《醫(yī)學統(tǒng)計學》習題及答案一、描述性統(tǒng)計習題1：某社區(qū)衛(wèi)生服務中心對120名65歲以上老年人進行體檢，測得空腹血糖（mmol/L）數(shù)據(jù)如下（已排序）：4.2,4.5,4.7,4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,5.4（前10個數(shù)據(jù)）；5.5,5.6,5.7,5.8,5.9,6.0,6.1,6.2,6.3,6.4（中間20個數(shù)據(jù)）；6.5,6.6,6.7,6.8,6.9,7.0,7.1,7.2,7.3,7.4（后90個數(shù)據(jù)中隨機抽取的30個）。注：實際完整數(shù)據(jù)中，最小值4.2，最大值7.8，中位數(shù)5.9，第25百分位數(shù)（P25）5.3，第75百分位數(shù)（P75）6.7。（1）計算該組數(shù)據(jù)的極差、四分位數(shù)間距（IQR）、均數(shù)與標準差（均數(shù)計算時可近似取各組段的組中值：4.0-5.0組段有20人，5.0-6.0組段有40人，6.0-7.0組段有50人，7.0-8.0組段有10人）。（2）根據(jù)描述性統(tǒng)計結(jié)果，判斷該組空腹血糖數(shù)據(jù)的分布類型（正態(tài)/偏態(tài)），并說明依據(jù)。答案1：（1）-極差=最大值-最小值=7.8-4.2=3.6（mmol/L）。-四分位數(shù)間距（IQR）=P75-P25=6.7-5.3=1.4（mmol/L）。-均數(shù)計算：各組段組中值分別為4.5（4.0-5.0）、5.5（5.0-6.0）、6.5（6.0-7.0）、7.5（7.0-8.0），對應頻數(shù)20、40、50、10。均數(shù)（\(\bar{X}\)）=\(\frac{4.5×20+5.5×40+6.5×50+7.5×10}{120}\)=\(\frac{90+220+325+75}{120}\)=\(\frac{710}{120}\)≈5.92（mmol/L）。-標準差計算：先計算離均差平方和（SS）。SS=\(Σf(X_i-\bar{X})^2\)=20×(4.5-5.92)2+40×(5.5-5.92)2+50×(6.5-5.92)2+10×(7.5-5.92)2=20×(-1.42)2+40×(-0.42)2+50×(0.58)2+10×(1.58)2=20×2.0164+40×0.1764+50×0.3364+10×2.4964=40.328+7.056+16.82+24.964≈89.168標準差（S）=\(\sqrt{\frac{SS}{n-1}}\)=\(\sqrt{\frac{89.168}{119}}\)≈\(\sqrt{0.749}\)≈0.866（mmol/L）。（2）分布類型判斷：空腹血糖數(shù)據(jù)的均數(shù)（5.92）與中位數(shù)（5.9）接近，且P25到中位數(shù)的距離（5.9-5.3=0.6）與中位數(shù)到P75的距離（6.7-5.9=0.8）差異較小，提示數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布。若為明顯偏態(tài)（如正偏態(tài)），均數(shù)會大于中位數(shù)，且P75到最大值的距離遠大于P25到最小值的距離（本題中最大值7.8與P756.7的距離為1.1，P255.3與最小值4.2的距離為1.1，基本對稱），因此可認為該組數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布。二、t檢驗習題2：某醫(yī)院采用新療法治療2型糖尿病患者，隨機選取20例患者，治療前與治療4周后測得空腹血糖（mmol/L）如下表：|患者編號|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|19|20||----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||治療前|7.8|8.2|7.5|8.5|9.1|7.9|8.3|8.8|9.0|8.7|8.4|7.6|8.9|9.2|8.1|7.7|8.6|9.3|8.0|7.4||治療后|6.2|6.5|5.8|6.9|7.3|6.1|6.4|7.0|7.2|6.8|6.6|5.9|7.1|7.4|6.3|5.8|6.7|7.5|6.2|5.7|（1）判斷該研究設計類型，應選擇何種t檢驗方法？（2）計算治療前后空腹血糖的差值，檢驗新療法是否有效（α=0.05）。答案2：（1）研究設計為自身前后對照，屬于配對設計，應采用配對t檢驗。（2）步驟如下：①計算差值（d=治療前-治療后）：d值分別為：1.6,1.7,1.7,1.6,1.8,1.8,1.9,1.8,1.8,1.9,1.8,1.7,1.8,1.8,1.8,1.9,1.9,1.8,1.8,1.7。②計算差值的均數(shù)（\(\barqaywqwu\)）和標準差（\(S_d\)）：\(\barcqmucgm\)=(1.6+1.7+…+1.7)/20=35.8/20=1.79（mmol/L）。\(S_d\)=\(\sqrt{\frac{Σ(d_i-\baramkigcm)^2}{n-1}}\)=\(\sqrt{\frac{(1.6-1.79)^2+(1.7-1.79)^2+…+(1.7-1.79)^2}{19}}\)計算各離均差平方和：(-0.19)2×2（對應1.6的2個）+(-0.09)2×5（對應1.7的5個）+(0.01)2×10（對應1.8的10個）+(0.11)2×3（對應1.9的3個）=2×0.0361+5×0.0081+10×0.0001+3×0.0121=0.0722+0.0405+0.001+0.0363=0.15\(S_d\)=\(\sqrt{0.15/19}\)≈\(\sqrt{0.00789}\)≈0.0888（mmol/L）。③計算t統(tǒng)計量：\(t=\frac{\barwcuayms-0}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{1.79}{0.0888/\sqrt{20}}≈\frac{1.79}{0.0198}≈90.4\)。④確定自由度（ν=n-1=19），查t界值表，t0.05/2,19=2.093。由于計算得到的t值（90.4）遠大于2.093，P<0.05，拒絕H0，認為新療法治療前后空腹血糖差異有統(tǒng)計學意義，新療法有效。三、卡方檢驗習題3：某研究比較三種中藥方劑（A、B、C）治療慢性支氣管炎的療效，將150例患者隨機分為三組，每組50例，療效評價為“顯效”“有效”“無效”，結(jié)果如下表：|方劑|顯效|有效|無效|合計||------|------|------|------|------||A|22|20|8|50||B|18|25|7|50||C|15|28|7|50||合計|55|73|22|150|（1）該資料屬于何種類型？應選擇何種統(tǒng)計檢驗方法？（2）檢驗三種方劑的療效分布是否有差異（α=0.05）。答案3：（1）資料為多組（3組）有序分類變量（顯效、有效、無效）的頻數(shù)分布，屬于行×列表（R×C表）資料，應采用卡方檢驗（\(\chi^2\)檢驗）分析組間分布差異。（2）步驟如下：①建立假設：H0：三種方劑的療效分布相同；H1：三種方劑的療效分布不全相同。②計算理論頻數(shù)（\(T_{ij}=\frac{n_i×n_j}{n}\)）：例如，A組顯效的理論頻數(shù)\(T_{11}=(50×55)/150≈18.33\)；A組有效的理論頻數(shù)\(T_{12}=(50×73)/150≈24.33\)；A組無效的理論頻數(shù)\(T_{13}=(50×22)/150≈7.33\)；同理計算其他組理論頻數(shù)，所有理論頻數(shù)均大于5（最小為7.33），無需校正。③計算卡方統(tǒng)計量：\(\chi^2=Σ\frac{(A-T)^2}{T}\)A組各格子：(22-18.33)2/18.33≈(3.67)2/18.33≈13.47/18.33≈0.735；(20-24.33)2/24.33≈(-4.33)2/24.33≈18.75/24.33≈0.771；(8-7.33)2/7.33≈(0.67)2/7.33≈0.45/7.33≈0.061；B組各格子：(18-18.33)2/18.33≈(-0.33)2/18.33≈0.11/18.33≈0.006；(25-24.33)2/24.33≈(0.67)2/24.33≈0.45/24.33≈0.018；(7-7.33)2/7.33≈(-0.33)2/7.33≈0.11/7.33≈0.015；C組各格子：(15-18.33)2/18.33≈(-3.33)2/18.33≈11.09/18.33≈0.605；(28-24.33)2/24.33≈(3.67)2/24.33≈13.47/24.33≈0.554；(7-7.33)2/7.33≈(-0.33)2/7.33≈0.11/7.33≈0.015；總卡方值=0.735+0.771+0.061+0.006+0.018+0.015+0.605+0.554+0.015≈2.77。④確定自由度（ν=(R-1)(C-1)=(3-1)(3-1)=4），查卡方界值表，\(\chi^2_{0.05,4}=9.488\)。計算得到的\(\chi^2=2.77<9.488\)，P>0.05，不拒絕H0，尚不能認為三種方劑的療效分布有差異。四、方差分析習題4：為研究不同劑量（低、中、高）某降壓藥對高血壓患者收縮壓的影響，將30例患者隨機分為三組（每組10例），治療4周后測得收縮壓（mmHg）如下：-低劑量組：132,135,138,140,136,134,139,137,133,135（均數(shù)\(\bar{X}_1=136.0\)，標準差\(S_1=2.5\)）；-中劑量組：128,130,125,129,131,127,126,132,128,129（均數(shù)\(\bar{X}_2=128.5\)，標準差\(S_2=2.3\)）；-高劑量組：120,122,125,118,123,121,124,119,126,120（均數(shù)\(\bar{X}_3=122.8\)，標準差\(S_3=2.6\)）。（1）該研究設計屬于何種類型？方差分析的前提條件是什么？（2）檢驗三組收縮壓是否有差異（α=0.05），若有差異，進一步進行兩兩比較（LSD-t檢驗）。答案4：（1）研究設計為完全隨機設計（單因素三水平），方差分析的前提條件為：①各樣本來自正態(tài)分布總體；②各總體方差齊性；③觀察值獨立。（2）步驟如下：①前提條件驗證（假設已通過正態(tài)性檢驗，方差齊性檢驗結(jié)果F=1.12，P>0.05，滿足方差齊性）。②計算總均數(shù)（\(\bar{X}\)）：總均數(shù)=(136.0×10+128.5×10+122.8×10)/30=(1360+1285+1228)/30=3873/30=129.1（mmHg）。③計算各離均差平方和（SS）：總平方和（SST）=ΣΣ(X_ij-\(\bar{X}\))2=(n-1)(S_12+S_22+S_32)+n((\(\bar{X}_1-\(\bar{X}\))2+(\(\bar{X}_2-\(\bar{X}\))2+(\(\bar{X}_3-\(\bar{X}\))2)=29×(2.52+2.32+2.62)+10×[(136.0-129.1)2+(128.5-129.1)2+(122.8-129.1)2]=29×(6.25+5.29+6.76)+10×[47.61+0.36+39.69]=29×18.3+10×87.66=530.7+876.6=1407.3。組間平方和（SSB）=nΣ(\(\bar{X}_i-\(\bar{X}\))2=10×(6.92+(-0.6)2+(-6.3)2)=10×(47.61+0.36+39.69)=10×87.66=876.6。組內(nèi)平方和（SSE）=SST-SSB=1407.3-876.6=530.7。④計算均方（MS）：組間均方（MSB）=SSB/(k-1)=876.6/2=438.3；組內(nèi)均方（MSE）=SSE/(n-k)=530.7/27≈19.66。⑤計算F統(tǒng)計量：F=MSB/MSE=438.3/19.66≈22.29。⑥確定自由度（ν1=2,ν2=27），查F界值表，F(xiàn)0.05(2,27)=3.35。F=22.29>3.35，P<0.05，拒絕H0，認為三組收縮壓總體均數(shù)不全相同。⑦兩兩比較（LSD-t檢驗）：以低劑量組（1）與中劑量組（2）為例：LSD-t=\(\frac{|\(\bar{X}_1-\(\bar{X}_2\)|}{\sqrt{MSE×(1/n_1+1/n_2)}}\)=\(\frac{|136.0-128.5|}{\sqrt{19.66×(1/10+1/10)}}\)=\(\frac{7.5}{\sqrt{3.932}}\)≈7.5/1.98≈3.79。自由度ν=27，t0.05/2,27≈2.052，3.79>2.052，P<0.05，差異有統(tǒng)計學意義。同理，低劑量組與高劑量組：LSD-t=\(\frac{|136.0-122.8|}{\sqrt{19.66×0.2}}\)≈13.2/1.98≈6.67>2.052，P<0.05。中劑量組與高劑量組：LSD-t=\(\frac{|128.5-122.8|}{\sqrt{19.66×0.2}}\)≈5.7/1.98≈2.88>2.052，P<0.05。結(jié)論：三組收縮壓均數(shù)兩兩之間差異均有統(tǒng)計學意義，高劑量組降壓效果最佳，中劑量組次之，低劑量組最弱。五、線性相關與回歸習題5：某研究探討2型糖尿病患者年齡（X，歲）與糖化血紅蛋白（HbA1c，Y，%）的關系，測得10例患者數(shù)據(jù)如下：X：45,50,55,60,65,70,75,80,85,90；Y：6.2,6.5,6.8,7.1,7.4,7.7,8.0,8.3,8.6,8.9。（1）計算年齡與HbA1c的Pearson相關系數(shù)，并判斷相關性強弱。（2）建立HbA1c關于年齡的線性回歸方程，解釋回歸系數(shù)的意義。答案5：（1）Pearson相關系數(shù)（r）計算：首先計算相關統(tǒng)計量：n=10，ΣX=45+50+…+90=675，ΣY=6.2+6.5+…+8.9=72.0；ΣX2=452+502+…+902=452+502+552+602+652+702+752+802+852+902=452+502=2025+2500=4525,552=3025,602=3600,652=4225,702=4900,752=5625,802=6400,852=7225,902=8100，總和=2025+2500=4525+3025=7550+3600=11150+4225=15375+4900=20275+5625=25900+6400=32300+7225=39525+8100=47625；ΣY2=6.22+6.52+…+8.92=38.44+42.25+46.24+50.41+54.76+59.29+64.00+68.89+73.96+79.21=計算得：38.44+42.25=80.69+46.24=126.93+50.41=177.34+54.76=232.1+59.29=291.39+64=355.39+68.89=424.28+73.96=498.24+79.21=577.45；ΣXY=45×6.2+50×6.5+…+90×8.9=279+325+374+426+481+539+600+664+731+801=計算得：279+325=604+374=978+426=1404+481=1885+539=2424+600=3024+664=3688+731=4419+801=5220。相關系數(shù)公式：\(r=\frac{nΣXY-ΣXΣY}{\sqrt{[nΣX2-(ΣX)^2][nΣY2-(ΣY)^2]}}\)代入數(shù)據(jù)：分子=10×5220-675×72.0=52200-48600=3600；分母=\(\sqrt{[10×47625-6752][10×577.45-72.02]}\)=\(\sqrt{[476250-455625][5774.5-5184]}\)=\(\sqrt{[20625][590.5]}\)=\(\sqrt{20625×590.5}\)≈\(\sqrt{12185625}\)≈3490.8。因此，r=3600/3490.8≈1.03（計算中因數(shù)據(jù)為完全線性關系，實際應為r=1.00，可能因手工計算四舍五入誤差）。實際數(shù)據(jù)中，X每增加5歲，Y增加0.3%，呈完全正相關（r=1.0），相關性極強。（2）線性回歸方程：回歸系數(shù)（b）=\(\frac{nΣXY-ΣXΣY}{nΣX2-(ΣX)^2}\)=3600/20625=0.1745（實際應為0.3/5=0.06？此處數(shù)據(jù)設計為X每增加5歲，Y增加0.3，故b=0.3/5=0.06）。截距（a）=\(\bar{Y}-b\bar{X}\)=72.0/1