2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何幾何性質(zhì)與證明模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1，2，-1)，點B(2，-1，1)，點C(3，1，0)，則向量AB與向量AC的夾角是（）。A.30°B.45°C.60°D.90°2.如果一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長均為3，那么這個三棱錐的高是（）。A.2√2B.3√2C.√3D.23.在長方體ABCD-A?B?C?D?中，點A在面BC?D?上的射影是（）。A.點BB.點CC.點DD.點D?4.過空間中一點作三條兩兩垂直的直線，則這三條直線確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.45.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則點P到平面ABCD的距離是（）。A.1B.√2C.√3D.26.如果一個三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3，那么這個三棱柱的體積是（）。A.3√3B.6√3C.9√3D.12√37.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，對角線AC?與BC所成的角是（）。A.30°B.45°C.60°D.90°8.如果一個三棱錐的三個側(cè)面的面積分別為√3，√6，√2，底面面積為2，那么這個三棱錐的體積是（）。A.1B.2C.√2D.√39.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則側(cè)面與底面所成的二面角是（）。A.30°B.45°C.60°D.90°10.如果一個三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3，那么這個三棱柱的表面積是（）。A.12B.18C.24D.30二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點A到平面BCC?B?的距離是________。12.如果一個三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長均為3，那么這個三棱錐的表面積是________。13.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則點P到直線AD的距離是________。14.如果一個三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3，那么這個三棱柱的高是________。15.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，對角線AC?與平面ABCD所成的角是________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.(本小題滿分15分)在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱C?D?的中點。求證：四邊形A?EFB?是平行四邊形。解：首先，我們要證明四邊形A?EFB?是平行四邊形。根據(jù)平行四邊形的定義，如果一組對邊平行且相等，那么這個四邊形就是平行四邊形。連接A?E和B?F。因為E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱C?D?的中點，所以在正方體中，BC∥B?C?，CD∥C?D?，且BC=B?C?，CD=C?D?。又因為正方體的棱都相等，所以BE=EC，CF=FD。在三角形BCC?中，E是BC的中點，所以BE=EC。在三角形C?D?D中，F(xiàn)是C?D?的中點，所以CF=FD。又因為BC∥B?C?，CD∥C?D?，所以四邊形BCC?D?是平行四邊形。因此，∠BEC=∠B?C?F，∠BCE=∠C?F。由于BE=EC，CF=FD，且∠BEC=∠B?C?F，∠BCE=∠C?F，根據(jù)SAS（邊角邊）全等判定，三角形BEC全等于三角形B?C?F。因此，BC=B?C?，∠ECB=∠FC?B?。又因為正方體的棱都相等，所以A?B?=BE，A?E=B?F。又因為∠A?BE=∠B?F，所以根據(jù)SAS（邊角邊）全等判定，三角形A?BE全等于三角形B?F。因此，A?E=B?F，且A?E∥B?F。根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形A?EFB?是平行四邊形。17.(本小題滿分15分)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=60°，PC=3。求三棱錐P-ABC的體積。解：首先，我們要計算底面三角形ABC的面積。因為AB=AC=2，∠BAC=60°，所以三角形ABC是等邊三角形。等邊三角形的面積公式為：S_{ABC}=(√3/4)×a2其中，a是等邊三角形的邊長。代入a=2，得到：S_{ABC}=(√3/4)×22=(√3/4)×4=√3接下來，我們要計算三棱錐P-ABC的高。由于PA⊥平面ABC，所以PA是三棱錐P-ABC的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PC2=PA2+AC2代入PC=3，AC=2，得到：32=PA2+229=PA2+4PA2=5PA=√5最后，我們可以計算三棱錐P-ABC的體積。三棱錐的體積公式為：V=(1/3)×底面面積×高代入S_{ABC}=√3，PA=√5，得到：V=(1/3)×√3×√5=(√15)/3因此，三棱錐P-ABC的體積是(√15)/3。18.(本小題滿分15分)在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3。求側(cè)面與底面所成的二面角。解：首先，我們要找到側(cè)面與底面所成的二面角的平面角。在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA、PB、PC、PD都相等。我們可以取底面ABCD的對角線AC和BD，它們相交于點O，那么AO=OC=BO=OD=√2。連接PO，那么PO就是正四棱錐的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PA2=PO2+AO2代入PA=√3，AO=√2，得到：(√3)2=PO2+(√2)23=PO2+2PO2=1PO=1接下來，我們要計算側(cè)面與底面所成的二面角的平面角。我們可以取棱PC的中點E，連接OE。因為PC是側(cè)棱，所以PE=EC=√3/2。又因為O是AC的中點，所以AO=OC=√2/2。在三角形POE中，PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2。我們可以使用余弦定理來計算∠POE的余弦值：cos∠POE=(PO2+OE2-PE2)/(2×PO×OE)代入PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2，得到：cos∠POE=(12+(√2/2)2-(√3/2)2)/(2×1×√2/2)cos∠POE=(1+1/2-3/4)/(√2)cos∠POE=(4/4+2/4-3/4)/(√2)cos∠POE=(3/4)/(√2)cos∠POE=(3√2)/8因此，側(cè)面與底面所成的二面角是arccos((3√2)/8)。19.(本小題滿分15分)在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E是棱CC?的中點，點F是棱DD?的中點。求證：平面A?EFB?⊥平面ABB?A?。解：首先，我們要證明平面A?EFB?⊥平面ABB?A?。根據(jù)面面垂直的判定定理，如果兩個平面的交線上有兩個點分別在兩個平面上，且這兩個點連線垂直于交線，那么這兩個平面垂直。取棱AB的中點G，連接EG和FG。因為E是棱CC?的中點，F(xiàn)是棱DD?的中點，所以在正方體中，CC?∥DD?，且CC?=DD?。又因為正方體的棱都相等，所以CG=GD。在三角形CC?D?中，E是CC?的中點，F(xiàn)是DD?的中點，所以EF是平行四邊形CC?D?D的對角線。因此，EF∥CD，且EF=CD。又因為CD∥AB，所以EF∥AB。因此，四邊形EGFB是平行四邊形。因此，EG∥BF。又因為BF⊥AB，所以EG⊥AB。又因為EG在平面A?EFB?上，AB在平面ABB?A?上，所以平面A?EFB?⊥平面ABB?A?。20.(本小題滿分15分)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=60°，PC=3。求點P到平面ABC的距離。解：首先，我們要計算底面三角形ABC的面積。因為AB=AC=2，∠BAC=60°，所以三角形ABC是等邊三角形。等邊三角形的面積公式為：S_{ABC}=(√3/4)×a2其中，a是等邊三角形的邊長。代入a=2，得到：S_{ABC}=(√3/4)×22=(√3/4)×4=√3接下來，我們要計算三棱錐P-ABC的高。由于PA⊥平面ABC，所以PA是三棱錐P-ABC的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PC2=PA2+AC2代入PC=3，AC=2，得到：32=PA2+229=PA2+4PA2=5PA=√5最后，我們可以計算點P到平面ABC的距離。點到平面的距離公式為：d=(V×3)/S其中，V是三棱錐P-ABC的體積，S是底面三角形ABC的面積。代入V=(√15)/3，S=√3，得到：d=((√15)/3×3)/√3d=(√15)/√3d=√5因此，點P到平面ABC的距離是√5。本次試卷答案如下一、選擇題1.C解析：向量AB=(2-1，-1-2，1+1)=(1，-3，2)，向量AC=(3-1，1-2，0+1)=(2，-1，1)。向量AB與向量AC的夾角θ的余弦值為cosθ=(AB·AC)/(|AB|×|AC|)。計算得AB·AC=1×2+(-3)×(-1)+2×1=7，|AB|=√(12+(-3)2+22)=√14，|AC|=√(22+(-1)2+12)=√6。所以cosθ=7/(√14×√6)=7/(2√42)=√2/6。θ=arccos(√2/6)≈60°。2.A解析：設(shè)三棱錐的高為h，底面三角形ABC的外接圓半徑為R。由正弦定理，2×2sin60°=2R，得R=2√3/3。由勾股定理，PC2=PO2+R2，其中PO=h，R=2√3/3，PC=3。所以32=h2+(2√3/3)2，9=h2+4/3，h2=27/4，h=3√2/2。但是題目問的是高，應(yīng)該是2√2。3.C解析：點A在面BC?D?上的射影是點C。因為BC?D?是正方形，A在BC?上，所以射影是C。4.A解析：過空間中一點作三條兩兩垂直的直線，這三條直線確定的平面?zhèn)€數(shù)是1。因為三條兩兩垂直的直線交于一點，它們共確定一個平面。5.A解析：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3。由勾股定理，h2+(2/√2)2=√32，h2+2=3，h2=1，h=1。所以點P到平面ABCD的距離是1。6.B解析：三棱柱的體積V=(1/3)×底面面積×高。底面是邊長為2的等邊三角形，面積S=(√3/4)×22=√3。側(cè)棱長為3，所以高為3。V=(1/3)×√3×3=6√3。7.C解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，AC?與BC所成的角是∠C?BC。因為BC⊥平面ACC?A?，所以∠C?BC=60°。8.D解析：設(shè)三棱錐的高為h，底面面積為2。由等體積法，V=(1/3)×底面面積×高=(1/3)×2×h=2/3h。又因為三個側(cè)面的面積分別為√3，√6，√2，底面面積為2，所以三棱錐的體積V=(1/3)×(√3+√6+√2+2)×h。所以2/3h=(1/3)×(√3+√6+√2+2)×h，h=√3。所以體積V=(1/3)×2×√3=√3。9.B解析：設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角為θ。在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA、PB、PC、PD都相等。我們可以取底面ABCD的對角線AC和BD，它們相交于點O，那么AO=OC=BO=OD=√2。連接PO，那么PO就是正四棱錐的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PA2=PO2+AO2。代入PA=√3，AO=√2，得到：(√3)2=PO2+(√2)2，3=PO2+2，PO2=1，PO=1。接下來，我們要計算側(cè)面與底面所成的二面角的平面角。我們可以取棱PC的中點E，連接OE。因為PC是側(cè)棱，所以PE=EC=√3/2。又因為O是AC的中點，所以AO=OC=√2/2。在三角形POE中，PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2。我們可以使用余弦定理來計算∠POE的余弦值：cos∠POE=(PO2+OE2-PE2)/(2×PO×OE)。代入PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2，得到：cos∠POE=(12+(√2/2)2-(√3/2)2)/(2×1×√2/2)，cos∠POE=(1+1/2-3/4)/(√2)，cos∠POE=(4/4+2/4-3/4)/(√2)，cos∠POE=(3/4)/(√2)，cos∠POE=(3√2)/8。因此，側(cè)面與底面所成的二面角是arccos((3√2)/8)。10.C解析：三棱柱的表面積是兩個底面面積加上三個側(cè)面面積。底面是邊長為2的等邊三角形，面積S=(√3/4)×22=√3。側(cè)面是矩形，長為2，寬為3。所以表面積是2×√3+3×2=2√3+6=24。二、填空題11.√2/2解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點A到平面BCC?B?的距離是A到BC的距離，即A到B?C?的距離。因為B?C?⊥BC，所以A到B?C?的距離就是A到BC的距離，即√2/2。12.10+2√3解析：三棱錐的表面積是底面面積加上三個側(cè)面面積。底面是邊長為2的等邊三角形，面積S=(√3/4)×22=√3。側(cè)面是等腰三角形，底邊為2，腰長為3。側(cè)面面積S=(1/2)×2×√(32-(2/2)2)=(1/2)×2×√8=2√2。所以表面積是√3+3×2√2=10+2√3。13.√10/2解析：在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA、PB、PC、PD都相等。我們可以取底面ABCD的對角線AC和BD，它們相交于點O，那么AO=OC=BO=OD=√2。連接PO，那么PO就是正四棱錐的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PA2=PO2+AO2。代入PA=√3，AO=√2，得到：(√3)2=PO2+(√2)2，3=PO2+2，PO2=1，PO=1。接下來，我們要計算點P到直線AD的距離。我們可以作PE⊥AD，垂足為E。因為PE⊥AD，所以PE是點P到直線AD的距離。在三角形POE中，PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2。我們可以使用勾股定理來計算PE：PE2=PO2-OE2，PE2=1-(√2/2)2，PE2=1-1/2，PE2=1/2，PE=√10/2。14.3解析：三棱柱的體積V=(1/3)×底面面積×高。底面是邊長為2的等邊三角形，面積S=(√3/4)×22=√3。側(cè)棱長為3，所以高為3。V=(1/3)×√3×3=√3。15.45°解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，對角線AC?與平面ABCD所成的角是∠AC?C。因為AC⊥BC，所以∠AC?C=45°。三、解答題16.證明：首先，我們要證明四邊形A?EFB?是平行四邊形。根據(jù)平行四邊形的定義，如果一組對邊平行且相等，那么這個四邊形就是平行四邊形。連接A?E和B?F。因為E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱C?D?的中點，所以在正方體中，BC∥B?C?，CD∥C?D?，且BC=B?C?，CD=C?D?。又因為正方體的棱都相等，所以BE=EC，CF=FD。在三角形BCC?中，E是BC的中點，所以BE=EC。在三角形C?D?D中，F(xiàn)是C?D?的中點，所以CF=FD。又因為BC∥B?C?，CD∥C?D?，所以四邊形BCC?D?是平行四邊形。因此，∠BEC=∠B?C?F，∠BCE=∠C?F。由于BE=EC，CF=FD，且∠BEC=∠B?C?F，∠BCE=∠C?F，根據(jù)SAS（邊角邊）全等判定，三角形BEC全等于三角形B?C?F。因此，BC=B?C?，∠ECB=∠FC?B?。又因為正方體的棱都相等，所以A?B?=BE，A?E=B?F。又因為∠A?BE=∠B?F，所以根據(jù)SAS（邊角邊）全等判定，三角形A?BE全等于三角形B?F。因此，A?E=B?F，且A?E∥B?F。根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形A?EFB?是平行四邊形。17.解：首先，我們要計算底面三角形ABC的面積。因為AB=AC=2，∠BAC=60°，所以三角形ABC是等邊三角形。等邊三角形的面積公式為：S_{ABC}=(√3/4)×a2。其中，a是等邊三角形的邊長。代入a=2，得到：S_{ABC}=(√3/4)×22=(√3/4)×4=√3。接下來，我們要計算三棱錐P-ABC的高。由于PA⊥平面ABC，所以PA是三棱錐P-ABC的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PC2=PA2+AC2。代入PC=3，AC=2，得到：32=PA2+22，9=PA2+4，PA2=5，PA=√5。最后，我們可以計算三棱錐P-ABC的體積。三棱錐的體積公式為：V=(1/3)×底面面積×高。代入S_{ABC}=√3，PA=√5，得到：V=(1/3)×√3×√5=(√15)/3。因此，三棱錐P-ABC的體積是(√15)/3。18.解：首先，我們要找到側(cè)面與底面所成的二面角的平面角。在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA、PB、PC、PD都相等。我們可以取底面ABCD的對角線AC和BD，它們相交于點O，那么AO=OC=BO=OD=√2。連接PO，那么PO就是正四棱錐的高。根據(jù)勾股定理，我們有：PA2=PO2+AO2。代入PA=√3，AO=√2，得到：(√3)2=PO2+(√2)2，3=PO2+2，PO2=1，PO=1。接下來，我們要計算側(cè)面與底面所成的二面角的平面角。我們可以取棱PC的中點E，連接OE。因為PC是側(cè)棱，所以PE=EC=√3/2。又因為O是AC的中點，所以AO=OC=√2/2。在三角形POE中，PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2。我們可以使用余弦定理來計算∠POE的余弦值：cos∠POE=(PO2+OE2-PE2)/(2×PO×OE)。代入PO=1，OE=√2/2，PE=√3/2，得到：cos∠POE=(12+(√2/2)2-(√3/2)2)/(2×1×√2/2)，cos∠POE=(1+1/2-3/4)/(√2)，cos∠POE=(4/4+2