微突破一元二次不等式恒（能）成立問題解決不等式恒（能）成立問題，常用的方法有：判別式法、數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法、主參換位法、轉(zhuǎn)化法等，方法靈活多變，需根據(jù)具體的條件選擇合適的方法求解.判別式法解決恒成立問題若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：原不等式可化為x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵該不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴Δ≤0，即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a｜a≤－1或a≥4}.點(diǎn)評(píng)（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要條件是a（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要條件是a提醒當(dāng)不等式ax2＋bx＋c＞0未說(shuō)明為一元二次不等式時(shí)，要對(duì)a分a＝0或a≠0進(jìn)行討論.數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題已知函數(shù)f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.當(dāng)x＞2時(shí)，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范圍.解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2時(shí)恒成立，令g（x）＝x2－mx＋2m－3，①若m2≤2，即m≤4，如圖1只需g（2）≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4滿足題意；②若m2＞2，即m＞4，如圖2只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0，則（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6.綜上所述，m的取值范圍為{m｜m≤6}.點(diǎn)評(píng)（1）在R上恒成立：對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；（2）在給定區(qū)間恒成立：可結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解，設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：①a＞0時(shí)，f（x）＜0在α≤x≤β時(shí)恒成立?f②a＜0時(shí)，f（x）＞0在α≤x≤β時(shí)恒成立?f③f（x）＞0在α≤x≤β時(shí)恒成立?{x｜α≤x≤β}?A，其中A是f（x）＞0的解集.分離參數(shù)法解決恒成立問題已知函數(shù)f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]時(shí)不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，4）.解析：∵f（x）＝ax2＋x－1，由f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5可得，ax2＋x－1＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5，整理得，ax＜x2＋4，∵不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5在x∈[1，5]上恒成立，∴ax＜x2＋4在[1，5]上恒成立，即a＜x＋4x在[1，5]上恒成立，設(shè)g（x）＝x＋4x，x∈[1，5]，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易得函數(shù)g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，5]上單調(diào)遞增，故g（x）min＝g（2）＝4，∴a＜g（x）min＝4，即a的取值范圍是（－∞，點(diǎn)評(píng)如果欲求范圍的參數(shù)能夠分離到不等式的一邊，那么這時(shí)可以通過(guò)求出不等式另一邊式子的最值（范圍）來(lái)得到不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍.一般地，a≥f（x）恒成立時(shí)，應(yīng)有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立時(shí)，應(yīng)有a≤f（x）min.主參換位法解決恒成立問題已知a∈[－1，1]時(shí)，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為（－∞，1）∪（3，＋∞）.解析：把不等式的左端看成關(guān)于a的函數(shù)，記f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，則由f（a）＞0對(duì)于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式組x2－5x+6>0，x2－點(diǎn)評(píng)如果不等式中含有多個(gè)變量，這時(shí)選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵.一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).轉(zhuǎn)化為函數(shù)（式子）的最值解決能成立問題已知f（x）＝2x2－12x＋10，若對(duì)于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[－10，＋∞）.解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等價(jià)于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]時(shí)有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨設(shè)g（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，則g（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，所以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10.點(diǎn)評(píng)（1）a＞f（x）能成立?a＞f（x）min；（2）a＜f（x）能成立?a＜f（x）max.1.當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.［52，＋∞） B.（－∞，5C.（52，＋∞） D.（－∞，5解析：A當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以當(dāng)1≤x≤2時(shí)，a≥x2+1x＝x＋1x恒成立，則a≥（x＋1x）max，令g（x）＝x＋1x，則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以g（x）max＝g（2）＝2＋12＝2.若函數(shù)f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為8.解析：因?yàn)閍＞0，所以二次函數(shù)f（x）＝ax2＋20x＋14的圖象開口向上.在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－10a時(shí)，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，將t＝－10a代入解得a≥8.所以a的最小值為3.已知函數(shù)f（x）＝x2＋2ax－a＋2.（1）若?x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解：（1）若?x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，則f（x）max≥0，x∈[－1，1].函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x＝－a.當(dāng)－a≤0，即a≥0時(shí)，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.當(dāng)－a＞0，即a＜0時(shí)，f（x）max＝f（－1）＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0.綜上可得，實(shí)數(shù)a