第19講對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)（3）底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸；當(dāng)0<a時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）（4）對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.知識(shí)點(diǎn)2反函數(shù)定義：設(shè)A,B分別為函數(shù)yf(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)yf(x)所解得的x(y)也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)yB，都有唯一的xA與之對(duì)應(yīng)），那么就稱函數(shù)x(y)是函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作，在中，y是自變量，x是y的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（xB,yA）的形式．函數(shù)（yB,xA）與函數(shù)（xB,yA）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)yf(x)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)yf(x)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．注意：并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．反函數(shù)的性質(zhì)：（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱．（2）若函數(shù)yf(x)圖象上有一點(diǎn)(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)圖象上；反之，若(b，a)在反函數(shù)圖象上，則(a，b)必在原函數(shù)圖象上．知識(shí)點(diǎn)3比較大小1.比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大?。虎诶脤?duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大?。?）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來比較大?。?.對(duì)數(shù)等比定理（特別當(dāng)m=n=1時(shí)，）證明：因?yàn)?，所以，?.同步升（降）次法根據(jù)可知，.4.糖水不等式解決對(duì)數(shù)比較大小定理：若ab0，m0，則一定有，或者通俗的理解就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜．教材習(xí)題01．對(duì)數(shù)函數(shù)，，（，，，且a，b，c均不為1）的圖象如圖，試比較a，b，c的大?。?/p>

解題方法當(dāng)時(shí)，，，如圖①，②，③，

由圖可知【答案】教材習(xí)題02比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，；(4)，（，且，）．解題方法（1）解：由對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.（2）解：由對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以.（3）解：由對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.（4）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，且，可得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，且，可得.【答案】(1)(2)(3)(4)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.教材習(xí)題03求使下列不等式成立的實(shí)數(shù)x的集合：(1)；(2).解題方法（1）因?yàn)椋液瘮?shù)為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以使成立的實(shí)數(shù)x的集合為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，所以，所以使成立的實(shí)數(shù)x的集合為.【答案】(1)(2)考點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．33．若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為．4．若函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則．5．（1）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果對(duì)數(shù)式有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)型函數(shù)的三要素1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．在對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)該是（

）A． B．且 C． D．且3．函數(shù)的值域?yàn)椋?．函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?5．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若的值域?yàn)?，求a的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減？若存在，寫出一個(gè)符合題意的值；若不存在，說明理由.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及最值1．函數(shù)的圖象如圖所示，則a的值可以是（

）A． B．2 C．e D．2．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．已知是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．已知，，求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的的值．6．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值.考點(diǎn)四求反函數(shù)及反函數(shù)的應(yīng)用1．函數(shù)的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．3．對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．4．方程的實(shí)根是．5．在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱．一般地，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，把用表示出，得到．若對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過在中都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，那么，就表示是自變量，是因變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作．習(xí)慣上，我們用表示自變量，表示因變量，所以函數(shù)的反函數(shù)通常寫為．反函數(shù)的主要性質(zhì)有：①對(duì)稱性：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②單調(diào)性：一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；③定義域與值域：反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域．(1)試判斷是否有反函數(shù)（直接寫出答案）；(2)試求出函數(shù)的反函數(shù)，并指明函數(shù)的定義域和值域然后判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若關(guān)于的方程為常數(shù)）恰有兩個(gè)根，且分別滿足和，試求的值．（注：若關(guān)于直線對(duì)稱，則直線關(guān)于直線對(duì)稱）考點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．函數(shù)與的圖象只可能是下圖中的（

）A．

B．

C．

D．

2．函數(shù)與的圖象關(guān)于（

）A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱3．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.4．若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)若，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的圖象總在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)六比較大小1．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3．已知，，，比較a，b，c的大小關(guān)系：．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為．5．比較下列各組值的大?。?1)，；(2)，，；(3)，，．考點(diǎn)七不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異1．四個(gè)函數(shù)在第一象限中的圖象如圖所示，則a，b，c，d所表示的函數(shù)可能是（

）A．B．C．D．2．下面關(guān)于函數(shù)與在區(qū)間上的遞減情況說法正確的是（

）A．遞減速度越來越慢，遞減速度越來越快，遞減速度越來越慢B．遞減速度越來越快，遞減速度越來越慢，遞減速度越來越快C．遞減速度越來越慢，遞減速度越來越慢，遞減速度越來越慢D．遞減速度越來越快，遞減速度越來越快，遞減速度越來越快3．某工廠8年來某產(chǎn)品總產(chǎn)量與時(shí)間（年）的函數(shù)關(guān)系如圖，則：①前3年總產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越快；②前3年總產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越慢；③第3年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)．以上說法中正確的是．（填序號(hào)）4．（1）（2）（3）分別是與在不同范圍內(nèi)的圖象，估算出使的的取值范圍是.（參考數(shù)據(jù)：，）5．函數(shù)和的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，且．(1)請(qǐng)指出圖中曲線，分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷，，，的大?。R(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3．反函數(shù)4.對(duì)數(shù)比較大小一、單選題1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．5．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，其中，，若恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．關(guān)于函數(shù)，以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為 B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．如果的值域?yàn)?，則 D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?11．若函數(shù)是偶函數(shù)，則.12．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的值為.13．已知函數(shù)，，，若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.14．函數(shù)的定義域?yàn)?15．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是.16．已知函數(shù)，若，則的最小值為.17．已知函數(shù)，則的最小值是．四、解答題18．已知函數(shù)，（，且）.(1)求函數(shù)的定義域；