第七節(jié)統(tǒng)計與概率的綜合問題重點解讀統(tǒng)計與概率的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關鍵是把握概率、統(tǒng)計的本質，合理構造模型，正確進行數(shù)學運算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題（師生共研過關）（2025·青島一模）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如圖所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3∶2∶1.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層隨機抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望.解：（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時間的平均數(shù)為：30×0.15＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＋110×0.1＝67（分鐘）.（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人，ξ的可能取值為：0，1，2，則P（ξ＝0）＝C43C20C63＝15，PP（ξ＝2）＝C41C所以ξ的分布列為：ξ012P131E（ξ）＝0×15＋1×35＋2×15解題技法統(tǒng)計圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計原理即用樣本數(shù)字特征估計總體的思想，結合樣本中各統(tǒng)計量之間的關系構造數(shù)學模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進行運算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計總體或作出科學的決策與判斷.（2024·黃山模擬）某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].（1）求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學成績位于[50，70），[70，90）的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間[70，90）的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學期望.解：（1）由頻率分布直方圖可得（0.0025＋0.0075＋0.015×2＋2a）×20＝1，解得a＝0.005.前四個矩形的面積之和為（0.0025＋0.0075＋2×0.015）×20＝0.8，前五個矩形的面積之和為0.8＋0.005×20＝0.9，設這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)為m，則0.8＋（m－110）×0.005＝0.85，解得m＝120，因此，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)為120.（2）數(shù)學成績位于[50，70），[70，90）的學生人數(shù)之比為0.0075∶0.015＝1∶2，所以，所抽取的9人中，數(shù)學成績位于[50，70）的學生人數(shù)為9×13＝3數(shù)學成績位于[70，90）的學生人數(shù)為9×23＝6由題意可知，隨機變量X的可能取值有0，1，2，3，則P（X＝0）＝C33C93＝184，P（X＝P（X＝2）＝C31C62C93＝1528，P所以，隨機變量X的分布列如下表所示：X0123P13155所以，E（X）＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×5回歸分析與概率的綜合問題（師生共研過關）（2025·鄭州名校聯(lián)盟）某高中數(shù)學興趣小組，在學習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明；（2）建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求E（X）.參考數(shù)據(jù)：∑i=15xiyi＝62194，∑i=15（yi－y參考公式：樣本相關系數(shù)r＝∑i=1n（xi－x)(yi－y）∑i=1n（解：（1）由表中的數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得∑i=15xi＝850，x＝170，∑i=15yi＝∑i=15（xi－x）2＝112＋52＋02＋62＋102∑i=15（yi－y）2＝8.6，∑i=15（xi－x）（yi－y）＝∑i=15xiyi所以r＝∑i=15（xi－因為y與x的樣本相關系數(shù)近似為0.997，說明y與x的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.（2）由y＝73及（1）得b＝∑i=15（xi－x)(yi－y）∑i=15（xi－x）2＝所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝－13.81＋0.51x.（說明：根據(jù)a＝y(tǒng)－bx≈73－0.51×170＝－13.70，得出y＝－13.70＋0.51x也正確（3）X的取值依次為2，3，4，5，6，7，9，11，P（X＝2）＝2C52＝15，P（X＝3P（X＝4）＝1C52＝110，P（X＝5）＝P（X＝6）＝1C52＝110，P（X＝7）＝P（X＝9）＝1C52＝110，P（X＝11）＝所以E（X）＝2×15＋3×110＋4×110＋5×15＋6×110＋7×110＋9×110解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設計兩類問題，即：①求經(jīng)驗回歸方程（預測）；②求某隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構建概率模型.當下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：關卡x123456平均過關時間y（單位：秒）5078124121137352計算得到一些統(tǒng)計量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關的平均過關時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進入下一關，否則獲得－1分且該輪游戲結束.甲通過練習，前3關都能在平均時間內(nèi)過關，后面3關能在平均時間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學期望解：（1）對y＝aebx兩邊取對數(shù)可得lny＝ln（aebx）＝lna＋lnebx，即lny＝lna＋bx，令ui＝lnyi，所以u＝bx＋lna，由u＝16∑i=16uix＝16×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，∑i=16xi2＝12＋22＋32＋42＋5所以b＝∑i=1nxiui又u＝bx＋lna，即4.75＝0.36×3.5＋lna所以lna＝3.49，所以a＝e3.49.所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝e0.36x＋3.49.（2）由題知，甲獲得的積分X的所有可能取值為5，7，9，12，所以P（X＝5）＝15，P（X＝7）＝45×15P（X＝9）＝（45）2×15＝P（X＝12）＝（45）3＝64所以X的分布列為X57912P141664所以E（X）＝5×15＋7×425＋9×16125＋12×64獨立性檢驗與概率的綜合問題（師生共研過關）（2024·湖北七市州調(diào)研）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請列出2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系；（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求E（X）和D（X）；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設為H0：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關.根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得χ2＝60×（7×16－23×14）221×39×30×30根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1.（2）因學?？倢W生數(shù)遠大于所抽取的學生數(shù)，故X近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率P＝560＝1即可得X～B（20，112）故E（X）＝20×112＝5D（X）＝20×112×1112＝（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布，則P（Y＝0）＝C70CP（Y＝1）＝C71C32P（Y＝2）＝C72C31P（Y＝3）＝C73C30故所求分布列為Y0123P17217可得E（Y）＝0×1120＋1×740＋2×2140＋3×724＝2110解題技法獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的概率模型求解.（2025·臨沂一模）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態(tài)度，隨機調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）性別對“趕大集”的態(tài)度合計非常喜歡感覺一般男性3t100女性t合計60（1）求t的值，試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.參考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(cα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）由題意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，2×2列聯(lián)表如下：性別對“趕大集”的態(tài)度合計非常喜歡感覺一般男性6040100女性8020100合計14060200零假設為H0：年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別無關，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得，χ2＝200＝200×20002140×60×100×100≈根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）設進一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則X＝m＋n，且X的所有可能取值為1，2，3，4.P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝C33C21P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝C21CP（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝C22C31P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝C22C31所以X的分布列為X1234P11321所以E（X）＝1×230＋2×1330＋3×1230＋4×31.（2025·常德模擬）某市組織宣傳小分隊進行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時間x（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310（1）從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）由于統(tǒng)計人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關于天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：y＝19∑i=19yi＝190，∑i=19（xi－x）2＝60，∑i=19（yi－y）2＝55482，∑i=19（附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為：b＝∑i=1n（xi－x)(解：（1）每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C64C94＝542，P（X＝P（X＝2）＝C62C32C94＝514，P故X的分布列為X0123P51051E（X）＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×1（2）設原來數(shù)據(jù)的樣本中心點為（x，y），去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點為（x'，y'），x'＝18（1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9）＝5，x'＝x5＝5＝xy'＝18（9y－y5）＝18（9×190－203）＝故b＝（＝（＝∑＝∑i=19xia＝y(tǒng)'－bx'＝15078－30×5＝3078，所以y＝2.（2024·揚州第二次調(diào)研）甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機調(diào)查了1000名消費者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040（1）能否有95%的把握認為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關；（2）若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）2×2列聯(lián)表如表所示，滿意不滿意總計男44060500女46040500總計9001001000χ2＝1000×（440×40－460×60故有95%的把握認為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關.（2）由題知，從該地區(qū)的消費者中隨機抽取1人，不滿意的概率為110，X的所有可能取值為0，1，2，3且P（X＝0）＝（910）3＝729P（X＝1）＝C31（910）2×1P（X＝2）＝C32×910×（110）P（X＝3）＝（110）3＝1所以X的分布列為：X0123P729243271E（X）＝0×7291000＋1×2431000＋2×2713.某市為了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了3000名學生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）按照分層隨機抽樣方法從[40，50）和[80，90]中隨機抽取了9名學生.現(xiàn)從已抽取的9名學生中隨機推薦3名學生參加體能測試.記推薦的3名學生來自[40，50）的人數(shù)為X，求X的分布列；（2）由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間t近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ為周末運動時間的平均數(shù)，σ近似為樣本的標準差s，并已求得s≈14.6.可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機抽取12名學生，記周末運動時間在（43.9，87.7]之外的人數(shù)為Y，求P（Y＝3）的值.（精確到0.001）參考數(shù)據(jù)：當t～N（μ，σ2）時，P（μ－σ＜t≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜t≤μ＋3σ）≈0.9973.0.81869≈0.1651，0.18143≈0.0060.解：（1）運動時間在[40，50）的人數(shù)為3000×0.02×10＝600.運動時間在[80，90]的人數(shù)為3000×0.01×10＝300.按照分層隨機抽樣方法共抽取9人，則在區(qū)間[40，50）內(nèi)抽取的人數(shù)為6，在區(qū)間[80，90]內(nèi)抽取的人數(shù)為3.∴隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C60C33C93＝184，PP（X＝2）＝C62C31C93＝1528，P∴隨機變量X的分布列為X0123P13155（2）μ＝t＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝s≈14.6.∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ.∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈0.6827+0.954∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.8186＝0.1814，∴Y～B（12，0.1814）.∴P（Y＝3）＝C123×0.18143×0.81869≈220×0.0060×0.1651≈0.4.某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y（千克）與使用某種液體肥料的質量x（千克）之間的關系為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算樣本相關系數(shù)r并加以說明（精確到0.01）；（若｜r｜＞0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關系：周光照量X/小時30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制儀最多可運行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運行，則該