專題09等差等比數(shù)列性質(zhì)

內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：等差數(shù)列定義判斷

題型二：等比數(shù)列定義判斷

題型三：等差等比“糾纏數(shù)列”

題型四：等差數(shù)列中的“高斯技巧”

題型五：等比數(shù)列中的“高斯技巧”

題型六：等差數(shù)列雙“和”比值型

題型七：等比數(shù)列比值型

題型八：等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值型

題型九：等比數(shù)列與函數(shù)關(guān)系

題型十：等差數(shù)列奇、偶數(shù)項(xiàng)和

題型十一：等差數(shù)列正負(fù)項(xiàng)符號(hào)判斷

題型十二：等比數(shù)列“1的平衡點(diǎn)”判斷

題型十三：等差等比綜合型

?第二層能力提升練

?第三層高考真題練

鞏固提升練

題型01等差數(shù)列定義判斷

技巧積累與運(yùn)用

?

.方法解讀適合題型

定義法，*為同一常數(shù)?是等差數(shù)列

anan－1(n2nN){an}

，*成立?是等差數(shù)列解答題中的證明問題

等差中項(xiàng)法2an－1anan－2(n3nN){an}

＋，為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)都成立

anpnq(pqn

通項(xiàng)公式法

?是等差數(shù)列

{an}

選擇、填空題中的判

驗(yàn)證SAn2Bn(A，B為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)n都成立定問題

前n項(xiàng)和公式法n

?

{an}是等差數(shù)列

ak1ak2a2k11

1．?dāng)?shù)列{an}滿足，a11，amnaman，若22...2264，則k=（）

A．3B．4C．5D．6

2．在數(shù)列an中，a12,a2a，且an1an3n2(n2,nN)，若數(shù)列an單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為（）

1

55

A．（2，）B．（2，3）C．（，4）D．（2，4）

22

121

3．?dāng)?shù)列an滿足a12,a21并且(n2)，則數(shù)列an的第100項(xiàng)為（）

an1anan1

1111

A．B．C．D．

100502100250

題型02等比數(shù)列定義判斷

技巧積累與運(yùn)用

?

等比數(shù)列判定方法

an＋1

(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證＝q(q≠0的常數(shù))數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

an

2*

(2)等比中項(xiàng)法：即證an＋1＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N)數(shù)列{?an}是等比數(shù)列．

?

為奇數(shù)

an1,n*2π

1．設(shè)數(shù)列a滿足a1，a22，anN，令blogasina，則數(shù)列

n1n2為偶數(shù)n22n2n1

2an,n2

bn的前100項(xiàng)和為（）

A．4950B．5000C．5050D．5250

2．若數(shù)列an和bn滿足a1b11，2an1an3bn4，2bn13anbn4，則b2025a2024（）

A．220232B．220242C．220252D．220262

*

3．已知數(shù)列an中，a11,an3an14（nN且n2，則數(shù)列an通項(xiàng)公式an為（）

A．3n1B．3n18

C．3n2D．3n

題型03等差等比“糾纏數(shù)列”

技巧積累與運(yùn)用

?

糾纏數(shù)列

等差數(shù)列某些項(xiàng)（包括復(fù)合型）成等比，或者等比數(shù)列某些項(xiàng)成等差，稱之為“糾纏數(shù)列。糾纏數(shù)列處理

思維

1.如果是等差數(shù)列中某些項(xiàng)成等比，則設(shè)公差和首項(xiàng)，解方程

2.如果是等比數(shù)列中某些項(xiàng)成等差，則設(shè)公比和首項(xiàng)，解方程

ca

1．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)nbn，

TccLcnN，則當(dāng)T2022時(shí)，n的最大值是（）．

n12{??}nn{??}

A．9B．10C．11D．12

2．設(shè)有四個(gè)數(shù)的數(shù)列為a1，a2，a3，a4，前三個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其和為k；后三個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差

數(shù)列，其和為9，且公差非零.對(duì)于任意固定的k，若滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1，則k應(yīng)滿足（）.

2

A．12k27B．12k27C．12k27D．其他條件

3．設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝2，S7＝35，將a3，a7，a11，a15中去掉一項(xiàng)后，剩下的三

項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)，則數(shù)列anbn的前10項(xiàng)的和T10＝（）

A．10212B．9212C．11212D．12212

題型04等差數(shù)列中的“高斯技巧”

技巧積累與運(yùn)用

?

等差數(shù)列“高斯計(jì)巧”

amanapaq

若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則

，，，*

akak＋mak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(kmN)．

，－，－2

4.SnS2nSnS3nS2n，…也成等差數(shù)列，公差為nd．

1．在等差數(shù)列an中，a2a57,a7a1025，則a6（）

A．6B．7C．8D．9

2．已知數(shù)列an是等差數(shù)列，m，n都是正整數(shù)，則“mn10”是“anam2a5”的（）

A．充要條件B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件

3．已知m和2n的等差中項(xiàng)是4，2m和n的等差中項(xiàng)是5，則2mn和2nm的等差中項(xiàng)是（）

A．8B．6C．4.5D．3

題型05等比數(shù)列中的“高斯技巧”

技巧積累與運(yùn)用

?

等比數(shù)列“高斯技巧”

2

（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak；

k

(2)“跳項(xiàng)”等比：數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為q.

n

(3)“和項(xiàng)”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__q__.

11111

111

1．在等比數(shù)列an中，a1a2a3a4a5，a3，則（）

44a1a2a3a4a5

6416

A．44B．C．D．11

1111

2．設(shè)an是等比數(shù)列，且a1a2a31,a2a3a42，則a6a7a8（）

A．12B．24C．30D．32

3．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a4a102a8，則log2a1a2a10a11等于（）

A．210B．211C．11D．10

3

題型06等差數(shù)列雙“和”比值型

技巧積累與運(yùn)用

?

aS

若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則m2m1

{an}{bn}nSnSn'.還要注意這類題啊，上下項(xiàng)數(shù)

bmS'2m1

如果不同時(shí)的轉(zhuǎn)化計(jì)算。

S3n39a

且nn

1．已知等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的值

Tnn3bn

為（）

A．2B．3C．5D．14

S3n1aa

，n28

2．已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為SnTn，若，則（）

Tn5n7b1b2b6

2828

A．B．C．28D．

91427

9

S2n7aaa

n21120

3．等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則（）

Tn23n6b5b19

1617497

A．B．C．D．

1509466

題型07等比數(shù)列比值型

S1S

312

1．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（）

S64S3S6

4

A．B．8C．9D．16

3

S2S

39

2．記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（）

S69S6

267654

A．B．C．D．

918169

Sa

n3

3．已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且2n1，則（）

Tnb5

A．9B．10C．11D．12

題型08等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值型

技巧積累與運(yùn)用

?

在等差數(shù)列{an}中

4

a

，m

（1）若a10d0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；

am1

a

，m

（2）若a10d0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm．

am1

a10

即若，則Sn有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；

d0

a10

若，則Sn有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．

d0

1．若an是等差數(shù)列，Sn表示an的前n項(xiàng)和，a3a80，S90，則Sn中最小的項(xiàng)是（）

A．S3B．S5C．S4D．S6

2．已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，公差為d.若a10,S180，則（）

A．d0B．S7S11

C．S200D．Sn無最大值

3．已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a121，S7S15，則Sn的最小值為（）

A．99B．100C．110D．

121

題型09等比數(shù)列與函數(shù)關(guān)系

技巧積累與運(yùn)用

?

等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

n-1x-1

(1)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an＝a1q，通項(xiàng)an為指數(shù)函數(shù)：即an＝a1q；

a(1qn)aa

S111qnrrqn

nn

(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn＝1q1q1q，Sn為rrq型線性指數(shù)函數(shù)。

（3）借助函數(shù)性質(zhì)（或者不等式均值等性質(zhì)）求等比數(shù)列最值時(shí)，要注意自變量n是離散型

，

1．等比數(shù)列an的公比為qa10，則“an2an”是“q1”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

2．設(shè)命題p：若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，則點(diǎn)P(n,an)必在一次函數(shù)圖象上；命題q：若正項(xiàng)數(shù)

列an是公比不為1的等比數(shù)列，則點(diǎn)Q(n,an)必在指數(shù)函數(shù)圖象上.下列說法正確的是（）

A．p、q均為真命題B．p、q均為假命題

C．p真q假D．p假q真

1

**

3．等比數(shù)列annN滿足a4，公比為2，數(shù)列bnnN滿足bnan2an，下列說法錯(cuò)誤的是（）

2

A．a(chǎn)n為遞增數(shù)列B．bn為遞增數(shù)列

5

C．bn中最小項(xiàng)的值為1D．n3bnan0

題型10等差數(shù)列奇、偶數(shù)項(xiàng)和

技巧積累與運(yùn)用

?

設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，

{an}d

1.若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則

S奇an

①S奇-S偶nd；②；

S偶an1

2.若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n1項(xiàng)，則

S奇n

①中間項(xiàng)；②

S偶S奇ana中().

S偶n1

1．設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，則其奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（）

n12n12n1n1

A．B．C．D．

nn2nn1

2．已知等差數(shù)列an的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，且BA45，2AB615，則an

（）

A．3n2B．3n1C．3n1D．3n2

3．已知等差數(shù)列an共有2n+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an1的值為（）．

A．30B．29C．28D．27

題型11等差數(shù)列正負(fù)項(xiàng)符號(hào)判斷

技巧積累與運(yùn)用

?

在處理等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為判定an的符號(hào)變化：

ak0

①若a10,d0，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)Sk最大；

ak10

ak0

②若a10,d0，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)Sk最??；

ak10

ak0

③若Sk最大，則.

ak10

1．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann13，若滿足akak1ak19m的整數(shù)k恰有2個(gè)，則m可取到的

值有（）

A．有3個(gè)B．有2個(gè)C．有1個(gè)D．不存在

6

a

9

2．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a10,1，則使Sn0的最小的n的值為（）

a10

A．17B．18C．19D．20

3．已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a70，a6a90，則（）

A．?dāng)?shù)列an為遞增數(shù)列B．a(chǎn)80

C．Sn的最大值為S7D．S140

題型12等比數(shù)列“1的平衡點(diǎn)”判斷

技巧積累與運(yùn)用

?

等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”型不等式

等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”型不等式，主要從以下幾個(gè)性質(zhì)思考：

2

1.若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak

2.如果等比數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，則若p＋q>m＋n，則ap·aq>am·an.

1．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，并且滿足條件：，.

給出下列結(jié)論：（1）；（2）（3）的值是中最大的；（4）使

成立的最大自然數(shù)等于4030.其中正確的結(jié)論為

A．（1）,（3）B．（2）,（3）C．（2）,（4）D．（1）,（4）

a1

2019

2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為Tn，并且滿足條件：a11，a2019a20201，0，給

a20201

出下列結(jié)論：①0q1；②a2019a202110；③T2019是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)；④使Tn1成立的最大自

然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A．①②B．①③C．①③④D．①②③④

a1

2016

3．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為Tn，并且滿足條件：a11，a2016a20171，0，給

a20171

出下列結(jié)論：（1）0q1；（2）a2016a201810；（3）T2016是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng)；（4）使Tn1成立

的最大自然數(shù)等于4031，其中正確的結(jié)論為

A．（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）

題型13等差等比綜合型

1．對(duì)于數(shù)列an，若存在M0，使得對(duì)任意nN，有a2a1a3a2an1anM，則稱an為

“有界變差數(shù)列”．給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若等差數(shù)列an為“有界變差數(shù)列”，則an的公差d等于0；

②若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an為“有界變差數(shù)列”，則其公比q的取值范圍是；

1

③若數(shù)列x是“有界變差數(shù)列”，y滿足y，則xy是“有界變差數(shù)列”；0,1

nnn2nnn

7

xn

④若數(shù)列xn是“有界變差數(shù)列”，yn滿足yn2n，則是“有界變差數(shù)列”；

yn

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

3．已知等差數(shù)列an（公差不為零）和等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程

22

2021xS2021xT20210有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程xaixbi0i1,2,3,,2021中，無實(shí)數(shù)解的

方程最多有（）

A．1008個(gè)B．1009個(gè)C．1010個(gè)D．1011個(gè)

4．已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1a21，an2an13an2（n3），則下列結(jié)論正確的是（）

A．?dāng)?shù)列anan1為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列an12an為等比數(shù)列

n1n1

12031

C．S4031D．a(chǎn)

4n2

能力培優(yōu)2多4填空

*22

1．設(shè)an是各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列，若對(duì)于nN，an1and（d：為非零常數(shù)），則稱數(shù)列an為等方

差數(shù)列．那么（）

2

A．若an是等方差數(shù)列，則an是等差數(shù)列

B．?dāng)?shù)列2n為等方差數(shù)列

C．若an是等方差數(shù)列，則數(shù)列an1an中存在小于1的項(xiàng)

n1

D．若an是等方差數(shù)列，則存在正整數(shù)n，使得2024

i1ai

3

2．已知等比數(shù)列a的公比為q，前n項(xiàng)和S0，設(shè)baa，記b的前n項(xiàng)和為Tn，則下列判

nnnn22n1n

斷正確的是（）

A．若q1，則TnSnB．若q2，則TnSn

13

C．若q，則TSD．若q，則TS

4nn4nn