必刷大題16空間向量與立體幾何在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點.（1）證明：B1D⊥平面ABD；（2）證明：平面EGF∥平面ABD.證明：（1）以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），設BA＝a，則A（a，0，0），所以BA＝（a，0，0），BD＝（0，2，2），B1D＝（0，2，－B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－即B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.（2）由（1）知，E（0，0，3），G（a2，1，4），F(xiàn)（0，1，4則EG＝（a2，1，1），EF＝（0，1，1B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結合（1）可知平面EGF∥平面ABD.2.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）求證：AP⊥BC；（2）若點M是線段AP上一點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.證明：（1）以O為原點，過點O作CB的平行線為x軸，以AD方向為y軸正方向，以OP的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示；則O（0，0，0），A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4），故AP＝（0，3，4），BC＝（－8，0，0），∴AP·BC＝0×（－8）＋3×0＋4×0＝0，∴AP⊥BC，即AP⊥BC.（2）∵PO⊥平面ABC，AO?平面ABC，∴PO⊥AO，∵PO＝4，AO＝3，故AP＝5，∵M為AP上一點，且AM＝3，∴M（0，－65，125），∴AM＝（0，95，125），BM＝（－4，－165，125），CM＝（4設平面BMC的法向量為n＝（a，b，c），則n·BM=0，n·CM則n＝（0，1，43設平面AMC的法向量為m＝（x，y，z），則m·AM=0，m·CM=0則m＝（5，4，－3）.由n·m＝0×5＋1×4＋43×（－3）＝0得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC.3.如圖，在圖①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，邊AB，AC上的點E，F(xiàn)滿足AEAB＝AFAC＝23，將△AEF沿EF翻折至△PEF處，得到圖②中的四棱錐P-EFCB，且二面角P-EF-（1）證明：平面PBC⊥平面EFCB；（2）求直線BE與平面PFC所成角的正弦值.解：（1）證明：因為AEAB＝AFAC＝23，所以EF因為等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC，所以EF⊥AB，在四棱錐P-EFCB中，EF⊥EB，EF⊥EP.所以∠PEB為二面角P-EF-B的平面角，即∠PEB＝60°.又PE＝2，BE＝1，所以PB＝PE2＋滿足PE2＝BE2＋PB2.即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以BE⊥平面PBC.又BE?平面EFCB，所以平面PBC⊥平面EFCB.（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，EB，EP?平面PBE，故EF⊥平面PBE，則有EF⊥PB.又EF∥BC，所以BC⊥PB，即PB，EB，CB兩兩垂直.以B為坐標原點，BC，BE，BP的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則有：B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，3），F(xiàn)（2，1，0）.BE＝（0，1，0）.設平面PFC的法向量n＝（x，y，z），PC＝（3，0，－3），F(xiàn)C＝（1，－1，0）.n·PC=3x－3z=0，n·FC＝x－y設所求角的大小為θ，則sinθ＝｜cos＜BE，n＞｜＝｜BE·n｜｜所以直線BE與平面PFC所成角的正弦值為554.如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB＝4，母線PH＝22，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形.（1）設平面POH∩平面PBC＝l，證明：l∥BC；（2）設D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長.解：（1）證明：∵四邊形OBCH為正方形，∴BC∥OH，∵BC?平面POH，OH?平面POH，∴BC∥平面POH.∵BC?平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l(xiāng)∥BC.（2）∵圓錐的母線長為22，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，以O為原點，OH，OB，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），M（0，1，1），設DN＝λDC＝（λ，2λ，0）（0≤λ≤1），ON＝OD＋DN＝（1＋λ，2λ，0），MN＝ON－OM＝（1＋λ，2λ－1，－1），OD＝（1，0，0）為平面PAB的一個法向量，設MN與平面PAB所成的角為θ，則sinθ＝（1+1+λ5λ2－2λ+3，令1＋λ則sinθ＝t5t2110∴當1t＝35時，即λ＝23時，sinθ最大，θ亦最大，此時MN∴MN＝｜MN｜＝532＋5.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點F的位置，且∠FEB＝60°.（1）求證：平面BFC⊥平面BCDE；（2）若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為155，求點C到平面DEF的距離解：（1）證明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∵EB∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，∵BF?平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴BF＝EF2＋∴EF2＝EB2＋BF2，∴FB⊥EB，∵DE∩BE＝E，∴BF⊥平面BCDE，∵BF?平面BFC，∴平面BFC⊥平面BCDE.（2）以B為原點，BA所在直線為y軸，在平面ABCD中過B作AB的垂線為x軸，BF所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設DE＝a，則D（a，1，0），E（0，1，0），F(xiàn)（0，0，3），DF＝（－a，－1，3），∵直線DF與平面BCDE所成角的正切值為155∴直線DF與平面BCDE所成角的正弦值為64平面BCDE的法向量n＝（0，0，1），∴｜cos＜n，DF＞｜＝｜n·DF｜｜n｜·｜DF｜＝34+a2＝64，解得a＝2，∴D（2，∴ED＝（2，0，0），DF＝（－2，－1，3），DC＝（0，－3，0），設平面EDF的法向量m＝（x，y，z），則m·ED=2x=0，m·DF＝－2x－y∴點C到平面DEF的距離d＝｜DC·m6.如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的體積為23（1）若E為棱SB的中點，求證：PE∥平面SCD；（2）在棱SA上是否存在點M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為235？若存在，指出點M的位置并給以證明；若不存在，解：（1）證明：取SC中點F，連接EF，F(xiàn)D，∵E，F(xiàn)分別為SB，SC的中點，∴EF∥BC，EF＝12BC∵底面四邊形ABCD是矩形，P為棱AD的中點，∴PD∥BC，PD＝12BC∴EF∥PD，EF＝PD，故四邊形PEFD是平行四邊形，∴PE∥FD.又∵FD?平面SCD，PE?平面SCD，∴PE∥平面SCD.（2）假設在棱SA上存在點M滿足題意，在等邊△SAD中，P為AD的中點，∴SP⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP?平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，則SP是四棱錐S-ABCD的高.設AD＝m（m＞0），則SP＝32m，S矩形ABCD＝m∴V四棱錐S-ABCD＝13S矩形ABCD·SP＝13m×32m＝233以點P為原點，PA，PS的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），S（0，0，3），故PA＝（1，0，0），PB＝（1，1，0），AS＝（－1，0，3）.設AM＝