第六章本章總結(jié)提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯(cuò)易混·銜接高考知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升專(zhuān)題一幾何體的表面積與體積1.主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖,柱體、錐體、臺(tái)體的體積,球的表面積和體積,不規(guī)則幾何體常用等體積法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.2.利用公式求解表面積、體積,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例1】

[2024山東煙臺(tái)高一期末]如圖,這是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體,其中AB=AA1=2,AD=6.(1)求該幾何體的體積;(2)求該幾何體的表面積.解

(1)由題得,長(zhǎng)方體的體積為2×2×6=24,故該幾何體的體積為24+3π.(2)長(zhǎng)方體去掉上底面后的表面積為2×6+2×2×2+2×6×2=44.規(guī)律方法

1.空間幾何體表面積的求法(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.2.空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.特別地,求三棱錐體積時(shí)經(jīng)常要轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面,從而達(dá)到方便求高的目的.變式訓(xùn)練1(1)如圖所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1,則三棱錐B1-ABC1的體積為(

)A(2)某圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,母線(xiàn)與軸所在直線(xiàn)的夾角是60°,且上、下底面的面積之比為1∶4,則該圓臺(tái)外接球的表面積為(

)A.56π

B.64πC.112π

D.128πC專(zhuān)題二空間中的平行關(guān)系1.空間中的平行主要有線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行,主要考查在空間幾何體中證明線(xiàn)面平行、面面平行以及線(xiàn)線(xiàn)平行.2.通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化,提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例2】

已知M,N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的棱AB,PC的中點(diǎn),平面CMN與平面PAD交于PE.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)MN∥PE.證明

(1)如圖,取DC的中點(diǎn)Q,連接MQ,NQ.∵NQ是△PDC的中位線(xiàn),∴NQ∥PD.∵NQ?平面PAD,PD?平面PAD,∴NQ∥平面PAD.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形,∴MQ∥AD.∵M(jìn)Q?平面PAD,AD?平面PAD,∴MQ∥平面PAD.∵M(jìn)Q∩NQ=Q,MQ?平面MNQ,NQ?平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PAD.∵M(jìn)N?平面MNQ,∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,∴MN∥PE.規(guī)律方法

線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行相互間的轉(zhuǎn)化

變式訓(xùn)練2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為DD1,BB1的中點(diǎn).(1)求證:CF∥平面A1EC1;(2)過(guò)點(diǎn)D作正方體截面使其與平面A1EC1平行,請(qǐng)給以證明并求出該截面圖形的面積.(1)證明

取CC1中點(diǎn)M,連接ME,B1M.由MC∥FB1且MC=FB1,可得四邊形MCFB1為平行四邊形,則FC∥MB1.由ME∥A1B1且ME=A1B1,可得四邊形MEA1B1為平行四邊形,則A1E∥MB1,則A1E∥FC.又A1E?平面A1EC1,CF?平面A1EC1,則CF∥平面A1EC1.(2)解取AA1,CC1中點(diǎn)G,H,連接DG,GB1,B1H,HD.易知四邊形DGB1H為平行四邊形,且DH∥C1E,DG∥A1E.又因?yàn)镈H,DG?平面DGB1H,DH∩DG=D,A1E,C1E?平面A1EC1,A1E∩C1E=E,所以平面DGB1H∥平面A1EC1,平面DGB1H即為所求截面.專(zhuān)題三空間中的垂直關(guān)系1.主要考查空間中線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,以及線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.2.通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直三者之間的轉(zhuǎn)化,提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).【例3】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F為B1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線(xiàn)A1F∥平面ADE.(1)證明

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)證明

因?yàn)锳1B1=A1C1,F為B1C1的中點(diǎn),所以A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因?yàn)镃C1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.規(guī)律方法

線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直相互間的轉(zhuǎn)化

變式訓(xùn)練3在四棱錐P-ABCD中,已知AB∥CD,平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)為l.(1)求證:AB∥l;(2)若PA⊥平面ABCD,且BC=2AB,∠ABC=60°,求證:AB⊥PC.證明

(1)因?yàn)锳B∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD,所以AB∥平面PCD,AB?平面PAB,平面PCD∩平面PAB=l,所以AB∥l.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD中,BC=2AB,∠ABC=60°,所以在△ABC中,AB⊥AC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.因?yàn)镻C?平面PAC,所以AB⊥PC.專(zhuān)題四空間角的求法1.空間角包括異面直線(xiàn)所成的角、線(xiàn)面角及二面角,主要考查空間角的定義及求法,求角時(shí)要先找角,再證角,最后在三角形中求角.2.通過(guò)找角、證角、求角,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例4】

如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,B'C∩BC'=O,求:(1)AO與A'C'所成的角的大小;(2)AO與平面ABCD所成的角的正切值;(3)二面角B-AO-C的大小.解

(1)∵A'C'∥AC,∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BCC'B',OC?平面BCC'B',∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO?平面ABO,∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO,∴OC⊥OA.(2)如圖,作OE⊥BC于E,連接AE.∵平面BCC'B'⊥平面ABCD,平面BCC'B'∩平面ABCD=BC,OE?平面BCC'B',∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.在Rt△OAE(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.∵OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC,即二面角B-AO-C的大小為90°.規(guī)律方法

1.求異面直線(xiàn)所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的夾角).2.求直線(xiàn)與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線(xiàn)、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三種:(1)定義法;(2)三垂線(xiàn)法;(3)垂面法.變式訓(xùn)練4(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=4,AB=2,CC1=2,E,F分別為AC,CC1的中點(diǎn),則直線(xiàn)EF與平面AA1B1B所成的角是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°A解析

如圖,連接AC1,取A1B1的中點(diǎn)記為O,連接C1O,AO.∵C1A1=C1B1,O為A1B1的中點(diǎn),∴C1O⊥A1B1.又AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥C1O.又AA1∩A1B1=A1,AA1?平面AA1B1B,A1B1?平面AA1B1B,∴C1O⊥平面AA1B1B.又EF∥AC1,∴EF與平面AA1B1B所成的角即為∠C1AO.在Rt△C1AO中,∠C1OA=90°,(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD.若AB=AD,直線(xiàn)PB與CD所成的角為45°,求二面角P-CD-B的大小.解∵AB⊥AD,CD∥AB,∴CD⊥AD.又PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.又PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,∴CD⊥平面PAD.又PD?平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.又直線(xiàn)PB與CD所成的角為45°,∴∠PBA=45°,PA=AB,∴在Rt△PAD中,PA=AD,∴∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小為45°.易錯(cuò)易混·銜接高考123451.[2024天津,6]若m,n為兩條不同的直線(xiàn),α為一個(gè)平面,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m∥α,n⊥α,則m⊥nD.若m∥α,n⊥α,則m與n相交C12345解析

對(duì)于A,若m∥α,n?α,則m與n平行或異面,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若m∥α,n∥α,則m與n平行或異面或相交,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,已知m∥α,n⊥α,如圖,過(guò)直線(xiàn)m作平面β,使得α∩β=s.∵m?β,∴m∥s,又s?α,∴n⊥s,∴m⊥n,C正確;對(duì)于D,若m∥α,n⊥α,則m與n相交或異面,D錯(cuò)誤.故選C.123452.[2024北京,8]已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐,四條側(cè)棱分別為4,4,2,2,則該四棱錐的高為(

)D解析

如圖所示,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,設(shè)SA=SD=4,SB=SC=2.分別取AD,BC的中點(diǎn)E,F,則SE⊥AD,EF⊥AD.∴AD⊥平面SEF.作SO⊥EF,O為垂足,則AD⊥SO.∴SO⊥平面ABCD,∴SO是四棱錐S-ABCD的高.∵SE=2,EF=4,SF=2,∴EF2=SE2+SF2,∴∠ESF=90°.在Rt△ESF中,12345123453.[2024新高考Ⅰ