第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型課標(biāo)要求1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.3.通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.4.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.1.樣本空間和隨機(jī)事件關(guān)鍵詞含義樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果，常用ω表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合，常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間關(guān)鍵詞含義隨機(jī)事件樣本空間Ω的子集，常用大寫字母A，B，C，…表示基本事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件必然事件每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件不可能事件每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件（和事件）A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω3.古典概型（1）古典概型的特征①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.（2）古典概型的概率公式：設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n（4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P（A）≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）；性質(zhì)5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P（A）≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）.5.頻率和概率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A），我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用頻率fn（A）估計(jì)概率P（A）.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.（×）（2）兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.（×）（3）若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件.（×）（4）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.（×）2.（人A必修二P235練習(xí)1題改編）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是（）A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析：B射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.（人A必修二P257練習(xí)1（1）（2）題改編）把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為（）A.0.496 B.0.504C.0.5 D.1解析：C擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.4.（人A必修二P237例8改編）從集合{1，2，4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝（a，b）與向量n＝（2，－1）垂直的概率為（）A.19 B.C.13 D.解析：B從集合{1，2，4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，可以組成向量m＝（a，b）的個(gè)數(shù)是3×3＝9，其中與向量n＝（2，－1）垂直的向量是m＝（1，2）和m＝（2，4），共2個(gè)，故所求的概率為P＝295.拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P（A∪B）＝23，P（A∩B）＝16解析：拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，3，5，6}這4個(gè)樣本點(diǎn)，故P（A∪B）＝23；事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{3}這1個(gè)樣本點(diǎn)，故P（A∩B）＝1隨機(jī)事件關(guān)系的判斷（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)黑球B.至少有1個(gè)紅球與都是黑球C.至少有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)黑球D.恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球解析：D對(duì)于A，不互斥，如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至少有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以A不符合題意；對(duì)于B，至少有1個(gè)紅球與都是黑球不能同時(shí)發(fā)生，且必有其中1個(gè)發(fā)生.所以為互斥事件，且為對(duì)立事件，所以B不符合題意；對(duì)于C，不互斥.如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至多有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以C不符合題意；對(duì)于D，恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，所以為互斥事件，但不對(duì)立，如恰有3個(gè)紅球.2.〔多選〕有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”，下列命題正確的是（）A.E與G是互斥事件 B.F與I互為對(duì)立事件C.F與G不是互斥事件 D.G與I是互斥事件解析：BC對(duì)于A，E與G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，F(xiàn)與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，所以F與I互為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，F(xiàn)與G可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對(duì)于D，G與I可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.3.〔多選〕口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個(gè)球，事件A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷正確的是（）A.A與D為對(duì)立事件 B.B與C是互斥事件C.C與E是對(duì)立事件 D.P（C∪E）＝1解析：AD當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，B不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，C不正確；顯然A與D是對(duì)立事件，A正確；C∪E為必然事件，P（C∪E）＝1，D正確.練后悟通事件關(guān)系判斷的策略（1）判斷事件的互斥、對(duì)立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生；（2）判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系，運(yùn)用Venn圖分析事件.隨機(jī)事件的概率（定向精析突破）考向1古典概型的概率（1）（2025·湘豫名校聯(lián)考）黨的二十大報(bào)告提出：“深化全民閱讀活動(dòng).”今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識(shí)的價(jià)值、強(qiáng)調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術(shù)館、文化館四個(gè)公共文化場(chǎng)館面向社會(huì)免費(fèi)開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個(gè)場(chǎng)館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個(gè)場(chǎng)館的可能性相同，則A，B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為（D）A.12 B.C.56 D.解析：（1）將5名志愿者分配到4個(gè)場(chǎng)館，共有C52A44種不同的方法，其中A，B兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)館共有A44種不同的方法，所以A，B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為P＝1－（2）（2025·八省聯(lián)考）有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為356解析：（2）從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為C83＝8×7×63×2×1＝56，因?yàn)?＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18，則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5解題技法古典概型的概率求解步驟（1）求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n；（2）求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)m；（3）代入公式P（A）＝mn求解考向2互斥事件與對(duì)立事件的概率某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：（1）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；解：（1）設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝1+10+501000故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為611（2）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.解：（2）設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與事件“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，∴P（N）＝1－P（A∪B）＝1－[P（A）＋P（B）]＝1－（11000＋1100故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為9891解題技法互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.1.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（）A.310 B.C.35 D.解析：C從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，有C63＝20（個(gè)）三角形，其中直角三角形，每邊對(duì)應(yīng)2個(gè)，如圖，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12（個(gè)），所以所求概率為12202.從（3x＋1）5的展開式各項(xiàng)的系數(shù)中任取兩個(gè)，其和為奇數(shù)的概率是815解析：（3x＋1）5展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C5r·35－r·x5－r，其中系數(shù)為35－r·C5r，因?yàn)?5－r一定為奇數(shù)，所以各項(xiàng)系數(shù)的奇偶性與二項(xiàng)式系數(shù)的奇偶性相同，C50＝C55＝1，C51＝C54＝5，C52＝C53＝10，四個(gè)奇數(shù)3.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：（1）至多2人排隊(duì)等候的概率；（2）至少3人排隊(duì)等候的概率.解：記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.（1）記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.（2）法一記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.用頻率估計(jì)概率（師生共研過關(guān)）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年的六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；解：（1）這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690＝0.6所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.解：（2）當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋（450－200）×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝300×6＋（450－300）×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×（6－4）＝900，所以利潤Y的所有可能值為－100，300，900.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490＝0.8因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.解題技法1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在上一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010（1）記A為事件“續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P（A）的估計(jì)值；解：（1）事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為60+50200＝0.55，用頻率估計(jì)概率，故P（A）的估計(jì)值為0.55（2）記B為事件“續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P（B）的估計(jì)值；解：（2）事件B發(fā)生的條件是當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200＝0.3，用頻率估計(jì)概率，故P（B）的估計(jì)值為0.3（3）求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解：（3）由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.1.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（A.至多有一張移動(dòng)卡 B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡 D.至少有一張移動(dòng)卡解析：A由題意知“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件是“至多有一張移動(dòng)卡”，又1－310＝710，故“至多有一張移動(dòng)卡”的概率是2.設(shè)A，B為同一試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，則“P（A）＋P（B）＝1”是“事件A，B互為對(duì)立事件”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B因?yàn)镻（A）＞0，P（B）＞0，所以若事件A，B為對(duì)立事件，則P（A）＋P（B）＝1；但P（A）＋P（B）＝1推不出兩個(gè)事件A，B對(duì)立，如擲一顆骰子，事件A為出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)，此時(shí)P（A）＋P（B）＝1，但兩個(gè)事件不對(duì)立，所以“P（A）＋P（B）＝1”是“事件A，B互為對(duì)立事件”的必要不充分條件.故選B.3.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16 B.C.12 D.解析：D從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C72＝21（種）取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況有（2，3），（2，5），（2，7），（3，4），（3，5），（3，7），（3，8），（4，5），（4，7），（5，6），（5，7），（5，8），（6，7），（7，8），共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1421＝234.某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)7nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.8，0.8，0.7，則從這25塊芯片中隨機(jī)抽取一塊，該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是（）A.0.76 B.0.64C.0.58 D.0.48解析：A由題可知，甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品總數(shù)為5×0.8＋10×0.8＋10×0.7＝19，根據(jù)古典概型計(jì)算可得該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率為1925＝0.76，故選A5.某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團(tuán)，學(xué)生們都能自主選擇自己喜歡的社團(tuán).目前話劇社團(tuán)、書法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請(qǐng)加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，則甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)的概率為（）A.14 B.C.16 D.解析：C4名同學(xué)分別進(jìn)入話劇社團(tuán)、書法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)共有A44＝24（種）選法，其中甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)有C21A22＝4（種）選法，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，甲進(jìn)街舞社團(tuán)，6.〔多選〕下列說法中正確的有（）A.若事件A與事件B是互斥事件，則P（A∩B）＝0B.若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P（A∪B）＝1C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件解析：ABC事件A與事件B互斥，則A，B不可能同時(shí)發(fā)生，所以P（A∩B）＝0，故A正確；事件A與事件B是對(duì)立事件，則事件B即為事件A，所以P（A∪B）＝1，故B正確；事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，且二者必有一個(gè)發(fā)生，所以為對(duì)立事件，故C正確；事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，所以不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.7.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線），現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為314.解析：從八卦中任取兩卦，樣本點(diǎn)總數(shù)n＝C82＝28，這兩卦的陽線數(shù)目相同的樣本點(diǎn)有6種，分別為（兌，巽），（兌，離），（巽，離），（坎，艮），（艮，震），（坎，震），∴這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為P＝6288.（2022·全國甲卷理15題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為635解析：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，取法有C84＝70（種）.其中4個(gè)點(diǎn)共面有以下兩種情況：（1）所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1，有6（2）所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對(duì)角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2，也有6種取法.所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率P＝1270＝69.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩所中學(xué)所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解：（1）由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.入選代表隊(duì)學(xué)生全從B中學(xué)抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為C33C43C63C63＝1100，（2）設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件C，記“參賽女生有2人”為事件D，“參賽女生有3人”為事件E，則P（D）＝C32C32C64＝35，P（E）＝C33C31C64＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P（C10.某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)的85人中，有75人是高級(jí)工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)又不是高級(jí)工程師的員工共有14人，公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級(jí)工程師的概率為（）A.38 B.C.45 D.解析：C如圖，設(shè)A集合為“優(yōu)秀員工”，B集合為“高級(jí)工程師”，由題A集合有85個(gè)元素，A∩B有75個(gè)元素，?U（A∪B）有14個(gè)元素，故集合B中有96個(gè)元素.故概率P＝96120＝45，故選11.已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.6，P（A）＝0.4，則事件B的對(duì)立事件的概率為（）A.0.2 B.0.4C.0.6 D.0.8解析：D由題得P（A∩B）＝0，P（A∪B）＝0.6，又P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），所以P（B）＝0.6－0.4＝0.2，所以事件B的對(duì)立事件的概率為1－0.2＝0.8，故選D.12.〔多選〕小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時(shí)間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時(shí)間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是（）A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事件B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04解析：BD對(duì)于選項(xiàng)A，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分鐘，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線路一所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為（50，60），（60，50）和（60，60）三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以選項(xiàng)D正確.故選B、D.13.若A，B互為對(duì)立事件，P（A）＝1a，P（B）＝2b，且a＞0，b＞0，則2a＋b的最小值是8解析：因?yàn)锳，B互為對(duì)立事件，所以P（A）＋P（B）＝1a＋2b＝1，且a＞0，b＞0，可得2a＋b＝（1a＋2b）（2a＋b）＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，當(dāng)且僅當(dāng)ba＝4ab，即b＝214.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]頻數(shù)412423210（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（2）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系為y＝－2，t<94，2，94≤t<102，解：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為22+8100＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為32+10100＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42（2）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0，當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t≥94，由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t≥94的頻率為100－4100＝0所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率約為0.96.用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤為1100×[4×（－2）＋54×2＋42×4]＝2.68（元15.（創(chuàng)新知識(shí)交匯）〔多選〕（2025·日照一模）從標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依次得到數(shù)字a，b，記點(diǎn)A（a，b），B（1，－1），O（0，0），則（）A.∠AOB是銳角的概率為7B.∠ABO是直角的概率為1C.△AOB是銳角三角形的概率為7D.△AOB的面積不大于5的概率為43解析：ACDA選項(xiàng)，標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，