第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1.了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化.2.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.1.下列與9π4的終邊相同的角的表達式中正確的是（A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋9π4（k∈C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋5π4（k∈解析：C終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應為π4＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）2.已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P（m，4）（m≠0），且cosα＝m5，則tanα＝（A.±43 B.C.±34 D.解析：Acosα＝mm2＋42＝m5，解得m＝±3，故tanα＝3.若sinα＜0且tanα＜0，則角α是第象限角.答案：四解析：根據三角函數(shù)在各象限的符號，由sinα＜0且tanα＜0，可得α在第四象限.4.已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為.答案：12π解析：∵α＝30°＝π6，l＝αr，∴r＝2ππ6＝12，∴扇形的面積S＝12lr＝121.象限角與軸線角（1）象限角（2）軸線角2.若α，β，γ，θ分別為第一、二、三、四象限角，則α2，β2，γ2，1.終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是.（用角度表示）答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}解析：由結論1可知，終邊落在x軸上的角的集合為A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆時針旋轉45°，可得終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合為{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.2.若角α的終邊落在第三象限，則α2的終邊落在第象限答案：二或四解析：由結論2可知，α2的終邊落在第二或第四象限象限角與終邊相同的角1.若α是第二象限角，則（）A.－α是第一象限角B.α2C.3π2＋D.2α是第三或第四象限角或在y軸負半軸上解析：D因為α是第二象限角，可得π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ＜－α＜－π2－2kπ，k∈Z，此時－α位于第三象限，所以A錯誤；對于B，可得π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z，當k為偶數(shù)時，α2位于第一象限；當k為奇數(shù)時，α2位于第三象限，所以B錯誤；對于C，可得2π＋2kπ＜3π2＋α＜5π2＋2kπ，k∈Z，即2（k＋1）π＜3π2＋α＜π2＋2（k＋1）π，k∈Z，所以3π2＋α位于第一象限，所以C錯誤；對于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ2.集合{α｜kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范圍（陰影部分）是（解析：C當k＝2n（n∈Z）時，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣；當k＝2n＋1（n∈Z）時，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此時α表示的范圍與π＋π4≤α≤3.在－720°～0°范圍內所有與45°終邊相同的角為.答案：－675°和－315°解析：所有與45°終邊相同的角可表示為β＝45°＋k×360°（k∈Z），當k＝－1時，β＝45°－360°＝－315°，當k＝－2時，β＝45°－2×360°＝－675°.4.終邊在直線y＝3x上，且在[－2π，2π）內的角α的集合為.答案：{－5π3，－2π3，解析：如圖，在坐標系中畫出直線y＝3x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3，在[0，2π）內，終邊在直線y＝3x上的角有兩個：π3，4π3；在[－2π，0）內滿足條件的角有兩個：－2π3，－5π3，故滿足條件的角α構成的集合為{－5練后悟通1.確定nα，αn（n∈N*）先用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍，再寫出nα或αn的范圍，然后根據n的可能取值討論確定nα或αn的終邊所在位置（也可采用等分象限角的方法2.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.扇形的弧長及面積公式【例1】（教材題改編）一扇形的圓心角α＝π3，半徑R＝10cm，則該扇形的面積為cm2答案：50解析：由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12αR2＝12×π3×102＝50π1.（變設問）若本例條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解：l＝αR＝π3×10＝10π3S弓形＝S扇形－S三角形＝50π3－12·R2·sinπ3＝50π3－12×102×32.（變條件）若將本例已知條件改為：“扇形周長為20cm”，則當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解：由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R（10π+1＜R所以S＝12lR＝12（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋所以當R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad.解題技法有關弧長及扇形面積問題的注意點（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題；（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.1.（2022·全國甲卷8題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB上，CD⊥AB.“會圓術”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s＝AB＋CD2OA.當OA＝2，∠AOB＝60°時，sA.11－33C.9－33解析：B由題意知，△OAB是等邊三角形，所以AB＝OA＝2.連接OC（圖略），因為C是AB的中點，所以OC⊥AB，OC＝OA2－AC2＝3，又CD⊥AB，所以O，C，D三點共線，所以CD＝OD－OC＝2－3，所以s＝AB＋CD2OA2.已知一扇形的弧長為2π9，面積為2π9，則其半徑r＝，圓心角答案：2π解析：因為扇形的弧長為2π9，面積為2π9，所以2π9＝12×2π9×r，解得r＝2.由扇形的弧長為2π9，得2三角函數(shù)的定義及應用考向1三角函數(shù)的定義【例2】（1）已知角α的終邊過點P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－45，則m＝（A.－12 B.－3C.12 D.（2）（2023·全國乙卷14題）若θ∈（0，π2），tanθ＝12，則sinθ－cosθ＝答案：（1）C（2）－5解析：（1）由題意得點P（－8m，－3），r＝64m2+9，所以cosα＝－8m64m2+9＝－45，（2）∵θ∈（0，π2），tanθ＝12＝y(tǒng)x，∴令x＝2，y＝1，設θ終邊上一點的坐標P（2，1），則r＝｜OP｜＝22＋12＝5，則sinθ－cosθ＝1解題技法利用三角函數(shù)的定義解決問題的策略（1）已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值.先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解；（2）已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據定義中的兩個量列方程求參數(shù)值；（3）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.考向2三角函數(shù)值符號的判定【例3】若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，則角α是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：C由sinαtanα＜0可知sinα，tanα異號，則α為第二象限角或第三象限角.由cosαtanα＜0可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知，α為第三象限角解題技法三角函數(shù)值符號的判定方法要判定三角函數(shù)值的符號，關鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據角所在象限確定三角函數(shù)值的符號.如果不能確定角所在象限，就要分類討論；反之，可根據三角函數(shù)值的符號判斷角的終邊所在象限（或某坐標軸上）.1.若角α的終邊過點（－3，－2），則（）A.sinαtanα＞0 B.cosαtanα＞0C.sinαcosα＞0 D.sinαcosα＜0解析：C∵角α的終邊過點（－3，－2），∴α為第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，∴sinαtanα＜0，cosαtanα＜0，sinαcosα＞0.2.若角θ的終邊經過點P（－3，m）（m≠0），且sinθ＝24m，則cosθ＝答案：－6解析：r＝m2+3，由sinθ＝mm2+3＝24m，整理得m2＝5，則r＝m2+3＝8＝21.若α＝k·180°＋135°，k∈Z，則α的終邊在（）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限解析：C因為α＝k·180°＋135°，k∈Z，所以當k＝2n＋1，n∈Z時，α＝2n·180°＋180°＋135°＝n·360°＋315°，n∈Z，其終邊在第四象限；當k＝2n，n∈Z時，α＝2n·180°＋135°＝n·360°＋135°，n∈Z，其終邊在第二象限.綜上，α的終邊在第二、四象限.故選C.2.把－114π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（A.－3π4 B.C.π4 D.解析：A∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4與－3π43.我國空間站備受世界矚目，那么你知道我國空間站運行的軌道是什么形狀嗎？據來自中國載人航天工程辦公室消息稱“天和”核心艙組合體軌道參數(shù)為：遠地點高度約為394.7千米，近地點高度約為394.2千米，簡直比地球繞日運行軌道還圓！若把空間站運行軌道看作圓形軌道，距地球表面的距離取394千米，已知地球半徑約為6370千米，則空間站繞地球每旋轉π6弧度，飛行的路程約為（取π≈3.14）（A.3300千米 B.3334千米C.3540千米 D.3640千米解析：C空間站繞地球飛行的半徑為394＋6370＝6764（千米），所以空間站繞地球每旋轉π6弧度，飛行的路程約為l＝αr＝6764×π6≈6764×3.146≈4.（多選）已知扇形的周長是6，面積是2，下列選項可能正確的有（）A.扇形的半徑為2B.扇形的半徑為1C.扇形的圓心角的弧度數(shù)是1D.扇形的圓心角的弧度數(shù)是2解析：ABC設扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，則由題意得2r＋αr=6，12αr25.（多選）在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點在原點O，以x軸的非負半軸為始邊，終邊經過點P（1，m）（m＜0），則下列各式的值恒大于0的是（）A.sinαtanα B.cosαC.sinαcosα D.sinα＋cosα解析：AB由題意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，則sinαtanα＞0，故A正確；cosα－sinα＞0，故B正確；sinαcosα＜0，故C錯誤；sinα＋cosα的符號不確定，故D錯誤.故選6.在平面直角坐標系xOy中，點P在角2π3的終邊上，且｜OP｜＝2，則點P的坐標為答案：（－1，3）解析：設點P的坐標為（x，y），由三角函數(shù)定義得x＝｜OP｜cos2π3，y＝｜7.已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A（1，m），B（m，4），則cosα＝.答案：5解析：記O為坐標原點，由題意可知O（0，0），A（1，m），B（m，4）三點共線，則m≠0，所以m1＝4m，解得m＝±2，又A，B兩點在同一象限，所以m＝2，則A（1，2），所以cosα＝112＋8.已知1｜sinα｜＝－1sinα，且lg（1）試判斷角α所在的象限；（2）若角α的終邊上一點M（35，m），且OM＝1（O為坐標原點），求m及sinα的值解：（1）由1｜sinα｜＝－1sinα，得sinα＜0，由lg（cosα）有意義，可知cosα＞（2）因為OM＝1，所以（35）2＋m2＝1，解得m＝±45.又α為第四象限角，故m＜0，所以m＝－45，sinα＝y(tǒng)r＝9.sin2·cos3·tan4的值（）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析：A∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·10.已知點P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0，2π），則角α的取值范圍是（）A.π2，3π4∪πC.π2，3π4∪5解析：B因為點P在第一象限，所以sinα－cosα>0，tanα>0，即sinα＞cosα，tanα>0.由tanα＞0可知角α為第一或第三象限角，畫出單位圓如圖.又sinα11.（多選）下列條件中，能使α和β的終邊關于y軸對稱的是（）A.α＋β＝540° B.α＋β＝360°C.α＋β＝180° D.α＋β＝90°解析：AC假設α，β為0°～180°內的角，如圖所示，由α和β的終邊關于y軸對稱，所以α＋β＝180°，又根據終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C.故選A、C.12.若角α的終邊落在直線y＝3x上，角β的終邊與單位圓交于點（12，m），且sinαcosβ＜0，則cosαsinβ＝答案：±3解析：由角β的終邊與單位圓交于點（12，m），得cosβ＝12，又由sinαcosβ＜0知，sinα＜0，因為角α的終邊落在直線y＝3x上，所以角α只能是第三象限角.記P為角α的終邊與單位圓的交點，設P（x，y）（x＜0，y＜0），則｜OP｜＝1（O為坐標原點），即x2＋y2＝1，又由y＝3x得x＝－12，y＝－32，所以cosα＝x＝－12，因為點（12，m）在單位圓上，所以（12）2＋m2＝1，解得m＝±32，所以sinβ＝±3213.如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB＝α，則αtanα＝答案：1解析：設扇形的半徑為r，則扇形的面積為12αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，則△POB的面積為12r·rtanα，由題意得12r·rtanα＝2×12αr2，∴tanα＝2α，∴14.若角θ的終邊過點P（－4a，3a）（a≠0）.（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）試判斷cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號.解：（1）因為角θ的終邊過點P（－4a，3a）（a≠0），所以x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜，當a＞0時，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－當a＜0時，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝綜上，sinθ＋cosθ＝±15（2）當a＞0時，sinθ＝35∈0，π2，cosθ＝－45∈（則cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos35·sin－45當a＜0時，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ則cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos－35·sin4綜上，當a＞0時，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號為負；當a＜0時，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號為正.15.（多選）如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B的坐標為（1，0），∠BOA＝π3，質點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（A.經過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為π3＋B.經過π12s后，扇形AOB的弧長為C.經過