2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(難點)2．能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(重點)3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個公理，理解三個公理的地位與作用．(難點、易錯點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1平面閱讀教材P40～P41“思考”以上的內(nèi)容，完成下列問題．1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖2-1-1①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖2-1-1②.圖①圖②圖2-1-13．平面的表示法圖2-1-1①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列說法：①書桌面是平面；②8個平面重疊后，要比6個平面重疊后厚；③有一個平面的長是100m，寬是90m；④平面是絕對平滑，無厚度，無限延展的抽象概念．其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】①錯誤，因為平面具有延展性；②錯誤，平面無厚度；③錯誤，因為平面無厚度、大小之分；④正確，符合平面的概念．【答案】B教材整理2平面的基本性質(zhì)閱讀教材P41“思考”以下至P43“例1”以上的內(nèi)容，完成下列問題．公理內(nèi)容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在惟一的α使A，B，C∈α公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三點可以確定一個平面．()(2)一條直線和一個點可以確定一個平面．()(3)四邊形是平面圖形．()(4)兩條相交直線可以確定一個平面．()【解析】(1)錯誤．不共線的三點可以確定一個平面．(2)錯誤．一條直線和直線外一個點可以確定一個平面．(3)錯誤．四邊形不一定是平面圖形．(4)正確．兩條相交直線可以確定一個平面．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[小組合作型]文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.【精彩點撥】解答本題要正確理解立體幾何中表示點、線、面之間位置關(guān)系的符號“∈”，“?”，“?”，“?”，“∩”的意義，在此基礎(chǔ)上，由已知給出的符號表示語句，寫出相應(yīng)的點、線、面的位置關(guān)系，畫出圖形．【自主解答】(1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)；(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上；(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q.圖形分別如圖(1)，(2)，(3)所示．圖(1)圖(2)圖(3)1．用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．2．要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．3．由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．[再練一題]1．根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．圖2-1-2(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.【解】(1)點P∈直線AB；(2)點C?直線AB；(3)點M∈平面AC；(4)點A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.點、線共面問題已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)．【精彩點撥】四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種情況：一是有三條直線共點；二是任意三條直線都不共點，故要分兩種情況．【自主解答】已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點，求證：a，b，c，d四線共面．證明：(1)若a，b，c三線共點于O，如圖所示，∵O?d，∴經(jīng)過d與點O有且只有一個平面α.∵A、B、C分別是d與a、b、c的交點，∴A、B、C三點在平面α內(nèi)．由公理1知a、b、c都在平面α內(nèi)，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d無三線共點，如圖所示，∵a∩b＝A，∴經(jīng)過a、b有且僅有一個平面α，∴B、C∈α.由公理1知c?α.同理，d?α，從而有a、b、c、d共面．綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點，這四條直線在同一平面內(nèi)．證明點線共面常用的方法1．納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內(nèi)．2．重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．[再練一題]2．已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．【證明】如圖所示，由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個平面．[探究共研型]點共線與線共點問題探究1如圖2-1-3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判斷點E在平面A1BCD圖2-1-3【提示】如圖，連接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1∵A1C?平面A1BCD1∴E∈平面A1BCD1.探究2上述問題中，你能證明B，E，D1三點共線嗎？【提示】由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，根據(jù)公理3可知B，E，D1三點共線．如圖2-1-4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D，A，Q三點共線.【導(dǎo)學(xué)號：】圖2-1-4【精彩點撥】欲證D、A、Q三點共線，只需說明三點均在平面AD1和平面AC的交線DA上即可．【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1∴Q∈平面ADD1A1又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD∴Q∈直線AD，即D，A，Q三點共線．點共線與線共點的證明思路1．點共線的思路：證明這些點都分別在兩個相交的平面內(nèi)，因此也在兩個平面的交線上．2．線共點的思路：先由兩條直線交于一點，再證明該點在第三條直線上．[再練一題]3．如圖2-1-5，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線.【導(dǎo)學(xué)號：09960044】圖2-1-5【證明】∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個平面β，又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，∵兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α【解析】點與直線，直線與平面間的關(guān)系分別用“∈或?”和“?或?”表示．【答案】B2．下列說法中正確的個數(shù)為()①三角形一定是平面圖形；②若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形；③圓心和圓上兩點可確定一個平面；④三條平行線最多可確定三個平面．A．1 B．2C．3 D．4【解析】③中若圓心和圓上兩點共線時，可以作出無數(shù)個平面，故①②④正確，故選C.【答案】C3．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】C4．有以下三個說法：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；②直線l在平面α內(nèi)，可以用符號“l(fā)∈α”表示；③已知平面α與β不重合，若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交．其中正確的序號是________．【解析】若直線與平面有兩個公共點，則這條直線一定在這個平面內(nèi)，故①正確；直線l在平面α內(nèi)用符號“?”表示，即l?α，②錯誤；由a與b相交，說明兩個平面有公共點，因此一定相交，故③正確．【答案】①③5