第四節(jié)平面向量的數(shù)量積及應用1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.4.能用坐標表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會表示兩個平面向量的夾角.5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用.1.若向量a＝（1，1），b＝（0，－1），則a與b的夾角等于（）A.－3π4 B.C.5π4解析：Dcos＜a，b＞＝a·b｜a｜·｜b｜＝－12×1＝－22，又因為＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a2.已知向量a＝（2，4），b＝（－6，m），若a⊥（a＋b），則m＝（）A.－2 B.－1C.0 D.3解析：A因為a＝（2，4），b＝（－6，m），a＋b＝（－4，4＋m），由a⊥（a＋b），得－8＋4×（m＋4）＝0，所以m＝－2.3.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P為AB邊的中點，則CP·BD＝（）A.－1 B.－3C.1 D.3解析：A由已知CP＝CB＋BP＝－AD－12AB，BD＝AD－AB，又｜AB｜＝2，｜AD｜＝3，AB·AD＝0，所以CP·BD＝（－AD－12AB）·（AD－AB）＝－AD·AD＋12AB·AB＝－3＋2＝－1.所以CP·4.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a上的投影向量的模為.答案：2解析：由數(shù)量積的定義知，向量b在向量a上的投影向量的模為｜｜b｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有關向量夾角的兩個結論（1）兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因為夾角為0時不成立）；（2）兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因為夾角為π時不成立）.1.已知a，b為非零向量，則“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）答案：必要不充分解析：由結論2可得“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件.2.若非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜＝｜a＋2b｜，則a，b的夾角為.答案：2解析：因為｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2，由結論1得｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝｜a｜2＋4｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋4｜b｜2＝8｜b｜2＋8｜b｜2cos＜a，b＞＝4｜b｜2，解得cos＜a，b＞＝－12，所以a，b的夾角為2平面向量數(shù)量積的基本運算1.（2023·全國乙卷6題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC·ED＝（）A.5 B.3C.25 D.5解析：B法一由題意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由題意知｜AD｜＝｜AB｜＝2，所以法二以點A為坐標原點，AB，AD的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故選B.2.（2022·全國乙卷3題）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：C由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.3.（2022·全國甲卷13題）設向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝答案：11解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝4.在△ABC中，C＝π2，AC＝BC＝2，M為邊AC的中點，若點P在邊AB上運動（點P可與A，B重合），則MP·CP的最小值為答案：7解析：法一如圖，以C為坐標原點，建立平面直角坐標系，則C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依題意可設P（x，2－x），0≤x≤2，則MP＝（x，1－x），CP＝（x，2－x），所以MP·CP＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（x－34）2＋78≥78.故MP·CP法二取MC的中點為Q，連接PQ，則｜QC｜＝12，所以MP·CP＝PM·PC＝PQ2－QC2＝PQ2－14≥（322）2－14＝7練后悟通1.計算平面向量數(shù)量積的主要方法（1）利用定義：a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞；（2）利用坐標運算，若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2＋y1y2；（3）活用平面向量數(shù)量積的幾何意義.2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算.但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關系是相等還是互補.平面向量數(shù)量積的應用考向1向量的?！纠?】（1）（2023·新高考Ⅱ卷13題）已知向量a，b滿足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則｜b｜＝；（2）在平面直角坐標系xOy中，若A（1，0），B（3，4），OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，則｜AC｜的最小值為.答案：（1）3（2）25解析：（1）因為｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，則a2＝2a·b.因為｜a－b｜＝3，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝3.（2）由題意得OA＝（1，0），OB＝（3，4），由OC＝xOA＋yOB，得OC＝（x＋3y，4y），所以AC＝OC－OA＝（x＋3y－1，4y），又x＋y＝6，所以AC＝（5＋2y，4y），則｜AC｜＝（5+2y）2＋（4y）2＝20y2+20y+25＝25（y＋解題技法求平面向量模的方法（1）公式法：利用｜a｜＝a·a及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，（2）幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量線性運算的平行四邊形法則或三角形法則作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.考向2向量的夾角【例2】（2023·全國甲卷4題）已知向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cos＜a－c，b－c＞＝（）A.－45 B.－C.25 D.解析：D法一∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，∴cos＜a－c法二∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，∴分別以a，b，c為邊構造等腰直角三角形OAB，如圖所示，以O為坐標原點，OA方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則a＝OA＝（1，0），b＝AB＝（0，1），c＝BO＝（－1，－1），則a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝5，∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b解題技法求平面向量的夾角的方法（1）定義法：cosθ＝a·b｜a||b｜，求解時應求出a·b，｜a｜，｜b｜的值或找出這三個量之間的關系，（2）坐標法：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則cosθ＝x1考向3向量的垂直【例3】（1）已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（）A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b（2）（2023·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），則（）A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1答案：（1）D（2）D解析：（1）法一由題意，得a·b＝｜a｜·｜b｜cos60°＝12.對于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）法二不妨設a＝12，32，b＝（1，0），則a＋2b＝52，32，2a＋b＝（2，3），a－2b＝－32，32，2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0（2）因為a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因為（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.解題技法有關平面向量垂直的兩類題型1.（2022·全國乙卷3題）已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），則｜a－b｜＝（）A.2 B.3C.4 D.5解析：D由題意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋(-32.已知非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜，且（a－b）⊥b，則a與b的夾角為（）A.π6 B.πC.2π3解析：B設a與b的夾角為α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴｜a｜·｜b｜cosα＝｜b｜2，又｜a｜＝2｜b｜，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π平面向量中的最值（范圍）問題考向1與數(shù)量積有關的最值（范圍）問題【例4】（2020·新高考Ⅰ卷7題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則AP·AB的取值范圍是（）A.（－2，6） B.（－6，2）C.（－2，4） D.（－4，6）解析：A法一如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），C（3，3），F(xiàn)（－1，3）.設P（x，y），則AP＝（x，y），AB＝（2，0），且－1＜x＜3.所以AP·AB＝（x，y）·（2，0）＝2x∈（－2，6）.法二設AP與AB的夾角為θ，則AP在AB上的投影向量的模為｜AP｜cosθ，由圖可知｜AP｜·cosθ∈（－1，3），則AP·AB＝｜AB｜｜AP｜cosθ∈（－2，6），即AP·AB的取值范圍是（－2，6）.解題技法向量數(shù)量積的最值（范圍）問題的解法（1）坐標法：通過建立直角坐標系，運用向量的坐標運算轉化為代數(shù)問題處理；（2）向量法：運用向量數(shù)量積的定義、幾何意義等有關向量知識解決.考向2與模有關的最值（范圍）問題【例5】（2024·南通模擬）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c滿足｜a＋b－2c｜＝1，則｜c｜的取值范圍是.答案：［5－12解析：法一由｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，得｜a＋b｜＝5，又｜｜a＋b｜－｜2c｜｜≤｜a＋b－2c｜＝1，即5－1≤｜2c｜≤5＋1，即｜c｜∈［5－12法二由題意可設a＝（0，1），b＝（2，0），c＝（x，y），則a＋b－2c＝（2－2x，1－2y），由｜a＋b－2c｜＝1，可得（2－2x）2＋（1－2y）2＝1，化簡可得（x－1）2＋（y－12）2＝（12）2，該方程表示以（1，12）為圓心，以12為半徑的圓，則｜c｜表示圓上的點到原點的距離，而圓心到原點的距離d＝12＋（12）2＝52，解題技法求向量模的最值（范圍）的方法（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標系，借助向量的坐標表示，構造不等式，三角函數(shù)等求解；也可直接應用平面向量模的三角不等式：｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解；（2）幾何法（數(shù)形結合法）：弄清所求的模表示的幾何特征，注意題目中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關系合理的轉化，結合動點表示的圖形求解.考向3與夾角有關的最值（范圍）問題【例6】平面向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，則cos＜b，3b－a＞的最小值是.答案：2解析：由｜a－3b｜＝1兩邊平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因為｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝10a2－16，所以cos＜b，3b－a＞＝b·（3b－a）｜b｜·｜3b－a｜＝3b2－a·b｜b｜＝18b2-(10a2－解題技法求夾角的最值（范圍）要根據(jù)夾角余弦值的表達式，利用基本不等式或函數(shù)的性質進行求解.1.（2024·泉州模擬）設向量a與單位向量e滿足，對任意t∈R都有｜a－te｜≥｜a－e｜，則｜a＋e｜的最小值為（）A.3 B.2C.3 D.4解析：B由｜a－te｜≥｜a－e｜，可得a2－2ta·e＋t2e2≥a2－2a·e＋e2，即t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0對任意