專題4三角函數(shù)與解三角形第36練三角函數(shù)的運(yùn)算(分值：52分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共30分)1.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,則m的值為(A.-12 B.-C.12 D.答案C解析由題意得點(diǎn)P(-8m,-3),r=64所以cosα=-8m64所以m>0,解得m=122.若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng),則其圓心角的弧度數(shù)為()A.π6 B.π3 C.3 D答案D解析如圖,等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形,則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB=2π3,作OM⊥AB,垂足為在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=π∴AM=32r,AB=3r∴l(xiāng)=3r,由弧長(zhǎng)公式得α=lr=3rr3.(2024·濟(jì)南模擬)已知tanθ+π4=2tanθ-7,則sin2θ等于A.255 B.±255 C.±答案D解析因?yàn)閠anθ+π4=tanθ+tanπ4整理得tan2θ-4tanθ+4=0,解得tanθ=2,所以sin2θ=2sinθcosθsin4.若cosα-3cosβ=22,sinα+3sinβ=1,則cos(α+β)等于(A.-16 B.16 C.-14答案B解析因?yàn)閏osα-3cosβ=22,sinα+3sinβ=1所以(cosα-3cosβ)2=8,(sinα+3sinβ)2=1,即cos2α-6cosαcosβ+9cos2β=8,sin2α+6sinαsinβ+9sin2β=1,兩式相加得10-6(cosαcosβ-sinαsinβ)=9,即6cos(α+β)=1,所以cos(α+β)=165.(2025·保定模擬)黃金三角形有兩種,一種是頂角為36°的等腰三角形,另一種是頂角為108°的等腰三角形.已知在頂角為36°的黃金三角形中,36°角對(duì)應(yīng)邊與72°角對(duì)應(yīng)邊的比值為5-12≈0.618,這個(gè)值被稱為黃金比例.若t=5-12,則A.5+14 BC.12 D.答案D解析依題意,得t=sin36°sin72°=sin144°sin72°=2cos則1-2sin2=cos54°4cos72°4si=sin36°4sin144°=16.(2025·重慶統(tǒng)考)若α∈0,π2,且cos2α+π2=cosπ2-A.-25 B.-C.-25 D.-5答案C解析因?yàn)閏os2α+π2=cosπ2-βsinπ2所以5-cos2αtanβ=由α∈0,π2知,5sinα所以5-cos2αtanβ≤-1當(dāng)且僅當(dāng)5sinαcos即tanα=255時(shí),所以5-cos2αtanβ二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)7.已知sinα-π4=7210,cos2αA.sinα-cosα=7B.sinα+cosα=1C.tanα-D.sin2α=24答案AC解析∵sinα-π4=22(sinα-cos∴sinα-cosα=75,又∵cos2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=7∴sinα+cosα=-15,故A正確,B錯(cuò)誤；由①②得sinα=35,cosα=-45,tan∴sin2α=2sinαcosα=-2425,tanα-π4=tanα-11+tanα8.(2024·大連模擬)在△ABC中,若tanA+B2=sinC,則下列結(jié)論正確的是A.tanAB.1<sinA+sinB≤2C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C答案BD解析由tanA+B2?tanπ2-C2=2sinC2cos因?yàn)?<C2<π2,所以cosC所以1=2sin2C2?1-2sin2C?cosC=0?C=π所以tanB=tanπ2-A=1tanA,tanA因?yàn)閟inA+sinB=sinA+cosA=2sinA+π4,0<A<π2?π4所以22<sinA+π4≤1?1<2從而有1<sinA+sinB≤2,B因?yàn)閏osB=cosπ2-A=sinA,所以sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)9.求值：sin220°(tan10°-3)=.

答案1解析原式=-sin40°sin10°=-sin40°·sin10°-=-sin40°·2sin(-50°)=2sin40°sin50°=2sin40°cos40°=sin80°cos10°=110.(2024·福州模擬)已知α,β∈(0,π),sin(α-β)=56,tanαtanβ=-14,答案7π解析tanαtanβ=sinαcosα·cosβsinβ=-14,故又sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=5故sinαcosβ+4sinαcosβ=5sinαcosβ=5解得sinαcosβ=1故cosαsinβ=-4sinαcosβ=-2則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1