彈塑性力學彈性應力應變關系第1頁，共43頁。5.1彈性應力應變關系第2頁，共43頁。一般表示材料對稱性各向同性彈性體彈性常數(shù)的測定矩陣形式表達彈性應變能第3頁，共43頁。

應力只取決于應變狀態(tài)，與達到該狀態(tài)的過程無關

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)一般表示第4頁，共43頁。對于線性彈性材料，應力與應變是線性關系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系數(shù)cmn共36個，取決于材料彈性性質，與坐標系選取有關第5頁，共43頁。張量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl稱為四階彈性張量，共81個分量。同樣也取決于坐標系，服從四階張量的坐標變換定律

第6頁，共43頁。彈性張量的對稱性（1）根據(jù)應力張量和應變張量的對稱性

Cijkl=Cjikl

（2）根據(jù)應力張量和應變張量的對稱性

Cijkl=Cijlk

獨立的分量也是36個。第7頁，共43頁。（3）應變能存在，則彈性張量關于ij和kl也應對稱

Cijkl=Cklij

獨立的彈性常數(shù)共有21個第8頁，共43頁。兩種表示方式之間的關系

彈性系數(shù)c的下標1、2、3、4、5、6

對應于張量C的指標11、22、33、12、23、31

例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

彈性系數(shù)cmn也應具有對稱性

cmn＝cnm

第9頁，共43頁。材料對稱性彈性對稱面該面對稱的兩個方向具有相同的彈性關系第10頁，共43頁。

第11頁，共43頁。以最后一個方程為例

zx

反號，而

x，

y，

z和

xy不變，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y

=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z

=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy

=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz

=c55

yz+c56

zx

zx

=c56

yz+c66

zx13個獨立常數(shù)第12頁，共43頁。正交各向異性材料具有三個相互正交的彈性對稱面。獨立彈性常數(shù)減少到9個

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c22

y+c23

z

z

=c13

x+c23

y+c33

z

xy

=c44

xy

yz

=c55

yz

zx

=c66

zx

各種增強纖維復合材料和木材等屬于這類材料第13頁，共43頁。橫觀各向同性材料存在一個彈性對稱軸，在垂直該軸的平面內材料各向同性。將x，y軸互換時，材料彈性關系不變

c11=c22，c13=c23，c55=c66

將坐標系繞z軸旋轉450，剪切應力應變關系不變，得c44=0.5(c11

c12)第14頁，共43頁。

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=

c55

zx

獨立的彈性常數(shù)減少到5個。例如：層狀結構的巖體。第15頁，共43頁。各向同性彈性體廣義Hooke定律將x軸與z軸互換，或將y軸與z軸互換時，材料彈性關系不變，

c11=c33，c12=c13，c55=c66=0.5(c11

c12)

于是，獨立的彈性常數(shù)減少到2個

第16頁，共43頁。

x

=c11

x+c12

y+c12

z

y

=c12

x+c11

y+c12

z

z

=c12

x+c12

y+c11

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=0.5(c11

c12)

yz

zx

=0.5(c11

c12)

zx第17頁，共43頁。令

c12=

，c11

c12=2G

、G稱為Lame（拉梅）彈性常數(shù)

x=2G

x

+

xy=G

xy

y=2G

y

+

yz=G

yz

z=2G

z

+

zx=G

zx

=

x

+

y

+

z

是體積應變第18頁，共43頁。廣義Hooke定律的張量形式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij

=Cijkl

kl

Cijkl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk)

某個面上的剪切應力為零時，剪應變也為零應力的主方向與應變的主方向重合第19頁，共43頁。應變用應力表示

kk=(3

+2G)

kk

第20頁，共43頁。體積應力與體積應變關系將等式對應相加，可得平均應力與體積應變的關系：

3

0=(2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/3是平均應力。

0=K

式中 K=(3

+2G)/3

是體積變形模量。第21頁，共43頁。偏應力與偏應變關系

x=2G

x

+

sx+

0=2G(ex

+

)+

將體應力與體應變關系代入：

sx=2Gex

同理可得：

sy=2Geysz=2Gez

第22頁，共43頁。

張量形式表示為

sij

=2Geij

在線彈性范圍內，偏應力只產(chǎn)生偏應變，即只產(chǎn)生形狀改變，體積應力只產(chǎn)生體應變，即只產(chǎn)生體積改變。第23頁，共43頁。彈性常數(shù)的測定靜水壓縮實驗體積模量第24頁，共43頁。單軸拉伸實驗使用物理關系，有彈性模量和泊松比：相反，有

第25頁，共43頁。純剪實驗使用物理方程，

xy

=2G

xy，

G是剪切模量。第26頁，共43頁。單軸應變實驗有唯一應變分量約束模量：第27頁，共43頁。各向同性彈性本構關系用其他參數(shù)表示：正應力只產(chǎn)生正應變；剪應力只產(chǎn)生剪應變。每個應變等于各個應力單獨作用時產(chǎn)生的應變之和。第28頁，共43頁。彈性常數(shù)的限制實驗結果表明，E、G、K總為正值，有大多數(shù)材料為正值，而，有即材料彈性不可壓縮，如橡膠。第29頁，共43頁。矩陣形式表達第30頁，共43頁。第31頁，共43頁。第32頁，共43頁。平面應力情況第33頁，共43頁。平面應變情況（重力壩）第34頁，共43頁。彈性應變能一維情況

一細長桿，長度L，橫截面積S，兩端受拉力P作用，伸長量為

L，外力功為 由于應力

x=P/S，

x=

L/L，上式可寫成

第35頁，共43頁。單位體積的應變能W為求應變能相對應變的偏導第36頁，共43頁。三維情況

考察微小六面體，應力分量

ij產(chǎn)生的應變分量

ij，各應力分量

ij都只在與它相同的應變分量

ij上做功，第37頁，共43頁。根據(jù)能量平衡，單位體積的應變能應是

所以

dW=

ijd

ij

對于彈性體，應變能只取決于狀態(tài)，是應變狀態(tài)的單值函數(shù)W=W(

ij)，應變能增量dW必須是全微分

第38頁，共43頁。于是對于任意的應變增量d

ij都應成立：這是從能量角度出發(fā)建立的彈性物體的應力-應變關系可導出如下對稱性

C