第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等），能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.1.冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在（0，＋∞）上都有定義；②當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)和，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；③當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）頂點(diǎn)式：f（x）＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）；（3）零點(diǎn)式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）圖象定義域RR值域4－單調(diào)性在x∈（－∞，－b2a］在x∈上單調(diào)遞增在x∈（－∞，－b2a］在x∈上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱提醒注意二次項(xiàng)系數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，經(jīng)常分二次項(xiàng)系數(shù)大于零與小于零兩種情況討論.1.冪函數(shù)圖象的特征（1）在（0，1）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸（簡記為“指大圖低”）；（2）在（1，＋∞）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），閉區(qū)間為[m，n]：（1）當(dāng)－b2a≤m時(shí)，最小值為f（m），最大值為f（（2）當(dāng)m＜－b2a≤m＋n2時(shí)，最小值為f－b（3）當(dāng)m＋n2＜－b2a≤n時(shí)，最小值為f－b（4）當(dāng)－b2a＞n時(shí)，最小值為f（n），最大值為f（1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝2x12是冪函數(shù).（（2）冪函數(shù)y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.（）（3）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函數(shù).（）（4）若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).（）2.函數(shù)f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域?yàn)椋ǎ〢.[－6，2]B.[－6，1]C.[0，2] D.[0，1]3.（人A必修一P91練習(xí)1題改編）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)2，12，則f（4A.14 B.C.22 D.4.若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為（）A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜1C.－1＜m＜0＜n＜12 D.－1＜n＜0＜m＜5.（人A必修一P100復(fù)習(xí)參考題4題改編）已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋4在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.（－∞，－1] B.[－1，＋∞）C.[0，＋∞） D.（－∞，0]

冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.（2025·重慶開學(xué)考試）已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是定義域上的奇函數(shù)，則m＝（）A.－23或3 B.C.23 D.－2.如圖所示是函數(shù)y＝xmn（m，n∈N*且互質(zhì)）的圖象，則（A.m，n是奇數(shù)，且mn＜B.m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn＞C.m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn＜D.m，n是偶數(shù)，且mn＞3.若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.（23，32） B.（－∞，－C.（－∞，－1）∪（23，32） D4.〔多選〕已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)（16，4），則下列說法正確的有（）A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是增函數(shù)C.當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1D.當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，f（x1）＋f練后悟通1.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)特征的關(guān)系（1）冪函數(shù)的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式；（2）判斷冪函數(shù)y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定義域時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷；（3）若冪函數(shù)y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則α＞0，若在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，則α＜0.2.冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）利用單調(diào)性比較兩個(gè)冪的大小；（2）利用單調(diào)性解不等式.

二次函數(shù)的解析式（師生共研過關(guān)）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函數(shù)f（x）的解析式.解題技法求二次函數(shù)解析式的方法1.（2025·高三全國專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，f（x）的圖象過點(diǎn)（0，2），對稱軸為x＝－12，函數(shù)f（x）在R上的最小值為74，則f（x）的解析式為2.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－3，0），（1，0），且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的解析式為.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定向精析突破）考向1二次函數(shù)圖象的識(shí)別〔多選〕如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（－3，0），對稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論中正確的為（）A.b2＞4ac B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0 D.5a＜b聽課記錄

解題技法識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”考向2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值已知函數(shù)f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.（1）當(dāng)a＝2，x∈[－2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；（2）若函數(shù)f（x）在[－1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.解題技法二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略（1）類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸變動(dòng)、區(qū)間固定；③對稱軸固定、區(qū)間變動(dòng).（2）求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸是指對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.1.設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象可能是（）2.已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上單調(diào)