14．已知：如圖，在△ABC中，已知BM、CM分別平分DABC和DACB，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線DE平行于BC，交AB、AC分別于點(diǎn)D、E，AB=8，AC=6．解：QBM平分DABC，QDEⅡBC，:上BMD=_______．:DB=DM（_______同理可得EC=_______．:△ADE周長(zhǎng)=AD+DE+AE_______15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DABC的平分線交DE于點(diǎn)17．如圖，在△ABC中，DBAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEⅡA于點(diǎn)E、F，連接CF．(2)過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交邊AC于點(diǎn)G，如果AC=10，AF=6，求△GFC的周長(zhǎng)．19．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4)，則線段DE的長(zhǎng)為()22．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別在邊AC，AB，BC上，EF∥AB，DF∥AC，則四邊形AEFD的周長(zhǎng)是()23．已知：如圖，等腰△ABC中，AB=BC，腰BC的垂直平分線分別交AB、BC于E、24．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE平分DABC分別交AD、AC于點(diǎn)O、E，若上ABE=26°,則DBAD的度接EC，若上BCE的度數(shù)為()A．36°B．72°C．48°26．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．(2)若上BAC=110°,求DDAE的度數(shù)．分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，OB與CD相交于點(diǎn)G．若CO丄AB，則上OGD的度數(shù)為()29．如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，過(guò)點(diǎn)E作EFⅡBC交AC于(1)求證：AE=AF；B與點(diǎn)C重合，折痕交AB、BC、BD于點(diǎn)E、F、G，連接CE交BD于點(diǎn)H．(1)試說(shuō)明：BH=AC；°【問(wèn)題提出】【問(wèn)題探究】（2）如圖2，連接CF交BD于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷BD與FC是否相互垂直，并說(shuō)明理由．33．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，ADPBE,AC=BE,AD=BC．34．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使BE=CF，連接AE、AF．求證：AD平分DEAF．35．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿直線AD翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處（點(diǎn)E在直線BC上方連接CE.(2)求證：CE∥AD；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：FE=FC；(4)連接DF，當(dāng)AD=DF時(shí)，如果△ABD是等腰三角形，那么DB的度數(shù)為_(kāi)_______.連結(jié)BC、DE，求證：S△ABC=S△ADE．(1)如圖，已知：線段a,b，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖求作：等腰△ABC，使線段a為底，線段b為底.......(2)小明受到小聰?shù)膯l(fā)，也有了自己的想法39．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD為邊AB上的高線．40．如圖，在直線EF上有一點(diǎn)A，直線外有一點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線EF上，ΔABC是以AB、AC為腰的等腰三角形．41．如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E在AC邊上，連接DE，若AD=AE，則上CDE的度數(shù)為()42．如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于E，連接DE．43．如圖，在等邊△ABC中，AB=10，D是BC邊上一點(diǎn)，且上BAD=30°,則CD的長(zhǎng)為44．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且45．如圖，D，E分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE，求上BOD46．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC、AC上，且BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F．47．下列說(shuō)法中正確的是()48．如圖，在Rt△ABC中，上ABC=90點(diǎn)E,AE=AB，連接AD,BE，交于點(diǎn)P．(1)求證：AD平分BE；49．下列命題的逆命題不成立的是()(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作DE丄BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，時(shí)，上AOB=60°,如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是()A．9cmB．18cmC．253．一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西43°的方向行駛100海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西17°的方向行駛100海里到C地，則A、C兩地相距()54．如圖，在△ABC中，AB=8，BC=13，DB=60°,將△ABC沿著B(niǎo)C的方向平移得到方法：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；結(jié)合BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．長(zhǎng)．小明同學(xué)的解法是：將△ABC沿AD折疊，則點(diǎn)C剛好落在BC邊上的點(diǎn)E處．請(qǐng)你畫(huà)則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________．上BAC=60°,求DACE的度數(shù)．AC，則上OAC的大小為()△BOC≌△ADC，連接OD．D、E、F，連接AF．(1)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，(2)當(dāng)△ACF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DC的度數(shù)．F為線段BD上一點(diǎn)，且FP=AP．方向平移得到的．已知EF過(guò)點(diǎn)A，BE交CD于點(diǎn)G．【提出問(wèn)題】△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，BE平分DABD，點(diǎn)M是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，并以AM為邊作上AMN=60°,交射線BE于點(diǎn)N，連接AN．猜興趣小組的三位同學(xué)根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形并分別度量AM和MN的長(zhǎng)度，結(jié)果如下：AM的長(zhǎng)度(cm)MN的長(zhǎng)度(cm)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，猜想：△AMN是___________三角形．【解決問(wèn)題】興趣小組對(duì)上述猜想進(jìn)行了證明，請(qǐng)你證明：如圖，在CA邊上截取CP=CM，連接PM．:△APM≌△MBN:△AMN是___________三角形．如圖1，連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC【嘗試應(yīng)用】的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小澤經(jīng)過(guò)思考得到了如下的解決方法：如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)提示寫(xiě)出證明“△ADC≌△EDB”的推理過(guò)程，并求出AD的取值范圍．反思：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，【問(wèn)題處理】如圖3，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，CF交AD于點(diǎn)E，【拓展提升】如圖4，在等邊△ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF．請(qǐng)直接寫(xiě)出CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系．圖中與7A互余的角共有()71．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，連接OD．如圖2，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B,P在直線a的異側(cè)，BM丄直線a于點(diǎn)M,CN丄直線a于點(diǎn)N，連接PM,PN(1)延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖3）①求證△BPM≌△CPE@求證PM=PN(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖4的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．73．下列命題中，真命題是()C．一個(gè)外角是130°,與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角為50°的三角形D．有兩個(gè)內(nèi)角分別是70°,50°的三角形），出格點(diǎn)P使△MNP為等腰三角形，那么滿足條件的格點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()度數(shù)為()BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則DABC的度上（不與O重合連結(jié)AB，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()79．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為27，DABC和DACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DEⅡBC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的周長(zhǎng)是()80．如圖，ΔABC和ΔCDE都是等邊三角形且點(diǎn)A，C，E在一條直線上，AD，BE相交于點(diǎn)O，AD與BC相交于點(diǎn)F，BE與DC相交于點(diǎn)G，連接OC，則①AD=BE；@81．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半N兩點(diǎn)，連接MN分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．下列說(shuō)法正確的是()是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，83．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處，若上A=24°,則DADE的度數(shù)．84．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接AC，AC平分DBAD，若DC=4，則AD86．如圖，△ABC,AB=AC=10,BC=8，AD平分上BAC交BC于點(diǎn)D，E是AD的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長(zhǎng)為．87．如圖，在Rt△ABC中，上ACB=90°88．如圖，在Rt△ABC中，上BAC=90°,分別以點(diǎn)C，B為圓心，以大于BC為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交AB,CB于點(diǎn)D，E，連接CD,AE相交于點(diǎn)P．若上B=23°,則DAPC的大小為．89．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高線，CE為AB邊上的中線，AD，CE交于點(diǎn)③若AB=AC，則S△BEF=S△BDF；F分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，BD，DE，DF，EF．若△ABD的面積為2，則P按照這種規(guī)律繼續(xù)操作下去，若斜邊AC的長(zhǎng)為2，則P10Q9的長(zhǎng)為．（1）通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線DF是線段AB的__________，射線AE是DDAC的__________；95．如圖，已知點(diǎn)A、F、E、B在同一條直線上，CE與DF交于點(diǎn)M，AE=BF，(1)求證：MF=ME；97．如圖．四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，AC=AD，DACB=DADB，點(diǎn)F(1)求證：△ABC≌△AFD；(2)若BE=FE，求證：AC丄BD．），為一邊作上MDN=90°,另一條直角邊DN與邊AC交于點(diǎn)F，連接EF．(2)若△ABC的面積為10，四邊形AEDF的面積是否會(huì)隨著點(diǎn)E的位置不同而發(fā)生變化？若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形AEDF的面積；若會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)D在AB邊上，證明CEⅡAB；(3)在（2）的條件下，若BC與DE交于點(diǎn)F，30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：已知在Rt△ABC中，上C=90°,【深入探究】P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE丄BC當(dāng)點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)取三點(diǎn)中居中的點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A、B、C不共線時(shí)，分成兩類(lèi)：費(fèi)馬(PierredeFermat，1601—1665)提出了這個(gè)問(wèn)題，此問(wèn)題中求得的點(diǎn)P也稱(chēng)為費(fèi)馬下面來(lái)探究當(dāng)點(diǎn)A、B、C不共線時(shí)的情況：我們可以快速找到這類(lèi)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，作法如下：分別以△ABC的邊AB、BC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，此時(shí)CD和AE交于一點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)．①請(qǐng)找出圖中與AE相等的線段，并說(shuō)明理由；@為了驗(yàn)證作圖中找到的點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，連接BP．上的中線”或“一角(頂角或底角)的角平分線”中的兩個(gè)條件，加以組時(shí)滿足的關(guān)系)，使它們對(duì)應(yīng)相等，是否還能BE．求證：△ABC是等邊BE．求證：△ABC是等邊三:AB=AD，上BAC=上DA角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理:這個(gè)等腰三角形的頂角為50°或80°.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,可得:底角為50°+15°=65°.【詳解】令EC和BD的交點(diǎn)為O．QBD,CE都是△ABC的角平分線:△ABD≌△ACE(ASA):BD=CE:△BCE≌△CBD(AAS):BE=DC:△EOB≌△DOC(AAS):BP=PC，:BD=PC=CE=BP，在△BPD和△CPE中，:△BPD≌△CPE(SAS)，:PD=PE；:上BPD=上CPE，QBD=BP，:上B=44°,:△ABC≌△ADE(SAS)；（2）解：Q△ABC≌△ADE，:上ACE=上AEC，AD平分7BAC，從而判斷B與C正確；由等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)可判斷A正確；【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC:上ABC=27ABE=52°,AD，AP，由AB=AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，則ADTBC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，【詳解】解：連接AD，AP，:ADTBC，:AD=6，:EF是線段AC的垂直平分線，:點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，:當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，即AD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，:△CDP的周長(zhǎng)最短形的面積相等，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AP交BC于E，根據(jù)已知S△ACP△ECP，推出S△△ABC．【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于E，QBP平分7ABC，:上ABP=上EBP，在△ABP和△EBP中，:△ABP≌△EBP(ASA)，:AP=PE，:S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，故選：C．等腰三角形底邊上高的長(zhǎng)度等于這條邊上中線的長(zhǎng)度，②倍長(zhǎng)中線后利用三角形全等，可②如圖，AD是△ABC的中線，且AB>AC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接EC，:BD=CD，:EC=AB，的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BE與EO，CF與FO的關(guān)系．本題考查了等腰三角:BE=EO，CF=FO，即△BEO，△CFO都為等腰三角形．:AB=AC，且上AEF=上A:△ABC，△AEF都為等腰三角形．:OB=OC，即△BOC是等腰三角形．14．上DBM；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；上DBM；等角對(duì)等邊；EM；14得到DB=DM，同理可得EC=EM，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：QBM平分DABC，:上CBM=上DBM．QDEⅡBC，:上BMD=∠DBM．:DB=DM（等角對(duì)等邊同理可得EC=EM．:△ADE周長(zhǎng)=AD+DE+AE【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，:DEⅡ∵BF平分DABC，:AC=6m．:上CAD=上ADE，:AE=DE，:△AED是等腰三角形；:上CAD=35°QEF垂直平分AC:FA=FC,DFEC=90°:DCAD=DFCE=35°,:上AFG=上BAFQAD是△ABC的角平分線:DBAF=DFAG:AG=FG，:FC=6:AG+CG=10:FG+CG=10【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4)，??【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．?dāng)?shù)，繼而求得DADC的度數(shù)，則可判定△ACD是等腰三角形，繼而求得答案．【詳解】∵DE垂直平分BC，:DB=DC，:△ABD是等腰直角三角形，:AD=BD，??:△ADF≌△BDC(ASA)，:DF=CD，定可得DF=DB,EF=EC，由此即可得．QEFⅡAB，DFⅡAC，:DF=DB,EF=EC，:EC=EB，:EC=EB，【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，:上ABC=2DABE=52°,DA，利用垂直平分線性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得到答案，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，(2)DDAE的度數(shù)是40°又BC=8，（2）解：:DBAC=110°,:DBAD+DEAC=70°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可求解，掌握故選：C．識(shí)點(diǎn)，證明Rt△BDF≥Rt△ADC是解題的關(guān)鍵．由AD丄BC于點(diǎn)D，可以得到△BDF和△ADC是直角三角形，根據(jù)直角三角形的判定“HL”，可以證明Rt△BDF≥Rt△ADC,得到在Rt△BDF和Rt△ADC中ílDFìílDF:EFⅡBC，:D為BC的中點(diǎn)，:EFⅡBC，:AE=AF；:BD平分DABC，??:△BEH≌△CEA(ASA)，:BH=AC；（2）解：:EF垂直平分BC，【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AE于點(diǎn)G，:△GDF≌△CEF(ASA)，:DG=CE又:BD=CE，:BD=DG，:DG∥AE，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．321）△AFD≌△CGD，見(jiàn)解析2）BD丄FC，見(jiàn)解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，在△AFD利△CGD中，所以△AFD≌△CGD(ASA)．所以AF=CG，??角形的性質(zhì)與判定定理和等腰三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵:CF=AF-AC=3．:CD=CE．:△CDE是等腰三角形．:上ADE=上CFD，:AF=AD=5，:CF=AF-AC=3．性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=DC，AD丄BC，AD平分上BAC，再利用全等三【詳解】證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，?ìAB=AC?(4)67.5°或45°種情況討論：當(dāng)AB=AD時(shí)，當(dāng)AB=BD時(shí)，當(dāng)BD=AD時(shí)，結(jié)合等腰三角:CD=DE，:△CDE是等腰三角形．:ADPCE；:EF=CF；∵ADⅡEC，∵AD=DF，:DB=90°（不合題意，舍去故答案為：67.5°或45°.△ACM≌△AEN(AAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=EN，根據(jù)三角形的面積公式:△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，:AD=AB，AE=AC，:△DAC≌△BAE(SAS)，:BE=CD；（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN丄AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，:△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，:AB=AD，AC=AE，:上BAC=上EAN，在△ACM和△AEN中，:△ACM≌△AEN(AAS)，:CM=EN，:S△ABC=SΔADE．（1）作射線BE，在射線BE上截取線段BC，使得BC=a，作線段BC的垂直平分線ET，垂足為E，在射線ET上截取線段EA，使得EA=b，連接AB，AC，△ABC即為所求；:Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．(2)B；AB（2）根據(jù)等腰三角形的等腰可得AB=BC，則以點(diǎn)B為圓心，以AB（3）作線段AB的垂直平分線，線段AB的垂直平分線與小正方形頂點(diǎn)的交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）（4）作出（123）的圖形即可得到答案．:AB=BC，:以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧與小正方形頂點(diǎn)的交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）就是點(diǎn)C的∵CD,BE分別為邊AB,AC上的高線，:△BOC為等腰三角形．401）見(jiàn)解析2）70°或20°:∠ACB=∠ABC（180°-40°)=70°.【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討【詳解】解：:△ABC是等邊三角形，且AD是BC邊上的中線，:AD=AE，△ABD≌△CBD；:AB=CB，又∵BD=BD，:△ABD≌△CBD．又QAB=AC，【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．連接BE，交AD于點(diǎn)F，連接BP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD是BC的垂直平分線，證明PB=PC，得出得出當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，EP+CP的最小值，且最小值為BE的長(zhǎng)，【詳解】解：連接BE，交AD于點(diǎn)F，連接BP，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，:AD是BC的垂直平分線，:PB=PC，∵當(dāng)B，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PE最小，E:當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，EP+CP的最小值，且最小值為BE的長(zhǎng)，:BE丄AC，:BE=AD=9，先根據(jù)SAS證明△BCE≌△CAD，再由三:△ABD≌△BCE(SAS)；C、等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的角平分線互相(2)△ABE是等邊三角形，見(jiàn)解析結(jié)合AE=AB，即可證明．:7ABC=7DEA=90°,:Rt△AED≌Rt△ABD(HL)，:上EAD=上BAD，:PE=PB，:AP平分BE，即AD平分BE．:上DEC=90°,:上C=30°,:上CAB=60°,D．逆命題為：等邊三角形的三個(gè)角都是60°,成立，不符合題意．【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂線的尺規(guī)作圖，則可證明AD=AF，據(jù)此可證明結(jié)論．:AD=AF．又:DDAB=60°,:△ADF是等邊三角形．:△OAB是等邊三角形質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理AE=AB-BE=AC-BE即可．又:AD=AB，:△ABD是等邊三角形．（2）證明：:△ABD是等邊三角形，:BE=AF，:BE=1，:AC=4，AB=AC，:AE=AB-BE=AC-BE=3．可判斷△ABC為等邊三角形，從而可求得AC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：連接AC．Q點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏西43°方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西17°方向，:上CBA=60°.:ΔABC為等邊三角形．【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)551）見(jiàn)解析2）AB+BC=BD，見(jiàn)解析（1）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，得BN=BC，連接DN，先證明△NBD≌△CBD，得到上BND=上C，為等邊三角形，再證明△PAC≌△BAD，可得PC=BD，即【詳解】解1）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，得BN=BC，連接DN，QBD平分DABC，??:DN=DA，:DA=DC；:△ADC是等邊三角形，:△ABP為等邊三角形，:△PAC≌△BAD(SAS)，:PC=BD，:AB+BC=BD．561）見(jiàn)解析2）AB+AC=CD，見(jiàn)解析3）18 :上AED=2上B，:BE=AE=5，證明：如圖，在AF上截取AG=AC，連接DG，:上B=上BDG，:BG=DG，:AB+AC=CD；（3）解：①如圖，在AB上截取AH=AD，連接CH，QAC平分DBAD，:CB=CH，:上B=60°,:BC=CH=10，:△BCH為等邊三角形，:BH=10，:△ABC≌△ADE(SAS)；:△ACE是等邊三角形．:上ACE=60°.【詳解】解：如圖，連接AB,AC,BC，:△ABC為等邊三角形，（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CO=CD，∠OCD=60°:△BOC≌△ADC，:△OCD是等邊三角形．:△COD是等邊三角形，:∠AOD=∠AOC-∠COD=190°-a，∠ODA=∠ADC-∠CDO=a-60°,:190°-a+2(a-60°)=180°,:FA=FB，:△ABF是等邊三角形，:△ABF的周長(zhǎng)為3AB=3BC=3；::FA=FB，:FA=FB，:a=180°-a:此情形不存在，∠APQ=∠BCQ=60°,據(jù)此可證明結(jié)論．:△ACE≌△BCD(SAS)；:∠APQ=∠BCQ=60°,又∵FP=AP，:△AFP是等邊三角形．本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握以:OB=OA，:△APO≌△BQO(SAS)；:DA=60°,:△APO為等邊三角形能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)（1）等邊三角形的性質(zhì)推出DDCB=30°,垂直，進(jìn)而得到AE=CE,上AEC=120°,根據(jù)AB=CB，推出BE垂直平分AC，進(jìn)而得到:上BCE=90°,:上DCE=上BCE-上DCB=60°.（2）由平移可知：CDⅡEF，:上EAC=上DCA=30°,:上EAC=上ECA，又QAB=CB，:BE垂直平分AC，:上EGC=60°,:△CEG是等邊三角形．（2）理解題意，結(jié)合上下已有的過(guò)程，先結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得出AP平分DABD以及進(jìn)行角的等量代換得DBMN=DPAM，再證明△APM≌△MBN，然后進(jìn)行角的整理，得DAMN=DANM=DNAM=60°,即可作答．【詳解】解：[提出問(wèn)題]:根據(jù)所測(cè)的數(shù)據(jù)得出AM=NM:△AMN是等邊三角形；在CA邊上截取CP=CM，連接PM．:上ABD=120°:AC-CP=BC-CM:AP=BM．QBE平分DABD:DNBM=120°:DCMP=DCPM=60°:DAPM=DNBM:DBMN=DPAM．在△APM和△MBN中，:△APM≌△MBN:AM=MN．:上MAN=上ANMQDAMN+DANM+DNAM=180°:DAMN=DANM=DNAM=60°:△AMN是等邊三角形．（3）在CD上截取CH=CE，證明△DEH≌△FEC，得到DH=∵AB-BE<AE<AB+BE，∵AE=2AD，:CE=AB，:CG=CE，:AF=FE；拓展提升：在CD上截取CH=CE，:△ABC為等邊三角形，:△CEH為等邊三角形，:等邊△DEF，:△DEH≌△FEC(SAS)，:DH=FC，角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出上B=70°,根再結(jié)合DETAC根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出上CDE=7:CD為AB邊上的中線，:CD=AD=BD，:DETAC，:MD=MB；:MN丄BD．形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，AB=8，:△ACE是等邊三角形，【詳解】解：如圖所示，連接DE，CE，:DF=DE，CF=CE，:△FDC為等邊三角形．情況，①點(diǎn)F在線段AH上時(shí)，證明Rt△OHF≌Rt△OGD，得FH=DG=1，則AF=AH-FH=1；②點(diǎn)F在線段CH上時(shí)，同理可證Rt△OHF≌Rt△OGD，得:點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，:OE=OD；①點(diǎn)F在線段AH上時(shí)，在Rt△OHF和Rt△OGD中，:Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)，:AF=AH-FH=1；②點(diǎn)F在線段CH上時(shí)，質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用全等三角形的（2）延長(zhǎng)MP交NC于點(diǎn)F，方法同（1）證明即可．:BMⅡCN，:點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，:PB=PC，:△BPM≌△CPE(ASA)；②由①得△BPM≌△CPE(ASA)，:PE=PM，:PM=PN=PE．延長(zhǎng)MP交NC于點(diǎn)F，如圖所示，:BMⅡFN，:點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，:PB=PC，:△BPM≌△CPF(ASA)；:PF=PM，:PM=PN．【詳解】A．兩個(gè)等邊三角形全等：錯(cuò)誤．等邊三角形對(duì)應(yīng)邊相等且每個(gè)角均為60°,但若C：外角130°對(duì)應(yīng)內(nèi)角為50°,與它不相鄰的內(nèi)角為50°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，另一不個(gè)端點(diǎn)的距離相等等知識(shí)點(diǎn)，由題意得直線DE是AC的垂直平分線，推出FA=FC，【詳解】解：由尺規(guī)作圖知，直線DE是:FA=FC，:上BAF=上FAC-上BAC=12°.直平分線的性質(zhì)及利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理找出各解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DMAP=DMPA,DCPN=DPCN，由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得DBMDBMN+DBNM=132°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：:M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，:AM=PM，PN=CN，:DMAP=DMPA,DCPN=DPCN，:DBMN=2DMPA,DBNM=2DCPN，:DBMN+DBNM=2(DMPA+DCPN)=2(180°-上APC)=132°,:上ABC=180°-(DBMN+DBNM)=48°,質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合題意，作出圖形，由中垂線的判定與性質(zhì)確定A:OP是等腰△APB的角平分線，【詳解】解：∵BF平分DABC，:BD=DF，故選：B．理，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形:AD=BE，故①正確；:DAOB=DACB=60°,故②正確；:ΔACF@ΔBCG(ASA)，:AF=BG，故@正確；過(guò)點(diǎn)C分別作CM丄AD，CN丄BE于點(diǎn)M:ΔACM@ΔBCN(AAS)，:CM=CN，\OC平分7AOE，【詳解】解：由作法可知，MN垂直平分AB，:AE=BE，AD=AB，QVACE的周長(zhǎng)為8，:AB=2AD=10，:點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE丄OF，:DBOC不一定等于DAOB，故②錯(cuò)誤，:點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，:將△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處，故答案為：54°.【詳解】解：:AB∥CD:AC平分DBAD，【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平:AB∥CD，DE=AE，進(jìn)而問(wèn)題可求解．∵點(diǎn)E為AD的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，:DE=AE，故答案為：40°.【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．由作圖可知AD=BD，【詳解】解：由作圖可知MN是BC的垂直平分線，:CD=BD，:上CAP=90°-上BAE=90°-23°=67°,:上ACD=上ACB-上DCB=67°-23°=44°,:上APC=180°-上ACP-上PAC=180°-4故答案為：69°.:CE為AB邊上的中線，:AD為BC邊上的高線，且三角形的三條高線交于一點(diǎn)，:AD為BC邊上的高線，CE為AB邊上的中線，若AB=AC，:AD為BC邊上的高線，:AD為BC邊上的中線，:CE為AB邊上的中線，:SBCE=1SABC,SBEF=:S△BCE=S△ABD，:S△BCE-S四邊形BDFE=S△ABD-S四邊形BDFE，:S△AEF=S△CDF，: