專(zhuān)題01空間向量及其線性運(yùn)算

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量的有關(guān)概念

（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模；

如空間中的位移速度、力等．

（2）幾類(lèi)特殊的空間向量

名稱(chēng)定義及表示

零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱(chēng)為單位向量

相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱(chēng)為a的相反向量，記為a

相等向量方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量

2、空間向量的表示

表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：

（1）幾何表示法：用有向線段AB來(lái)表示，A叫向量的起點(diǎn)，B叫向量的終點(diǎn)；

（2）字母表示法：用a,b,c表示．向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作AB，其模記為a

或AB.

知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算

1、空間向量的加減法

空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類(lèi)似于平面向量的加減法（如下圖）．

1

2、空間向量加減法運(yùn)算律

交換律：abba結(jié)合律：(ab)ca(bc)

小結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

知識(shí)點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．

2：數(shù)乘向量a與向量a的關(guān)系

的范圍a的方向a的模

0a與向量a的方向相同

0a0，其方向是任意的|a||||a|

0a與向量a的方向相反

3、對(duì)數(shù)乘向量a與向量a的關(guān)系的進(jìn)一步理解：

（1）可以把向量a的模擴(kuò)大（當(dāng)||1時(shí)），也可縮?。ó?dāng)||1時(shí)）；可以不改變向量a的方向（當(dāng)0

時(shí)），也可以改變向量a的方向（當(dāng)0時(shí)）．

（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)0時(shí)，a0；當(dāng)0時(shí)，若a0，則a0．

（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，a，a沒(méi)有意義，無(wú)法運(yùn)算．

2

知識(shí)點(diǎn)04：共線向量

1、空間向量共線的充要條件：對(duì)任意兩個(gè)空間向量，，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得

.

2、直線的方向向量：如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)，存

在實(shí)數(shù)，使得.

與向量平行的非零向量稱(chēng)為直線l的方向向量．這樣，直線l任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方

向向量表示，也就是說(shuō)，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定。

3、證明空間三點(diǎn)共線的三種思路：對(duì)于空間三點(diǎn)P、A、B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線

（1）存在實(shí)數(shù)，使成立.

（2）對(duì)空間任一點(diǎn)O，有.

（3）對(duì)空間任一點(diǎn)O，有.

知識(shí)點(diǎn)05：共面向量

1、定義：如圖，如果表示向量的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱(chēng)向量平行與直

線l．如果直線OA平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱(chēng)向量平行于平面．平行于同一個(gè)平面的向量，叫

做共面向量．

2、共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)(x,y)，使pxayb

3、空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使APxAByAC．

3

或者等價(jià)于：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)（P,A,B,C四點(diǎn)共面）的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使OPOAxAByAC，該式稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．

4、拓展

對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，四點(diǎn)P,C,A,B共面（其中C,A,B不共線）的充要條件是OPxOCyOAzOB（其

中xyz1）．

一、單選題

1．（23-24高二上·山東日照·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（）

A．向量AB與BA的長(zhǎng)度相等

B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

2．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列向量與CD是相等向量的是（）

．．．．

AABBBACA1B1DDC

3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O，則下列各結(jié)論中正確的是

（）

A．OAOD與OB1OC1是一對(duì)相反向量

B．OBOC與OA1OD1是一對(duì)相反向量

4

C．OAOBOCOD與OA1OB1OC1OD1是一對(duì)相反向量

D．OA1OA與OC1OC是一對(duì)相反向量

二、多選題

4．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列說(shuō)法正確的有（）

A．設(shè)a,b,c是空間向量，若a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B．若兩個(gè)非零向量AB與CD滿(mǎn)足ABCD0，則AB//CD

C．零向量與任何向量都共線

D．兩個(gè)單位向量一定是相等向量

5．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題是假命題的是（）

A．若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量

B．ABCD的充要條件是A與C重合，B與D重合

C．若向量AB，CD滿(mǎn)足ABCD，且AB與CD同向，則ABCD

D．若兩個(gè)非零向量AB與CD滿(mǎn)足ABCD0，則AB與CD共線

一、單選題

1．（24-25高二上·浙江紹興·期中）在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，(BCBA)D1D運(yùn)算的結(jié)果為（）

uuur

．．．．

AAC1BBDCBD1DD1B

1

2．（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則AF(ABAC)

2

（）

A．EFB．BDC．EFD．BD

3．（24-25高二上·河北·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中

11

點(diǎn)，DE，MN交于F點(diǎn)，則ABACEF（）

22

A．ADB．AFC．FAD．EM

4．（24-25高二下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為

5

uuur

向量的個(gè)數(shù)是（）

AC1

①ABBCCC1；②AA1A1D1D1C1③ABBB1B1C1；④AA1A1B1B1C1．

A．1B．2C．3D．4

5．（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE4AF，則（）

11

A．DFABACAD

44

11

B．DFABACAD

88

11

C．DFABACAD

44

11

D．DFABACAD

88

一、單選題

1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說(shuō)明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（）

A．ABBCACB．ABBCACC．AB2BCD．ABBC

．（高二下福建龍巖期中）已知，，不共面，若，，且

224-25··e1e2e3ABe12e2e3BCe1e2e3A,B,C

三點(diǎn)共線，則（）

A．3B．1C．2D．3

3．（24-25高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿(mǎn)足OPmOAnOB，其中mn1，則（）

A．點(diǎn)P一定在直線AB上B．點(diǎn)P一定不在直線AB上

6

C．點(diǎn)P不一定在直線AB上D．以上答案都不對(duì)

221

4．（24-25高二上·四川·期中）平行六面體ABCDABCD中，AMMC，AMABADAA，則

111113331

實(shí)數(shù)的值為（）

1

A．1B．C．2D．3

2

5．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則①OA2OBOC；②

存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)，m，n，使OAmOBnOC0，那么使①②成立的與mn的值分別為（）

A．1，1B．1，0C．0，1D．0，0

一、單選題

1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A,B,C，且有2OPOAOB2OC，

則（）

A．O,A,B,C四點(diǎn)共面B．P,A,B,C四點(diǎn)共面

C．O,P,B,C四點(diǎn)共面D．O,P,A,B,C五點(diǎn)共面

2．（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是（）

111

A．OM2OAOBOCB．OMOAOBOC

532

C．MA2MBMC0D．OMOAOBOC0

3．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期中）設(shè)a,b,c為空間的一個(gè)基底，OA2a3b5c，OBa2b2c，

OCkab3c，若OA，OB，OC共面，則k（）

1123

A．B．C．D．

4234

4．（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若

5

OPmOAOBOC，則m的值為（）

4

495

A．B．C．D．1

544

5．（24-25高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，

1

ODOAxOByOC(x,y0)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則xy的最大值為（）

2

11

A．B．C．1D．2

816

7

一、單選題

1．（24-25高二上·廣東梅州·期末）如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，下列說(shuō)法錯(cuò)．誤．的是（）

．．．．

AAA1BB1BC1D1ABCDBA1C1DABADAA1AC1

2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且OMOA2xOByOC，

若M，A，B，C四點(diǎn)共面，則2xy的值為（）

A．0B．1C．2D．3

8

3．（24-25高二下·浙江·階段練習(xí)）三個(gè)非零向量a,b,c則“a,b,c共面”是“cab,R”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

1

4．（24-25高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，在四面體ABCD中，E是棱AB上一點(diǎn)，且AEAB,F是

3

棱CD的中點(diǎn)，則EF（）

111111

A．ABACADB．ABACAD

322322

111111

C．ABACADD．ABACAD

322322

5．（24-25高二上·遼寧丹東·期末）在四面體OABC中，OAa，OBb，OCc，點(diǎn)D滿(mǎn)足BDxBC，

111

E為AD的中點(diǎn)，且OEabc，則x（）

236

1112

A．B．C．D．

6323

6．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知點(diǎn)D在VABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，滿(mǎn)足

21

CD2OCxOAyOB，且x0，y0，則的最小值為（）

xy

323932

A．B．2C．D．322

42242

二、多選題

7．（24-25高二上·廣東廣州·期中）給出下列命題，其中正確的命題是（）

A．若ab，則ab或ab

B．若向量a是向量b的相反向量，則ab

C．在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACA1C1

urrurur

D．若空間向量m、n、p滿(mǎn)足m//n，n//p，則m//p

8．（23-24高二·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，則

在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中（）

9

A．單位向量有8個(gè)B．與AB相等的向量有3個(gè)

C．AA1的相反向量有4個(gè)D．模為5的向量有4個(gè)

9．（23-24高二上·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

A．向量a，b，若ab0，則ab