高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的概念在同一個自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中,往往有幾個變量同時變化。而這幾個變量并不是彼此孤立變化的,而是相互有聯(lián)系,遵從一定規(guī)律變化的?，F(xiàn)在考慮兩個變量的簡單情形。兩個變量之間的依賴關(guān)系:當(dāng)其中一個變量在某一范圍內(nèi)取定一個值時,另一個變量就按一定的法則有一個確定的值與之對應(yīng)。兩個變量之間的這種對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實質(zhì)。下面給出函數(shù)的定義。

定義設(shè)x和y是兩個變量,D是一個給定的數(shù)集。如果對于每一個x∈D,變量y按照一定的法則(或關(guān)系)總有唯一確定的數(shù)值與它對應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記為y=f(x)。x稱為自變量,y稱為因變量(或函數(shù)),數(shù)集D稱為這個函數(shù)的定義域,而因變量y的變化范圍稱為函數(shù)f(x)的值域。函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f也可以用φ、F等其他字母表示,此時函數(shù)記作y=φ(x)、y=F(x)等。第一節(jié)函數(shù)的概念在實際問題中,函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的,如在例1中,定義域D={r|r∈(0,+∞)};在例2中,定義域D={t|t∈[0,T]}。如果不考慮函數(shù)的實際意義,而抽象地研究用算式表達的函數(shù),則函數(shù)的定義域就是自變量所能取得的使算式有意義的一切實數(shù)值。例如,函數(shù)的定義域是(-2,1)∪(1,2)。由于函數(shù)的對應(yīng)法則是多種多樣的,一般表示一個函數(shù)主要采用解析法、表格法和圖示法。這幾種方法在中學(xué)都比較熟悉了。以上的例1和例2采用的就是解析法,例3采用的是表格法。在高等數(shù)學(xué)中還常常用到分段函數(shù),即用幾個式子分段來表示一個函數(shù)。下面舉幾個分段函數(shù)的例子。第一章函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)1.單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D。如果對區(qū)間I上的任意兩點x1和x2,當(dāng)x1<x2時總有不等式f(x1)<f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(見圖1-4);若當(dāng)x1<x2時總有不等式f(x1)>f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的(見圖1-5)。單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。從圖形上看,單調(diào)增加函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右上升,單調(diào)減少函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右下降。第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)例如,函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增加的,在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)減少的;在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)=x2不是單調(diào)的(見圖1-6)。又如,函數(shù)y=x3在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的(見圖1-7)。第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)2.奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點是對稱的,且對于任何x∈D,恒有f(-x)=f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù);如果恒有f(-x)=-f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。從函數(shù)圖形上看,偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對稱的,奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點對稱的(見圖1-8)。例如,對于函數(shù)y=x3,由于f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以它是奇函數(shù);而對于函數(shù)y=x4,由于f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以它是偶函數(shù)。一般,x的奇次冪是奇函數(shù),x的偶次冪是偶函數(shù)。第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)除了奇函數(shù)和偶函數(shù)以外,還存在大量的非奇非偶函數(shù)。可以證明,任一個在對稱區(qū)間(-a,a)上有定義的函數(shù)一定能寫成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和。實際上,令則容易驗證,f(x)=f1(x)+f2(x),并且f1(x)是偶函數(shù),f2(x)是奇函數(shù)。讀者還可自行證明:兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù),兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。第二節(jié)函數(shù)的簡單性質(zhì)3.周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在非零數(shù)l,使得對于任意的x∈D,有x±l∈D,且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期。通常我們所說的周期指的是最小正周期。例如,正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx都是周期函數(shù),其最小正周期均為2π.正切函數(shù)y=tanx也是周期函數(shù),其最小正周期為π.4.有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,I?D,如果存在正數(shù)M,使得對任意x∈I,有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界。如果這樣的正數(shù)M不存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界。函數(shù)無界是指對于無論多么大的正數(shù)M,總存在x1∈I,使得|f(x1)|>M。若存在常數(shù)K1,使得對任意x∈I,有f(x)≤K1,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有上界,而常數(shù)K1稱為函數(shù)f(x)的一個上界;如果存在常數(shù)K2使得f(x)≥K2,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有下界,而常數(shù)K2稱為函數(shù)f(x)的一個下界。關(guān)于函數(shù)有界性,有結(jié)論:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界的充分必要條件是它在該區(qū)間上既有上界又有下界。讀者可自行證明此結(jié)論。第一章函數(shù)第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)1.反函數(shù)在自由落體運動過程中,物體下落距離h可表示為時間t的函數(shù):,在其定義域內(nèi)任意確定一個時刻t,即可由該函數(shù)得到下落的距離h。如果考慮此問題的逆問題,即已知下落距離h,求時間t。此時有.在這里,原來的因變量和自變量進行了交換,這樣將自變量和因變量交換所得到的新函數(shù)稱為原來函數(shù)的反函數(shù)。一般地,對于函數(shù)y=f(x),若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時,變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)有一值x0與之對應(yīng),即f(x0)=y0,則變量x是變量y的函數(shù),把這個函數(shù)用x=φ(y)表示,稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)。相對于反函數(shù)x=φ(y),原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù)。顯然,如果x=φ(y)是y=f(x)的反函數(shù),那么y=f(x)也是x=φ(y)的反函數(shù)。習(xí)慣上,我們把自變量用x表示,因變量用y表示,可將x=φ(y),寫成y=φ(x)。由于函數(shù)的實質(zhì)是自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)系,至于x和y僅僅是記號而己,x=φ(y)和y=φ(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的符號φ并沒有改變,它們實質(zhì)上是同一個函數(shù)。第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)下面分析互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖形的關(guān)系。如圖1-9所示。y=f(x)與x=φ(y)在同一坐標(biāo)系中的圖形是同一曲線。若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=φ(x),則對函數(shù)y=f(x)圖形上的任一點P(a,b),有b=f(a),因而a=φ(b),即反函數(shù)y=φ(x)的圖形上必有一點Q(b,a)與P(a,b)對應(yīng)。而P、Q兩點是關(guān)于直線y=x對稱的(即直線y=x垂直平分線段PQ)。同樣可以說,反函數(shù)y=φ(x)圖形上的任一一點也必有函數(shù)y=f(x)圖形上的一點與之對應(yīng),并且這兩點同樣是關(guān)于直線y=x對稱的。因此,我們可以得到關(guān)于反函數(shù)圖形的一條性質(zhì):在同一個坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)y=φ(x)的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)在實際問題中,經(jīng)常會遇到一個函數(shù)和另一個函數(shù)發(fā)生聯(lián)系。例如,球的體積V是其半徑的函數(shù):,由于熱脹冷縮,隨著溫度的改變,球的半徑也會發(fā)生變化,根據(jù)物理學(xué)知道,半徑r隨溫度T變化的規(guī)律是r=r0(1+αT),其中,r0、α為常數(shù),將這個關(guān)系代入球的體積公式,即得到體積V與溫度T的函數(shù)關(guān)系這種將一個函數(shù)代入另一個函數(shù)而得到的函數(shù)稱為上述兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。一般地,若y是u的函數(shù)y=f(u),其定義域為D(f),同時u又是x的函數(shù)u=φ(x),它的值域為R(φ),則當(dāng)D(f)和R(φ)的交集非空時,可以確定一個函數(shù)y=f(u)=f[φ(x)],這個函數(shù)稱為由y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。在復(fù)合函數(shù)的定義中,為什么要求y=f(u)的定義域和u=φ(x)的值域的交集非空?請讀者自行說明。例如,設(shè)y=cosu,u=x2,則由這兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)為y=cosx2,它的定義域為(-∞,+∞)。又如,由三個函數(shù)y=cosμ,μ=ν2,ν=x+1復(fù)合而成的函數(shù)是y=cos(x+1)2,它的定義域為(-∞,+∞)。需要注意的是,有些函數(shù)是不能復(fù)合的,例如,函數(shù)y=lnu,u=-x2就不能復(fù)合。這是因為,函數(shù)y=lnx的定義域為(0,+∞),而函數(shù)u=-x2的值域為(-∞,0],二者的交集為空集,根據(jù)上面的說明,這兩個函數(shù)無法復(fù)合。第一章函數(shù)第四節(jié)初等函數(shù)第四節(jié)初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù)?；境醯群瘮?shù)在函數(shù)研究中起著基礎(chǔ)的作用,因此,對這幾種函數(shù)的定義、圖形、主要性質(zhì)要十分熟悉,我們在這里將它們的主要性質(zhì)簡單總結(jié)一下,以便今后做進一步討論。1.冪函數(shù)形如y=xμ(μ是常數(shù))的函數(shù)稱為冪函數(shù)。冪函數(shù)的定義域與μ值有關(guān)。當(dāng)μ為正整數(shù)時,冪函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),當(dāng)μ為負(fù)整數(shù)時,冪函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)。對于所有的實數(shù)μ,冪函數(shù)y=xμ具有公共的定義域(0,+∞)。當(dāng)μ為偶數(shù)時,冪函數(shù)y=xμ是偶函數(shù);當(dāng)μ為奇數(shù)時,冪函數(shù)y=xμ為奇函數(shù)。當(dāng)μ>0時,冪函數(shù)y=xμ在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加;當(dāng)μ<0時,冪函數(shù)y=xμ在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)減少。當(dāng)μ取不同值時,冪函數(shù)y=xμ的圖形如圖1-10、圖1-11和圖1-12所示。第四節(jié)初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)形如y=ax(a是常數(shù)且a>0,a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),由于對任意實數(shù)值x,總有ax>0,且a0=1,因此指數(shù)函數(shù)的圖形總在x軸上方,且通過點(0,1)。當(dāng)a>1時,指數(shù)函數(shù)y=ax單調(diào)增加,且a的值越大,函數(shù)增加的速度越快;當(dāng)0<a<1時,指數(shù)函數(shù)y=ax單調(diào)減少,且a的值越小,函數(shù)減少的速度越快。在高等數(shù)學(xué)中,常常用到指數(shù)函數(shù)的如下性質(zhì):特別地,特別地,

,這表明指數(shù)函數(shù)具有一個基本特征,就是當(dāng)自變量增加一個固定的量c時,函數(shù)值總是增加現(xiàn)有值的一個固定的倍數(shù)b=ac。在今后的學(xué)習(xí)中,我們用得最多的指數(shù)函數(shù)是y=ex,其中e為常數(shù),其值為e=2.7182818…,它的意義將在以后加以說明。第四節(jié)初等函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù),記為y=logax(a是常數(shù)且a>0,a≠1)。對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+∞),根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域知,y=logax的圖形總在y軸的右方,且通過點(1,0)。因為對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)互為反函數(shù),故它的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱。當(dāng)a>1時,在區(qū)間(0,1)內(nèi),y的值為負(fù),此時圖形位于x軸下方,而在區(qū)間(1,+∞),y值為正,此時圖形位于x軸上方。在其定義域內(nèi),對數(shù)函數(shù)y=logax是單調(diào)增加的。當(dāng)0<a<1時,在區(qū)間(0,1),y的值為正,此時圖形位于x軸上方,而在區(qū)間(1,+∞),y值為負(fù),此時圖形位于x軸下方。在其定義域內(nèi),對數(shù)函數(shù)y=logax是單調(diào)減少的。圖1-14描繪了對數(shù)函數(shù)y=logax和y=loga-1x的圖形。第四節(jié)初等函數(shù)以后會經(jīng)常遇到以e為底的對數(shù)函數(shù)y=logex,稱為自然對數(shù)函數(shù),簡記為y=lnx。4.三角函數(shù)三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。自然界中有很多現(xiàn)象都可用三角函數(shù)來描述,如簡諧振動、交流電等。三角函數(shù)有正弦函數(shù)sinx、余弦函數(shù)cosx、正切函數(shù)tanx、余切函數(shù)cotx、正割函數(shù)secx、余割函數(shù)cscx,它們都是周期函數(shù)。高等數(shù)學(xué)中常常用到三角函數(shù)的如下性質(zhì):第四節(jié)初等函數(shù)正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx的定義域均為(-∞,+∞),周期均為2π,正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù),它們的圖形見圖1-15和圖1-16所示。正切函數(shù)tanx的定義域為,周期為π,是奇函數(shù);余切函數(shù)cotx的定義域為{x|x∈R,x≠nπ,n∈Z}周期為π,是奇函數(shù),它們的圖形如圖1-17和圖1-18所示。第四節(jié)初等函數(shù)正割函數(shù)secx是余弦函數(shù)cosx的倒數(shù),余割函數(shù)cscx是正弦函數(shù)sinx的倒數(shù),即secx=,cscx=。它們都是以2π為周期的周期函數(shù)。5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)。三角函數(shù)sinx、cosx、tanx、cotx的反函數(shù)依次為反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切函數(shù)y=arctanx、反余切函數(shù)y=arccotx。其圖形分別如圖1-19、圖1-20、圖1-21和圖1-22所示。為了避免多值性,對它們的值域進行限制,可使其成為單值函數(shù)。對于y=arcsinx,把其值域限制在區(qū)間上,稱為反正弦函數(shù)的主值,記為y=arcsinx,通常也把它稱為反正弦函數(shù)。它是定義在[-1,1]上的單值函數(shù),在[-1,1]上是單調(diào)增加的,其取值范圍是,其圖形為圖1-19中的實線部分。將y=arccosx的值域限制在區(qū)間[0,π]上,稱為反余弦函數(shù)的主值,記為y=arccosx,也稱為反余弦函數(shù)。它是定義在區(qū)間[-1,1]上的單值函數(shù),在[-1,1]上是單調(diào)減少的。其圖形為圖1-20中的實線部分。第四節(jié)初等函數(shù)類似地,反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的主值分別簡稱為反正切函數(shù)和反余切函數(shù),它們的簡單性質(zhì)如下:反正切函數(shù)y=arctanx的定義域為(-∞,+∞),值域為,在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加,其圖形為圖1-21中的實線部分。反余切函數(shù)y=arccotx的定義域為(-∞,+∞),值域為(0,π),在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)減少,其圖形為圖1-22中的實線部分。第四節(jié)初等函數(shù)6.初等函數(shù)由上述五類基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)成的函數(shù),稱為初等函數(shù)。例如函數(shù)y=lnarctan,y=sin2x,y=等都是初等函數(shù)。常用的雙曲正弦函數(shù)y=shx、雙曲余弦函數(shù)y=chx、雙曲正切函數(shù)y=thx也是初等函數(shù):它們具有類似于三角函數(shù)的一些性質(zhì):ch2x-sh2x=1,sh2x=2shxchx,ch2x=ch2x+sh2x,sh(x±y)=shxchy±chxshy,ch(x±y)=chxchy±shxshy?？梢宰C明,雙曲函數(shù)的反函數(shù)可分別表示為7.建立函數(shù)關(guān)系在實際問題中,經(jīng)常需要建立變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后,應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識對這些問題進行分析解決。因此,建立函數(shù)關(guān)系是解決實際問題的關(guān)鍵步驟。下面舉例說明如何根據(jù)實際問題所給的條件建立所需的函數(shù)關(guān)系。第一章函數(shù)第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)1.單利與復(fù)利今年的100元錢不等于明年的100元錢!如果你將今年的100元存入銀行,年利率為5.15%,那么到明年同一時期,銀行將支付你100+100×5.15%=105.15元(含稅),多出來的5.15元稱為利息,它是貨幣的擁有者讓渡貨幣的使用權(quán)所獲得的報酬,也叫貨幣的時間價值。利息的計算方式有單利和復(fù)利之分。所謂單利是指在存期不止一個計息周期的情況下,從第二期開始,每期計算利息的本金均按初始本金計算,這種計息方式稱為按單利計息;所謂復(fù)利是指在存期不止一個計息周期的情況下,從第二期開始,上一期所得的利息要滾入下一期連同上一期的本金一起作為當(dāng)期計算利息的本金,即每期計算利息的本金均按上一期的本利和作為基數(shù)計算利息,這種計息方式稱為按復(fù)利計息。一般地設(shè)有初始本金為P元,存期為n年,銀行的年利率為r。(1)按單利計算利息第一年末本利和為S1=P+P?r=P(1+r),第二年末本利和為S2=P(1+r)+P?r=P(1+2r),……第n年末本利和為Sn=P(1+n?r)。(2)按復(fù)利計算利息第一年末本利和為S1=P+P?r=P(1+r),第二年末本利和為S2=P(1+r)+P(1+r)?r=P(1+r)2,……第n年末本利和為Sn=P(1+r)n。第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)2.貨幣的現(xiàn)值、終值與貼現(xiàn)(1)貨幣的現(xiàn)值與終值由于貨幣隨時間的延續(xù)而增值(不考慮通貨膨脹),如前述,現(xiàn)在的100元,一年以后將會變成105.15元,現(xiàn)在的100元就是貨幣的現(xiàn)值,而105.15元是現(xiàn)在100元貨幣在一年后的終值。一般地,設(shè)有現(xiàn)值為P元錢的貨幣,存期為n年,銀行的年利率為r。①按單利計算利息,第n年末的終值為Sn=P(1+n?r)。②按復(fù)利計算利息,第n年末的終值為Sn=P(1+r)n。(2)貼現(xiàn)既然錢存在銀行里可獲得利息,如果不考慮貶值因素,現(xiàn)在存一不定數(shù)量的本金,若干年后的本利和(即終值)就地高于本金,換言之,未來的P元錢其購買力肯定會小于現(xiàn)在的P元錢的購買力(不考慮其他因素)。那么,未來的R元錢的購買力究竟相當(dāng)于現(xiàn)在的多少錢的購買力呢?這種由貨幣的終值求現(xiàn)值的方法就稱之為貼現(xiàn)。一般地假設(shè)在n年內(nèi),銀行的存款利率為r,那么n年后的R元錢的現(xiàn)值P=?第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)注意(1)在票據(jù)中,以上式中的R表示第n年后到期的票據(jù)金額(即貨幣的未來值或終值),r表示貼現(xiàn)率,而P表示現(xiàn)在進行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時銀行付給票據(jù)持有者的貼現(xiàn)金額。(2)若票據(jù)持有人手中持有若干張不同期限以及不同面額的票據(jù)且每張票據(jù)的貼現(xiàn)率都相同(均為r),則一次性向銀行轉(zhuǎn)讓所有票據(jù)按復(fù)利計算所得到的現(xiàn)金為其中,R0為已到期票據(jù)金額,Rn為n年后到期的票據(jù)金額,稱為貼現(xiàn)因子,它表示在貼現(xiàn)率為r的條件下,n年到期的1元錢的貼現(xiàn)值。由它可給出不同年限及不同貼現(xiàn)率下的貼現(xiàn)因子表。第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)3.供給函數(shù)和需求函數(shù)需求函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi),市場上某商品的各種可能的購買量和決定這些購買量的諸因素之間的數(shù)量關(guān)系。在決定商品購買量的諸因素中影響最大的因素當(dāng)屬商品的價格P,假定其他因素不變(如消費者貨幣收入、偏好以及替代品的價格等),則某種商品的需求量Q就是價格P的函數(shù)即Q=f(P)。一般而言,需求函數(shù)是個減函數(shù),隨著價格的增長,需求將呈減少趨勢,價格下降需求量將增加。供給函數(shù)的指在某一特定時期內(nèi),市場上某商品的各種可能的供給量和決定這些供給量的諸因素之間的數(shù)量關(guān)系。假定生產(chǎn)技術(shù)、生產(chǎn)成本不變,則決定商品供應(yīng)量大小的主要因素也是商品的價格P,這樣,商品的供給量S也是價格P的函數(shù)即S=f(P)。一般而言,供給函數(shù)是個增函數(shù),隨著價格的增長,商品生產(chǎn)者有利可圖,供應(yīng)量將增加;價格下降,生產(chǎn)者利潤下降甚至無利可圖,商品供應(yīng)量將減少甚至不生產(chǎn)。無論是需求函數(shù)還是供給函數(shù),也無論它們是增函數(shù)還是減函數(shù),它們都可能呈線性形式,可能呈指數(shù)形式,也可能呈冪函數(shù)形式。第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)4.成本函數(shù)、收益函數(shù)與利潤函數(shù)(1)成本函數(shù)指商品生產(chǎn)者或經(jīng)營者以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)和銷售產(chǎn)品的全部費用支出。表示費用總額與產(chǎn)量或銷售量之間的依賴關(guān)系的函數(shù)稱為成本函數(shù)。產(chǎn)品成本可分為固定成本和可變成本。固定成本是指在一定時期內(nèi)一次投入、多次使用,費用支出不隨產(chǎn)量變化而變化的那部分成本(如機器、廠房等);可變成本是指隨產(chǎn)量的變化而變化的成本(如原材料支出等)。一般地,以貨幣計值的產(chǎn)量為x,總成本為單位產(chǎn)品成本稱為單位平均成本,記為注意成本函數(shù)一般是單調(diào)增加函數(shù),其曲線稱為成本曲線;單位平均成本函數(shù)一般為單調(diào)遞減函數(shù),為什么?(2)收益函數(shù)銷售某種產(chǎn)品的收入R,等于產(chǎn)品的單位價格P乘以銷售量x,即這一函數(shù)稱為收益函數(shù)。它一般是單調(diào)增加函數(shù),但因產(chǎn)量x和價格P之間往往由需求函數(shù)確定其關(guān)系,因此,總收益R或表現(xiàn)為產(chǎn)量x的函數(shù),也可能表現(xiàn)為價格P的函數(shù),這要視討論的問題而定。第五節(jié)經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)(3)利潤函數(shù)將總收益減去總成本就應(yīng)是總利潤L,而總成本C一般是產(chǎn)量x的函數(shù),因此,總利潤一般也表現(xiàn)為產(chǎn)量x的函數(shù),即L(x)=R(x)-C(x)(x≥0)當(dāng)L(x)=R(x)-C(x)>0時,生產(chǎn)者盈利;當(dāng)L(x)=R(x)-C(x)<0時,生產(chǎn)者虧損;當(dāng)L(x)=R(x)-C(x)=0時,生產(chǎn)者盈虧平衡,使當(dāng)L(x)=0的點x0稱為盈虧平衡點(也稱保本點)。企業(yè)生產(chǎn)或商人經(jīng)營是以利潤為目的,但利潤并不總是隨銷售量的增加而增加,如何確定生產(chǎn)規(guī)模以獲取最大的利潤,在學(xué)完第四章導(dǎo)數(shù)與微分的有關(guān)知識后,我們對這一問題將會進一步深入研究。第二章極限與連續(xù)第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念第二章極限與連續(xù)第二節(jié)極限的運算法則第二節(jié)極限的運算法則

一、極限的四則運算法則在介紹極限運算法則時,如同上節(jié)給出的定義7那樣,將自變量的變化過程簡記為lim,其意義可以是數(shù)列{xn}中的n→∞;也可以是函數(shù)f(x)中的x→x0(包括x→x0+或x→∞x0-),x→∞(包括x→+∞或x→-∞)等等。以下在同一定理中考慮自變量的同一變化過程,其主要定理如下:定理1如果極限limX=A和極限limY=B都存在,則極限lim(X±Y)也存在,且lim(X±Y)=limX±limY=A±B,兩個變量的和(或差)的極限,等于這兩個變量的極限的和(或差)。特別,如果C為常數(shù),則由于常數(shù)的極限就是它本身,則有l(wèi)im(C±X)=C±limX=C+A。如果n是一個確定的正整數(shù),X1,X2,…,Xn是n個具有極限的變量,且其極限分別等于A1,A2,…,An,則反復(fù)運用定理1即得lim(X1±X2±…±Xn)=limX1±lim(X2±…±Xn)=limX1±limX2±…±limXn=A1±A2±…±An。第二節(jié)極限的運算法則定理2如果limX=A和limY=B都存在,則極限lim(X·Y)也存在,且lim(X·Y)=limX·limY=A·B兩個變量的乘積的極限,等于這兩個變量的極限乘積。特別,如果C為常數(shù),是有l(wèi)im(CX)=ClimX=CA。同定理1和(或差)的情況一樣,反復(fù)運用定理2得lim(X1·X2·…·Xn)=limX1·limX2·…·limXn=A1·A2·…·An。綜上極限運算具有如下的線性性質(zhì):當(dāng)n為有限數(shù)時,limXi=Ai(i=1,2,…n),則有l(wèi)im[k1X1+k2X2+…+knXn]=k1A1+k2A2+…+knAn(ki∈R,i=1,2,…,n)。第二節(jié)極限的運算法則定理3如果極限limX=A和limY=B都存在,且B≠0,則極限lim也存在,并有兩個變量商的極限,等于這兩個變量的極限之商(假定除數(shù)的極限不為零).特別當(dāng)C為常數(shù)時,則有上述三個定理都很容易理解且使人信服,無論對于函數(shù)情形求極限,還是對于數(shù)列情形求極限都是適用的。第二節(jié)極限的運算法則第二節(jié)極限的運算法則三、極限不等式定理5如果X≤Y,且極限limX=A和limY=B都存在,則A≤B。事實上,在自變量同一個變化過程中,若A>B,則數(shù)軸上的點A位于點B的右側(cè),但是在變化到某一“時刻”后,點X與點A無限接近,點Y與點B無限接近。這時,點X就會跑到點y的右側(cè),即X>Y,從而與X≤Y的已知條件矛盾?？梢夾>B是不可能發(fā)生的,只可能A≤B。推論如果X≥C(或X≤C),且極限limX=A存在,則A≥C(或A≤C),其中C是常數(shù)。特別C=0時,可由X≥0(或X≤0)?A≥0(或A≤0)。第二章極限與連續(xù)第三節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限第三節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限這節(jié)介紹極限存在的兩個準(zhǔn)則以及作為準(zhǔn)則的應(yīng)用,討論兩個重要極限:如同上節(jié)討論極限不等式類似。變量X、Y、Z既可視為數(shù)列,也可視為函數(shù)。自變量既可視為正整數(shù)n,也可視為實變量x。其變化情形有:n→∞;x→x0(或x→x0+,x→x0-);x→∞(或x→+∞,x→-∞)。如果X≤Z≤Y,而limX=limY=A,則極限limZ存在,且limZ=A。這個事實從幾何直觀上看是很明顯的:在自變量的同一個變化過程中,變量X與變量Y都無限地接近于A,夾在X與Y之間的變量Z也就“被迫”無限地接近于A。應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則,下面證明重要極限:先給出一個基本不等式:對上面不等式(1)的每項取倒數(shù),并乘以sinx,得第三節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限第二章極限與連續(xù)第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較二、無窮大無窮小是絕對值無限變小的變量,它的對立面主是絕對值無限增大的變量,稱為無窮大量(簡稱無窮大)。所謂“無限增大”,意思是:絕對值要多大,在變化到一定“時刻”后,就能有多大。定義2在自變量某一變化過程中,變量X的絕對值|X|無限增大,則稱X為自變量在此變化過程中的無窮大量(簡稱無窮大),記作limX=∞,其中“l(fā)im”是簡記符號,可表示n→∞;x→x0(或x→x0+,x→x0-),x→∞(或x→+∞,x→-∞)等。注這里limX=∞只是沿用了極限符號,并不意味著變量X存在極限,無窮大(∞)不是數(shù),不可與絕對值很大的數(shù)(如,107,108等)混為一談。無窮大是指絕對值可以任意變大的變量。第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較定理2在自變量的同一變化過程中:.(1)如果X是無窮大,則是無窮小;.(2)如果X≠0且X是無窮小,則是無窮大。證明從略。這里需要特別指出,無窮大與無窮小不同的是,在自變量同一變化過程中,兩個無窮大和、差、商的極限沒有確定的結(jié)果,對于這類問題要針對具體情況加以解決。兩個無窮小的商也將會出現(xiàn)各種不同結(jié)果。例如,當(dāng)x→0時,x２,sinx都是無窮小,但，，又，由此可見,在自變量同一變化過程中,兩個無窮小的商的極限,可能為零,可能不存在,也可能是非零常數(shù)。一般情況下,兩個無窮小之商由于不遵循極限的除法運算法則,且不能即刻判斷其極限是否存在,因此通常稱這種極限為“”型未定式極限。未定式極限各不相同,反映了作為分子和分母的兩個無窮小趨于零的“快慢”程度不同。第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較

比較兩個無窮小在自變量同一變化過程中趨于零的“速度”是很有意義的,并能為處理未定式極限問題帶來一些方法．第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較三、無窮小的比較下面,我們就無窮小之比的極限存在或為無窮大時來討論無窮小之間的比較.以下討論的α和β都是在自變量同一變化過程中的無窮小,且α≠0,而也是在這個變化過程中的極限。第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較第二章極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第三章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

一、變化率問題舉例為了說明微分學(xué)的基本概念———導(dǎo)數(shù),先討論物理學(xué)中的速度問題,從而引入導(dǎo)數(shù)的定義。由中學(xué)物理知識知道:做自由落體運動的物體的位移s與其時間t的函數(shù)關(guān)系是:,自由落體運動不是勻速運動,所以物體在自由落體運動過程中的速度需要按照不同時刻來考慮,那么,如何求得物體在自由落體運動的t=t0時刻的瞬時速度v(t0)呢?1.從物體的平均速度入手取物體移動時間t從t0變化到t0+Δt,則在Δt這個時間段內(nèi)物體的位移為物體在Δt這個時間段內(nèi)的平均速度為2.得到瞬時速度由式(2)易見Δt愈小,Δt時間段內(nèi)的平均速度的值就愈接近t0時刻的速度,因此,當(dāng)Δt→0時,的極限便自然定義為物體在t0時刻的瞬時速度,即第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念由此可見,物體在t0時刻的瞬時速度是函數(shù)的增量Δs與自變量的增量Δt的比值,當(dāng)Δt→0時的極限。推廣到一般,可以歸結(jié)為一個函數(shù)y=f(x)的增量Δy與自變量的增量Δx之比,當(dāng)Δx→0時的極限。這種類型的極限稱其為導(dǎo)數(shù)。二、導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的定義從上面所討論的問題看出,非勻速直線運動的速度歸結(jié)為如下的極限:這里的x-x0和f(x)-f(x0)分別是函數(shù)y=f(x)的自變量增量Δx和函數(shù)的增量Δy,Δx=x-x0,Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),因為x→x0相當(dāng)于Δx→0,故式(3)也可寫成在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域,有許多概念都可以歸結(jié)為形如式(3)的數(shù)學(xué)形式。撇開這些量的具體意義,抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的共性,就得出導(dǎo)數(shù)的概念了。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)。定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量f′(x)=(點x0+Δx仍在該領(lǐng)域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù),記為f′(x0),即也可記為也稱函數(shù)增量與自變量增量之比是函數(shù)y在以x0及x0+Δx為端點的區(qū)間上的平均變化率,導(dǎo)數(shù)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在點x0處的變化率,即瞬時變化率。(2)函數(shù)y=f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)———導(dǎo)函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo),就稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。這時對于任一x∈I,都對應(yīng)著y=f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值,這樣就構(gòu)成一個新函數(shù),這個函數(shù)就叫作原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記為第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念即注意:在上式中,雖然x∈I,即x可以取區(qū)間I內(nèi)的任何數(shù)值,但在極限過程中,x是常量,Δx是變量。(3)點x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系。函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x=x0處的函數(shù)值。即f′(x0)=f′(x)丨x=x0。通常,導(dǎo)函數(shù)簡稱為導(dǎo)數(shù)。(4)不可導(dǎo)的情形。(5)導(dǎo)數(shù)定義的不同形式。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念(6)可導(dǎo)的充要條件。根據(jù)極限存在的充要條件,函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo),當(dāng)且僅當(dāng)同時存在且相等。這兩個極限值分別稱為f(x)在點x0處的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)(統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù))。分別記為f+′(x0),f-′(x0)。所以可導(dǎo)的充要條件可以表示為:第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第三章導(dǎo)數(shù)與微分第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

一、函數(shù)和、差的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)都在x處可導(dǎo),則u±v在x處也可導(dǎo),且即同理,可證第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則這就是說,兩個函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù)等于各個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(或差),這個法則對于有限個函數(shù)也成立,即

二、函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)定理2如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都在點x處可導(dǎo),則乘積uv在點x處也可導(dǎo),且第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則因為函數(shù)u(x)在點x處可導(dǎo)所以它在該點連續(xù)。因此當(dāng)Δx→0時,Δu→0,于是有即定理2表明:兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),再加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。特殊的,當(dāng)v等于常數(shù)C時,有這表明:求導(dǎo)數(shù)時,常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的前邊。第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

三、函數(shù)商的求導(dǎo)法則定理3如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都在點x處可導(dǎo),并且v(x)≠0,則商在點x處也可導(dǎo),且證明略。定理3表明:兩個函數(shù)的商(分母不為零)的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母,減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù),然后除以分母的平方。特殊的,當(dāng)u=1時,有第三章導(dǎo)數(shù)與微分第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),是函數(shù)求導(dǎo)中經(jīng)常遇到的問題。例如,要求函數(shù)y=sin2x的導(dǎo)數(shù),是否能由導(dǎo)數(shù)公式(sinx)′=cosx得出(sin2x)′=cos2x呢?事實上,用乘法的求導(dǎo)法則算出它的導(dǎo)數(shù)為顯然(sin2x)′≠cos2x,原因在于函數(shù)y=sin2x不是x的基本初等函數(shù),而是一個復(fù)合函數(shù)。因此,需要建立復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=φ(x)在x處可導(dǎo),而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的u處也可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]也在x處可導(dǎo),且有證當(dāng)自變量x有一增量Δx時,函數(shù)u=φ(x)有相應(yīng)的增量Δu,從而函數(shù)y=f(u)也相應(yīng)的有增量Δy。假設(shè)Δu≠0,這時因為u=φ(x)在x處可導(dǎo),故u=φ(x)在x處連續(xù),即當(dāng)Δx→0時,Δu→0,于是便有即當(dāng)Δu=0時,也可推出上式成立,因此不論Δu=0或Δu≠0均有成立。這表明:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的求導(dǎo)公式通常也可以寫成:y′x=y′u?u′x或y′(x)={f[φ(x)]}′=f′(u)?φ′(x),其中,u=φ(x),記號y′x表示函數(shù)y=f[φ(x)]對x的導(dǎo)數(shù),其下標(biāo)x可省略不寫;記號y′u表示函數(shù)y=f(u)對u的導(dǎo)數(shù);記號u′x表示u=φ(x)對x的導(dǎo)數(shù)。例:y=sin2x由y=sinu和u=2x復(fù)合而成y′=(sinu)′u?(2x)′x=(cosu)?2=2cos2x。第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

二、逐層求導(dǎo)法如果一個復(fù)合函數(shù)是由兩個(或兩個以上)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成,則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于最外層函數(shù)關(guān)于中間變量的導(dǎo)數(shù),再乘以中間變量關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)。如果一個復(fù)合函數(shù)是由多個函數(shù)復(fù)合而成的,可用類似的方法,采取逐層求導(dǎo)的方法求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

三、掌握幾個符號的含義與區(qū)別1.f′(x)與[f(x)]′的含義相同,均表示關(guān)于自變量x求導(dǎo)函數(shù)。2.f′(φ(x))與[f(φ(x))]′的含義不同,f′(φ(x))表示關(guān)于中間變量φ(x)求導(dǎo),[f(φ(x))]′表示關(guān)于自變量x求導(dǎo)。3.f′(x0)與[f(x0)]′的含義不同f′(x0)表示函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)。f′(x0)=f′(x)x=x0,因為f(x0)為x0點的函數(shù)值,是一個常數(shù),所以[f(x0)]′=0通過上面的例子可知,運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的關(guān)鍵在于:把復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或多項式的形式,然后運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進行計算。當(dāng)對復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練之后,就不必再寫出中間變量,只要把中間變量所代替的式子默記在心,直接由外往里,逐層求導(dǎo)便可。

四、反函數(shù)的求導(dǎo)設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo),其反函數(shù)x=φ(y)在y處也可導(dǎo),則f′(x)=≠0),即:原函數(shù)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù),與其反函數(shù)關(guān)于y的導(dǎo)數(shù),兩者互為倒數(shù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式第四節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式這一節(jié)我們將推導(dǎo)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則作歸納總結(jié),從而解決初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。

一、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1),則給自變量x以增量Δx,相應(yīng)地有第四節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式這就是對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

二、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1),兩邊取自然對數(shù),有l(wèi)ny=xlna兩邊對x求導(dǎo),并由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,得從而即得指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式這種先取對數(shù)再求導(dǎo)數(shù)的方法叫作對數(shù)求導(dǎo)法。特殊地,當(dāng)a=e時,有第四節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

三、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式第四節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

四、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)都在x處可導(dǎo),則

五、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u)和u=φ(x)在x處均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]也在x處可導(dǎo),且有第三章導(dǎo)數(shù)與微分第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一般情況下,y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍然是x的函數(shù),那么對于導(dǎo)函數(shù)f′(x)就可以對x再進行求導(dǎo)。定義1若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)仍然可導(dǎo),則f′(x)的導(dǎo)函數(shù)叫作y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記為即相應(yīng)的,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)叫作y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。類似的,一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f″(x)叫作y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f?(x)叫作y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(4)(x)叫作y=f(x)的四階導(dǎo)數(shù),…n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(n)(x)叫作y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f(x)各階導(dǎo)數(shù)的記號:y′,y″,y?,y(4),y(5),…,y(n);或f′(x),f″(x),f?(x),f(4)(x),f(5)(x),…,f(n)(x);第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)。由此可知,求高階導(dǎo)數(shù)并不需要什么新的方法,只需要進行多次通常的求導(dǎo)運算。由例3可知,求函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)時,為了使n階導(dǎo)數(shù)的表達形式具有一定的規(guī)律性,在求導(dǎo)過程中,與求數(shù)列的通項公式類似,應(yīng)注意歸納各階導(dǎo)數(shù)表達形式的共同規(guī)律。

二、二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知,若物體做變速直線運動,其運動方程為s=s(t),則物體在時刻t的瞬時速度為v=s′(t)。此時,速度v仍是時間t的函數(shù),因而我們可以求速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)v′=[s′(t)]′=s″(t)。這個導(dǎo)數(shù)是速度v對時間t的變化率,它反映了速度變化的快慢程度。在力學(xué)中,把它叫作運動物體在給定時刻t的加速度。因此,物體做變速直線運動的加速度a就是路程s對時間t的二階導(dǎo)數(shù),即a=v′(t)=s″(t)這就是二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義。第三章導(dǎo)數(shù)與微分第六節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法第六節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

一、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法前面研究的函數(shù),形如y=f(x)的函數(shù),因為因變量y可以寫成含自變量x的明顯的表達式,所以由它所確定的函數(shù)y=f(x)我們稱之為顯函數(shù)。例如,y=x3+1,y=ex,y=arcsinx,y=2x-1,y=ex+sinx等。由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=f(x),其中因變量y與自變量x的關(guān)系隱藏在方程F(x,y)=0中,那么這種由含x和y的方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)我們稱之為隱函數(shù)。例如,2x-y-1=0,x2+y2=1,φ,x2+y2=R2,ey+cos(x2+y2)=0等。例如,隱函數(shù)2x-y-1=0可化為顯函數(shù)y=2x-1,諸如此類將隱函數(shù)F(x,y)=0化為顯函數(shù)的過程,我們稱之為隱函數(shù)的顯化過程。有些隱函數(shù)化為顯函數(shù)后,求導(dǎo)較為繁瑣,如由x2+y2=R2(R>0)可化為y=±(-R<x<R),函數(shù)y為多值函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)分為兩種情形,不好求解;有些隱函數(shù)化為顯函數(shù)較為困難,甚至有些隱函數(shù)則很難化為顯函數(shù),如ey+cos(x2+y2)=0確定的函數(shù)y=f(x)。在求導(dǎo)過程中,將方程兩端同時對自變量x求導(dǎo),把y看成是x的函數(shù),遇到y(tǒng)的函數(shù)就看成x的復(fù)合函數(shù),然后從所得的關(guān)系式中解出y′x,即得所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第六節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

二、形如y=u(x)v(x)的函數(shù)函數(shù)y=u(x)v(x),這里u(x)和v(x)均為可導(dǎo)函數(shù),我們稱之為冪指函數(shù),它不是初等函數(shù),雖然是顯函數(shù),但不允許直接用初等函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo),直接求它的導(dǎo)數(shù)很困難,求導(dǎo)時可將對數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)法結(jié)合起來使用。

三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法參數(shù)方程確定了y是x的函數(shù)。如何求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)呢?有些參數(shù)方程消去參數(shù)t后,可以得到普通方程F(x,y)=0,此時可按前面學(xué)習(xí)的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但有些參數(shù)方程要想消去參數(shù)t往往很困難,甚至不可能消去參數(shù)。因此我們需要尋求一種直接由參數(shù)方程(1)來計算y對x的導(dǎo)數(shù)的方法。設(shè)x=φ(t)和y=?(t)分別有導(dǎo)數(shù)φ′(t),?′(t),且?′(t)≠0,那么由導(dǎo)數(shù)的定義,得第六節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法另一方面,有等式由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系及函數(shù)連續(xù)定義可知第三章導(dǎo)數(shù)與微分第七節(jié)變化率問題舉例第七節(jié)變化率問題舉例導(dǎo)數(shù)在工程技術(shù)中常常稱為變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度。前面我們已經(jīng)介紹了利用變化率求曲線在定點M處的切線的斜率和變速直線運動在時刻t的瞬時速度,本節(jié)將在前面所學(xué)知識的基礎(chǔ)上,舉例說明變化率在其他方面的應(yīng)用。

一、求非恒定電流的電流強度由電學(xué)知識可知,恒定電流的電流強度是單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量Q,即,而非恒定電流的電流強度就不能按上述公式計算。設(shè)非恒定電流通過導(dǎo)體橫截面積的電量Q是時間t的函數(shù),即Q=Q(t),當(dāng)時間由t0變到t0+Δt時,通過導(dǎo)體的電量由Q(t0)變到Q(t0+Δt),此時的平均電流強度為在時刻t0的電流強度為第七節(jié)變化率問題舉例

二、求物體的比熱由物理學(xué)知識可知,比熱是衡量物體吸收(或釋放)熱量能力的一個物理量。設(shè)有單位質(zhì)量的物體從0℃加熱到T℃所吸收的熱量Q是溫度T的函數(shù):Q=Q(T)。給溫度T以增量ΔT,則可求得物體在ΔT這段溫度內(nèi)的平均比熱為從而物體在T℃時的比熱為第七節(jié)變化率問題舉例

三、進行邊際分析在經(jīng)濟活動中,常常會遇到邊際分析的問題。例如,邊際成本分析、邊際需求分析、邊際價格分析等。從數(shù)學(xué)角度看,經(jīng)濟活動中的邊際問題,就是相應(yīng)的經(jīng)濟函數(shù)的變化率問題。設(shè)總成本函數(shù)c=c(q)是可導(dǎo)的,其中q表示產(chǎn)量,c表示總成本,則產(chǎn)量為q的邊際成本為設(shè)定某種產(chǎn)品的單位售價為P(P不變),則總收入函數(shù)R(q)=P?q,總利潤函數(shù)L(q)為上式兩邊對q求導(dǎo),有關(guān)于邊際有如下結(jié)論:(1)當(dāng)c′(q0)<P時,生產(chǎn)者應(yīng)繼續(xù)增加生產(chǎn)。(2)當(dāng)c′(q0)>P時,生產(chǎn)者應(yīng)停止增加生產(chǎn),通過提高產(chǎn)品的質(zhì)量和檔次來提高產(chǎn)品的價格,或降低生產(chǎn)成本或減少產(chǎn)量的辦法來增加利潤。(3)當(dāng)c′(q0)=P時,此時邊際成本等于邊際收入,增加產(chǎn)量的生產(chǎn)支出與銷售所增產(chǎn)量的收入大致相等。在產(chǎn)量q0處可獲得最大利潤。(4)當(dāng)c′(q0)<(q0)(平均成本)時,邊際成本小于平均成本,生產(chǎn)者可通過增加產(chǎn)量的方式來降低平均成本。第七節(jié)變化率問題舉例

四、進行彈性分析1.函數(shù)的彈性設(shè)函數(shù)y=(fx)在點x=x0處可導(dǎo),函數(shù)的相對增量與自然變量的相對增量之比為。當(dāng)Δx→0時的極限稱為f(x)在點x=x0處的彈性(或彈性系數(shù)),也稱為函數(shù)f(x)在點x0處的相對變化率(或相對導(dǎo)數(shù)),記為則函數(shù)f(x)在任一點x處的彈性,稱為f(x)的彈性函數(shù)(或彈性系數(shù)函數(shù))。第七節(jié)變化率問題舉例2.彈性分析一般地說,利用函數(shù)的彈性去討論函數(shù)的變化狀態(tài),要比利用導(dǎo)數(shù)去討論函數(shù)的變化狀態(tài)復(fù)雜些。但對于經(jīng)濟函數(shù)f(x)來說,由于x和f(x)都非負(fù)(除利潤函數(shù)外),因此,用函數(shù)的彈性去討論經(jīng)濟函數(shù)的變化狀態(tài),不僅容易,同時還能對函數(shù)的變化情況與自然量的變化情況進行比較。設(shè)經(jīng)濟函數(shù)為f(x)(f(x)>0,x>0),其相應(yīng)的彈性函數(shù)為η(x)=,一般有以下結(jié)論:(1)當(dāng)η(x)>0(或η(x)<0)時,則f(x)是增加(或減少)的;(2)當(dāng)0<η(x)<1或(-1<η(x)<0)時,則f(x)增加(或減少)的幅度小于x增加的幅度;(3)當(dāng)η(x)>1(或η(x)<-1)時,則f(x)增加(或減少)的幅度大于x增加(或減少)的幅度;(4)當(dāng)η(x)=1(或η(x)=-1)時,則f(x)增加(或減少)的幅度與x增加(或減少)的幅度相同。第三章導(dǎo)數(shù)與微分第八節(jié)函數(shù)的微分第八節(jié)函數(shù)的微分

一、微分的概念在實際問題中,常常要考慮當(dāng)自變量有一微小改變量時,相應(yīng)的函數(shù)有多大變化的問題。例如:一塊正方形金屬薄片,當(dāng)受冷熱影響時,其邊長由x0變到x0+Δx(見圖3-6),問此薄片的面積改變了多少?若用A表示面積,x表示邊長,則A=x2。正方形金屬薄片受冷熱影響所改變的面積,可以看成是當(dāng)自變量x在x0有增量Δx時,函數(shù)A=x2相應(yīng)的增量從上式可以看出,ΔA由兩項組成,當(dāng)Δx→0時,第一項2x0Δx與Δx是同階的無窮小,第二項(Δx)2是較Δx高階的無窮小。因此,當(dāng)丨Δx丨很小時,第一項2x0Δx是ΔA的主要部分,第二項(Δx)2是ΔA的次要部分,若略去這個次要部分,就得到ΔA的近似表達式ΔA≈2x0Δx,此時,所產(chǎn)生的誤差為(Δx)2,它是一個當(dāng)Δx→0時,較Δx高階的無窮小,顯然Δx越小,ΔA的近似程度就越好。由圖3-5所示可知,面積的增量ΔA本來是圖中有陰影部分的面積。第八節(jié)函數(shù)的微分現(xiàn)在用帶有斜線的兩塊矩形面積2x0Δx來代替面積的增量ΔA,所略去的僅僅是一塊較小的正方形面積(Δx)2。由于2x0=(x2)′丨x=x0=A′丨x=x0,則下面說明,這種表示函數(shù)增量的簡單關(guān)系對于一般函數(shù)也是成立的。設(shè)函數(shù)y=(fx)在點x0處可導(dǎo),則根據(jù)函數(shù)、極限與無窮小的關(guān)系,得其中a是Δx→0時的無窮小,于是式(1)表明,函數(shù)的增量Δy是由f′(x0)和a?Δx兩項組成,當(dāng)f′(x0)≠0時,由知f′(x0)Δx與Δx是同階的無窮小,又由第八節(jié)函數(shù)的微分可知a?Δx是較Δx高階的無窮小。因此,在函數(shù)的增量Δy中,起著主要作用的是f′(x0)Δx,它與Δy僅相差一個較Δx高階的無窮小。所以可以說,f′(x0)Δx是Δy的主要部分,又由于f′(x0)Δx是Δx的線性函數(shù),所以通常把f′(x0)Δx叫作Δy的線性主部。由以上討論可知,當(dāng)Δx很小時,可用函數(shù)增量的線性主部來近似代替函數(shù)的增量,即Δy≈f′(x0)?Δx。定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),則稱f′(x0)Δx為函數(shù)f(x)在點x0的微分,記作dy或df(x),即并且說函數(shù)f(x)在點x0可微。一般地,函數(shù)y=f(x)在任意點x處的微分叫作函數(shù)的微分,記作dy或df(x),即dy=f′(x)Δx。因為函數(shù)y=f(x)的微分dy=dx=(x)′Δx=Δx,所以有dx=Δx。這說明,自變量的微分dx等于自變量的增量Δx。因此,函數(shù)y=f(x)的微分又可寫成從上式還可看出來,f′(x)=,即函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商。因此,導(dǎo)數(shù)又稱為微商。第八節(jié)函數(shù)的微分

二、微分的幾何意義函數(shù)y=f(x)的圖像如圖3-6所示,過曲線上點M(x,y)的切線為MT,它的傾斜角為φ,則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,切線的斜率tanφ=f′(x)。當(dāng)自變量x有一微小增量Δx=dx=NN′時,相應(yīng)地,曲線上的點的縱坐標(biāo)就有一增量Δy=QM′,此時曲線y=f(x)在M點的切線MT的縱坐標(biāo)也得到相應(yīng)的增量QP,且QP=tanφ?MQ=f′(x)?NN′=f′(x)?dx=dy,由此可知,函數(shù)的微分dy,就是曲線在點M(x,y)處的切線的縱坐標(biāo)對應(yīng)于dx的增量,這就是微分的幾何意義。函數(shù)的微分,可能小于函數(shù)的增量,如圖3-6所示;也可能大于函數(shù)的增量,如圖3-7所示。第八節(jié)函數(shù)的微分

三、微分公式與微分運算法則根據(jù)函數(shù)微分的定義可知,從導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則就可以直接推出微分的基本公式和法則。1.微分的基本公式第八節(jié)函數(shù)的微分2.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)u和v都是x的可微函數(shù),C為常數(shù),則第八節(jié)函數(shù)的微分

四、微分形式的不變性根據(jù)微分的定義,函數(shù)y=f(u)的微分是如果u不是自變量,而是x的可微函數(shù)u=φ(x),那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及微分的定義,可得復(fù)合函數(shù)y=[fφ(x)]的微分因為φ′(x)dx=du,所以dy=f′(u)du,這里u是中間變量,這個結(jié)果與式(6)在形式上完全一樣。這就表明:無論u是自變量還是中間變量,函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式dy=f′(u)du,這一性質(zhì)叫作微分形式的不變性。第三章導(dǎo)數(shù)與微分第九節(jié)曲線的曲率第九節(jié)曲線的曲率第九節(jié)曲線的曲率第九節(jié)曲線的曲率第九節(jié)曲線的曲率第九節(jié)曲線的曲率第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分學(xué)中值定理第一節(jié)微分學(xué)中值定理導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,例如可用來判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性、求函數(shù)的極限、求函數(shù)的極限、求函數(shù)的最大值、最小值,近似計算函數(shù)值等。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的依據(jù)是中值定理。本節(jié)介紹這些中值定理。為了敘述下面的費爾馬定理及后面討論函數(shù)性態(tài),首先引入函數(shù)極值的概念。定義1設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個領(lǐng)域U(x0,δ)內(nèi)有定義,且對任意的x∈U。(x0,δ)均有則稱點x0是函數(shù)f(x)的