線性代數(shù)講義

目錄

第一講基本概念

線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法

第二講行列式

完全展開式化零降階法其他性質(zhì)克萊姆法則

第三講矩陣

乘法乘積矩隴日勺列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣

第四講向量組

線性表達(dá)向量組的J線性有關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩

第五講方程組

解的性質(zhì)解的狀況的鑒別基礎(chǔ)解系和通解

第六講特性向量與特性值相似與對角化

特性向量與特性值一概念，計算與應(yīng)用相似對角化一判斷與實現(xiàn)

附錄一內(nèi)積正交矩陣施密特正交化實對稱矩陣的對角化

第七講二次型

二次型及其矩陸可逆線性變量替代實對稱矩陣R勺協(xié)議原則化和規(guī)范化慣

性指數(shù)正定二次型與正定矩陣

附錄二向量空間及其子空間

附錄三兩個線性方程組日勺解集口勺關(guān)系

附錄四06,考題

第一講基本概念

1.線性方程組的基本概念

線性方程組的一般形式為：

Z,

**

anXi+ai2X2+*+ainX1=bi,

V

a2iXi+a22X2+???+a2nx1=b2,

x.

?????????

a,,ixi+a1c2X2+??,+aanX,=bB,

其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式11勺個數(shù)m不必相等.

線性方程組的解是一種n維向量（kl,k2,…，kn）（稱為解向量），它滿足：當(dāng)每個方程中

的未知數(shù)xi都用ki替代時都成為等式.

線性方程組的J解的狀況有三種:無解,唯一解,無窮多解.

對線性方程組討論的重要問題兩個：（1）判斷解的狀況.（2）求解,尤其是在有無窮多接時

求通解.

b-b2-…-bn-0的線性方程組稱為齊次線性方程組.

n維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解.因此齊次線性方程組解日勺狀況只有兩

種:唯一解（即只要零解）和無窮多解（即有非零解）.

把一種非齊次線性方程組的每個方程的J常數(shù)項都換成0,所得到日勺齊次線性方程組稱

為原方程組U勺導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組.

2.矩陣和向量

（1）基本概念

矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)口勺數(shù)最形式的發(fā)展.

由mxn個數(shù)排列成的一種ni行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一種nixn

型矩陣.例如

G-101

11102

<J

254-29

333-18

是一種4x5矩陣.對于上面口勺線性方程組,稱矩陣

廠、廠

anai2ainana】2…ain

A-S21322…a2n利fh-321S22…a2nb2

<><

??????????????????/

a<>ian2…a?na<,i…a,nb,r

為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的所有信息，而齊次方程組只用系數(shù)矩陣

就體現(xiàn)其所有信息.

一種矩陣中的數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為（i,j）位元素.

元素全為0的J矩陣稱為零矩陣,一般就記作0.

兩個矩陣A和8相等（記作爾而，是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等（即它們的類型相似）,

并且對應(yīng)的元索都相等.

rhn個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為?種n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.

書寫中可用矩陣的形式來表達(dá)向量，例如分量依次是即羽…，a力、J向量可表到達(dá)

ai

（aba2,...,an）或a2,

Ii?

?

an

請注意，作為向量它們并沒有區(qū)別，不過作為矩陣，它們不一樣樣（左邊是Ixn矩陣,右邊

是nxl矩陣）.習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.（請注意與下面規(guī)定艮I矩陣的行向量

和列向量概念I(lǐng)I勺區(qū)別.）

一種mxn的矩陣的每一行是一種n維向量,稱為它的行向量；每一列是一種m維向量，

稱為它的列向量.常常月矩陣口勺列向量組來寫出矩陣，例如當(dāng)矩陣A歐I列向量組為

a,a,...,Q,時（它們都是表達(dá)為列的形式!）可記本（a,

矩陣日勺許多概念也可對向量來規(guī)定，如元索全為0的向量稱為零向量,一般也記作0.兩

個向量a和網(wǎng)［等（記作用后,是指它的維數(shù)相等,并且對應(yīng)的分量都相等.

（2）線性運算和轉(zhuǎn)置

線性運算是矩陣和向晟所共有日勺，下面以矩陣為例來闡明.

加1（減）法:兩個mxn的矩陣A和8可以相加（減），得到附和（差）仍是mxn矩陣,記作

A+B（4-⑻，法則為對應(yīng)元素相加（減）.

數(shù)乘：一種mxn的矩陣力與一種數(shù)c可以相乘,乘積仍為mxnU勺矩陣,記作c4法則為力

的I每個元素乘c.

這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算，它們滿足如下規(guī)律：

①加法互換律：加B8A.

②加法結(jié)合律：（小的+俏?。ㄐ?.

③加乘分派律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.

④數(shù)乘結(jié)合律：c(d)左(cd)4

⑤cA=Ooc=0或A=0.

轉(zhuǎn)置:把一種mxnlT、J矩陣A行和列互換，得到H'、JnxmTj矩陣稱為ZH勺轉(zhuǎn)置,記作1(或4).

有如下規(guī)律：

①(AT)T=A.

②(4+而=/+尻

③(cJ)I=cJr.

轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運算,如把轉(zhuǎn)置U勺符號用在向量上,就意味著把這個向量看作矩

陣了.當(dāng)a是列向量時，/表達(dá)行向最，當(dāng)a是行向量時,Q，表達(dá)列向量.

向量組日勺線性組合:設(shè)a,a,…，a是一組n維向量，―c&…,a是一組數(shù)，則稱

cia+c/a+…+c：；a.

為(1,((2,…，(s的(以cl,c2,-,cs為系數(shù)的J)線性組合.

n維向量組的線性組合也是n維向量.

(3)n階矩陣與幾種特殊矩陣

行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.

把n階矩陣H勺從左上到右下的對角線稱為它對角線.(其上的元素行號與列號相等.)

下面列出幾類常用的n階矩陣，它們都是考試大綱中規(guī)定掌握的.

對角矩陣：對角線外1勺口勺元素都為0H勺n階矩陣.

單位矩陣：對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作鳳或

數(shù)量矩陣：對角線上的的元素都等于一種常數(shù)c的)對角矩陣,它就是cE

上三角矩陣：對角線下的的元素都為01向n階矩陣.

下三角矩陣：對角線上的的元素都為0『、Jn階矩陣.

對稱矩陣:滿足心】矩陣.也就是對任何i,j,(i,j”立的元素和(j,i)位的元素總是相等

的n階矩陣.

（反對稱矩陣:滿足AT-A矩陣.也就是對任何i,j,:i,j）位II勺元素和（j,i）位的元素之

和總等于0的n階矩陣.反對稱矩陣對角線上日勺元素一定都是0.）

3.矩陣的初等變換和階梯形矩陣

矩陣有如下三種初等行變換：

①互換兩行的位置.

②用一種韭。日勺常數(shù)乘某一行的各元素.

③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.（稱此類變換為倍加變換）

類似地，矩陣尚有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了.初等行變換

與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.

階梯形矩陣：一種矩沖稱為階梯形矩陣，假如滿足：

①假如它有零行,則都出目前卜面.

②假如它有非零行，則每個非零行的第一種非（）元素所在的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞

增.

把階梯形矩陣的每個非零行的笫一種非0元素所在的位置稱為臺角.

簡樸階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點為：

③臺角位置的元素為1.

④并且其正上方的元素都為0.

每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡樸階梯形矩陣.這種運算是在線性代

數(shù)的各類計算題中頻繁運用的基本運算，必須十分純熟.

請注意：1.一種矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一H勺,不過其非零行數(shù)和

臺角位置是確定的.

2.?種矩陣用初等行變換化得日勺簡樸階梯形矩陣是唯?的.

4.線性方程組的矩陣消元法

線性方程組的基本措施即中學(xué)課程中的消元法：用同解變換把方程組化為階梯形方程

組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).

線性方程組H勺同解變換有三種：

①互換兩個方程日勺上下位置.

②用一種非0H勺常數(shù)乘某個方程.

③把某個方程日勺倍數(shù)加到另一種方程上.

以上變換反應(yīng)在增廣矩陣上就是三種初等行變換.

線性方程組求解B勺基本措施是消元法,用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行,稱為矩陣消元法.

對非齊次線性方程組環(huán)節(jié)如下：

(1)寫出方程組的J增廣矩陣(A(),用初等行變換把它化為階梯形矩陣(B|().

⑵用(8,)鑒別解口勺狀況：

假如最下面U勺非零行為(0,0.........Old),則無解,否則有解.

有解時看非零行數(shù)r(r不會不小于未知數(shù)個數(shù)n),r=n時唯一解；r<n時無窮多解.

(推論：當(dāng)方程的個數(shù)m<n時,不也許唯一解.)

(3)有唯一解時求解的初等變換法：

去掉(B|()的零行，得到一種nX(n+1)矩陣(B0|(0),并用初等行變換把它化為簡樸階梯

形矩陣(E|(),則(就是解.

對齊次線性方程組：

(1)寫出方程組的系數(shù)矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.

(2)用B鑒別解的狀況:非零行數(shù)r=n時只有零解；r〈n時有非零解(求解措施在第五章

講).(推論：當(dāng)方程的個數(shù)m<n時,有非零解.)

討論題

1.設(shè)I是n階矩陣，則

(A)A是上三角矩陣(A是階梯形矩陣.

(B)A是上三角矩陣(A是階梯形矩陣.

(OA是上三角矩陣(A是階梯形矩陣.

(D)A是，三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有宜接的囚果關(guān)系.

2.下列命題中哪幾種成立？

(1)假如/是階梯形矩陣,則A去掉任何一行還是是階梯形矩陣.

(2)假如A是階梯形矩陣,則A去掉任何一列還是是階梯形矩陣.

(3)假如(川③是階梯形矩陣,則A也是階梯形矩陣.

(4)假如(H而是階梯形矩陣,則B也是階梯形矩陣.

⑸假如［可是階悌形矩陣，則力和8都是階梯形矩陣.

B

第二講行列式

—.概念復(fù)習(xí)

1.形式和意義

形式:用r?個數(shù)排列成的一種n行n列的表格,兩邊界以豎線，就成為一種n階行列式:

anai2ain

a21a22a2n

&12…Son

假如行列式的列向量組為a,a,…，a,則此行列式可表達(dá)為Ia,a,…，a|.

意義:是一種算式,把這n2個元素按照一定的法則進(jìn)行運算，得到的數(shù)值稱為這個行列式

的值.

請注意行列式和矩陣在形式上和意義上艮I區(qū)別.

當(dāng)兩個行列式時值相等時，就可以在它們之間寫等號?。ú槐匦问酵瑯?，甚至階數(shù)可不一

樣.）

每個n階矩陣4對應(yīng)一種n階行列式，記作A\.

行列式這一講的的關(guān)健問題是值的計算，以及判斷一種行列式U勺值與否為0.

2.定義（完全展開式）

2階和3階行列式日勺計算公式：

anai2

a?i322=a“a22-ai2a2i.

anana）3

a?i322a23=a“a22a33+2a23a31+a13a21a321al3a22a3】—a】【a23a32—a12a21a33.

031332&33

一般地,一種n階行列式

anaiaain

azia22…a2n

Qnl3O2???3nn

時值是許多項H勺代數(shù)和,每一項都是取自不一樣行,不一樣列日勺n個元素的乘積,其一般形式

為:

這里把相乘日勺n個元素按照行標(biāo)的大小次序排列,它們的列標(biāo)…jn構(gòu)成1,2,…,n的一

種全排列（稱為一種n元排列），共有n!個n元排列,每個n元排列對應(yīng)一項，因此共有n!個項.

所謂代數(shù)也是在求總和時每項先要乘+1或T.規(guī)定…jn）為全排列jlj2…jn的逆序

數(shù)（意義見下面），則項。了。2力…。磯所乘的是力

全排列H勺逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)時個數(shù).

逆序數(shù)可如下計算：標(biāo)出每個數(shù)右面比它小的數(shù)的個數(shù)，它們的和就是逆序數(shù).例如求

436512口勺逆序數(shù)：

323200

436512,T（436512）=3+2+3+2+0+0=10.

至此我們可以寫出n階行列式H勺值：

anai2am

a22-a2n=g㈠尸山

????

HnlHn2???3nn

這里Z表達(dá)對所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的完全展開式.

八八…jn

用完全展開式求行列式時值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)

項不為0時,才也許用它作行列式的J計算.例如對角行列式，上（下）半角行列式時值就等于主

對角線上B勺元素11勺乘積,由于其他項都為0.

2.化零降階法

把n階行列式的第1行和第j列劃去后所得到rJn-l階行列式稱為（i,j）位元素a/勺余

子式，記作此次稱為元素電的代數(shù)余子式.

定理（對某一行或列時展開）行列式的J值等于該行（列）的各元素與其代數(shù)余子式乘積之

和.

命題第三類初等變換（倍加變換）不變化行列式日勺值.

化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一種元素不為0,再用定理.于是

化為計算i種低1階的行列式.

化零降階法是實際計算行列式H勺重要措施，因此應(yīng)當(dāng)純熟掌握.

3.其他性質(zhì)

行列式尚有如下性質(zhì)：

①把行列式轉(zhuǎn)置值不變，即|川=1川.

②某一行（列川勺公因子可提出.

于是，p|=cnM|.

③對一行或一列可分解，即假如某個行（列）向量8分九則原行列式等于兩個行列式之

和,這兩個行列式分別是把原行列式的該行（列）向量a換為￡或/所得到口勺行列式.例如

\a,伙邛"=a,0/1+1a|.

④把兩個行（列）向量互換，行列式口勺值變號.

⑤假如一種行（列）向量是另一種行（列）向量的倍數(shù),則行列式的值為0.

⑥某一行（列）日勺各元素與另一行（列）口勺對應(yīng)元素時代數(shù)余子式乘積之和=0.

⑦假如4與3都是方陣（不必同階），則

4*=A0=\A\|B|.

0B*B

范德蒙行列式：形如

111-1

a】a?as…&）

2222

Hia23aan

?????????

n-in-in-in-i

a】a2a3a,.

的行列式（或其轉(zhuǎn)置）.它由面,a?,a3,…,a”所決定，它的值等于

因此范德蒙行列式不等于0（al,a2,a3,…,an兩兩不一樣.

對于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式），常?？蛇\用性質(zhì)簡化計算，例如直接化為

三角行列式等.

4.克萊姆法則

克萊姆法則應(yīng)用在線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n（即系數(shù)矩陣為n階矩陣）

的情形.此時,假如它的J系數(shù)矩陣歐I行列式日勺值不等于0,則方程組有唯一解,這個解為

（Di/D,DJD,…,D/D）,

這里D是系數(shù)行列式的值，D,是把系數(shù)行列式的第i個列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列

式時值.

闡明與改善：

按法則給H勺公式求解計算量太大，沒有實用價值.因此法則的重要意義在理論上，用在

對解的唯一性口勺判斷,而在這方面法則不夠.法則的改善:系數(shù)行列式不等于0是唯一解H勺充

足必要條件.

實際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣（4①作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕?/p>

（川月）一（￡|〃），

〃就是解.

用在齊次方程組上：假如齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充足必

要條件是4M.

二.經(jīng)典例題

1.運用性質(zhì)計算元素有規(guī)律口勺行列式

例1①2aaaa②1+x111③1+a111

a2aaa11+x1122+a22

aa2aa.11+x1.333+a3.

aa2111+x4444+a

aaa2

例212345

23451

34512.

45123

51234

例3l+x1111

1l+x211

111+X31

111l+x.?

例4a0bc

0acb.

bca0

cb0a

例5l-aa000

-1l-aa00

0-1l-aa0.（96四）

00-1l-aa

000-1l-a

2.測試概念與性質(zhì)的題

例6X3-31-32x+2

多項式f(x)=-75-2x1,求f(x)的次數(shù)和最高次項的系數(shù).

X+3-133x2-2

9xJ6-6

例7求x-3a-14

f(x)=5X-80-2的x'和x'l勺系數(shù).

0bx+11

221x

例8設(shè)4階矩陣A=((,(1,(2,(3),B=((,(1,(2,(3),|A|=2,|B|=3，求|A+B|.

例9abed

已知行列式x-1-yz1的I代數(shù)余子式All=-9,A12=3,A13=T,A14=3,求

x,y,z.

1-zx+3y

y-2x+10z+3

例10求行列式3040的第四行各元素的余子式的和.（01）

2222

0-700

53-22

3.幾種n階行列式

兩類爪形行列式及其值：

例11aia2a：j…a-an

bic2000

證明0b2c300=.

?????????

000bn-1Cn

提醒：只用時第1行展開(Mli都可直接求出).

例12&ai&2…an-i&

biCi000

證明b20C2…00=。°口，一…….

i=lr=l

bn000Cn

提醒：只用對第1行展開（Uli都可直接求出）.

另一種常見口勺n階行列式：

例13證明

a+bb000

aa+bb00

..............=>/一%=上（當(dāng)awb時）.

/a-b

000…a+bb

000aa+b

提醒:把第j列（行）的（T）“倍加到第1列（行）上（尸2,…,n）,再對第1列（行）展開.

4.有關(guān)克萊姆法則的題

例14

設(shè)有方程組

Xi+x2+X3=a+b+c,

axi+bx+cx=a2+b--?-c\

{23

bcxi+acx2+abx3=3abc.

（1）證明此方程組有唯一解的充足必要條件為a,b,c兩兩不等.

（2）在此狀況求解.

參照答案

例1①(2+4a)(2-a)4.②x3(x+4).③a3(a+10).

例21875.

例3X1X2X3X4+X2X3X4+X1X3X4+X1X2X4+X1X2X3.

例4(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).

例5l_a+a2_a3+a1-a:>.

例69,-6

例71,-10.

例840.

例9x=0,y=3,z=-l.

例10-28.

例14Xi=a,x2=b,Xs=2..

第三講矩陣

一.概念復(fù)習(xí)

1.矩陣乘法H勺定義和性質(zhì)

定義2.1當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時,和A和B可以相乘,乘積記作AB.AB的行數(shù)和

A相等,列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i個行向量和B的第j個列向量(維數(shù)

相似)對應(yīng)分量乘積之和.

/bubwbis

設(shè)Sua12ain

b2lb22b2s

a2iB-OAB-C21C22C28

a<ii&i2???anrbnlbn2???bns>CnlC?2

則

Cij=aiibij+ai2b2j+--+ainbnj.

矩陣小J乘法在規(guī)則上與數(shù)日勺乘法有不一樣：

①矩陣乘法有條件.

②矩陣乘法無互換律.

③矩陣乘法無消去律，即一般地

由小0推不出4=0或后0.

由小4c和后0推不出B-C.(無左消去律)

由BA=CA和A(0推不出B=C.(無右消去律)

請注意不要犯一種常見的J錯誤：杷數(shù)的J乘法的「性質(zhì)簡樸地搬用到矩陣乘法中來.

矩陣乘法適合如下法則：

①加乘分派律A?0=?AC,(A+ff)C=AC+BC.

②數(shù)乘性質(zhì)(cA)B=c(AB).

③結(jié)合律(AB)8A(BC).

④{AB)'=B'A\

2.n階矩陣H勺方幕和多項式

任何兩個n階矩陣A和8都可以相乘,乘枳相仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì)：

\AB\=\A\\B\.

假如AB-BA,則說A和8可互換.

方累設(shè)k是正整數(shù)，n階矩陣/的k次方塞*即k個/口勺連乘積.規(guī)定4=及

顯然A的任何兩個方幕都是可互換的，并且方察運算符合指數(shù)法則：

②(，)1*=心.

不過一般地和力,"不一定相等!

n階矩陣日勺多項式

,,,r,

設(shè)f(x)=a?x+aarix+--+aix+ao,對n階矩陣A規(guī)定

n

f(A)=aJ+an-iA"'+???+aiA+a?￡

稱為川南一種多項式.請尤其注意在常數(shù)項上加單位矩陣￡

乘法公式一般地，由于互換性H勺障。導(dǎo)，小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對于n階矩

陣的不再成立.不過假如公式中所出現(xiàn)"勺n階矩陣互相都是乘法互換"勺,則乘法公式成立.例

如

當(dāng)/和8可互換時，有：

(A±B)2=jf±2AB^;

A-B^(代初{A-B)二(?、蓒A-B).

二項展開式成立：(A+8)?=Xc：A'8等等.

/=1

前面兩式成立還是4和8可互換的充足必要條件.

同一種n階矩陣口勺兩個多項式總是可互換口勺.一種n階矩陣的多項式可以因式分解.

3.分塊法則

矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種措施.對兩個可以相乘的矩陣力和區(qū)可以先

用縱橫線把它們切割成小矩陣(?切A的縱向切割和B的橫向切割一致!)，再用它們來作乘

法.

(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則

AnAv：B.i笈A\\B\2JrA\zB>2

AiA&B-2A：182十幾B心

規(guī)定4」日勺列數(shù)叢和內(nèi)行數(shù)相等.

準(zhǔn)對角矩陣的乘法：

形砥A\

Ai0…0

A=04-??0

00-A

的矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣,其中4,4,…,A都是方陣.

兩個準(zhǔn)對角矩陣

r1

400R0o

A=04?0B=0B.0

00—400B.

假如類型相彳以,即4和5階數(shù)相等,則

AB0…0

AB=0A2B21.

y

00…A.B.

(2)乘積矩陣的列向量組和行向量組

設(shè)A是m(n矩陣B是n(s矩陣.A的列向量組為(1,(2,…，(n,B口勺列向量組為

(1,((2,…，(s,AB的列向量組為(1,((2,…，(s,則根據(jù)矩陣乘法的定義輕易看出(也是分塊

法則的特殊情形)：

①相的每個列向量為二期，i=l,2,…,s.

即力(4,—???,")=(明"四…，破).

②夕(bi,b2,,,,,bn)：貝ijAfi-b：a+b2a+…+b0a.

應(yīng)用這兩個性質(zhì)可以得至|J：假如＜二(bIi,b2i,…,bnM,則

-bia+b?ia+…a.

即：乘積矩陣形的第i個列向量力是川向列向量組a,a,…，al向線性組合，組合系數(shù)就

是5時第i個列向量￡的各分量.

類似地，乘積矩陣的的第i個行向量是5的行向量組U勺線性組合,組合系數(shù)就是/的

第i個行向最的各分最.

以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào)，但只要對矩陣乘法梢加分析就不難得出.它們無論在

理論上和計算中都是很有川U勺.

(1)當(dāng)兩個矩陣中，有一種的數(shù)字很簡樸時，直接運用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個列

向最或行向最,從而提高了計算的速度.

(2)運用以上規(guī)律輕易得到下面幾種簡樸推論：

用對角矩陣A從左側(cè)乘一種矩陣，相稱于用A門@」口「X6三6矩陣的各行向量；用對角

矩陣A從右側(cè)乘一種矩陣,相稱于用Aftejafax口!三6矩陣的I各列向量.

數(shù)量矩陣k￡乘一種矩陣相稱于用k乘此矩陣；單位矩陣乘一種矩陣仍等于該矩陣.

兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.

求對角矩陣H勺方哥只需把對角線上口勺每個元素作同次方哥.

(3)矩陣分解:當(dāng)一種矩陣C的每個列向量都是另一種A的列向量組的線性組合時，可

以構(gòu)造一種矩陣B,使得C=AB.

例如設(shè)力=3,4/C(研2。%3丈分％研2人令

131

歷［-1(4,則C=AB.

-112

(4)初等矩陣及其在乘法中口勺作用

對單位矩陣E作一次初等(行或列)變換,所得到的矩陣稱為初等矩陣.

有三類初等矩陣:

以i,j):互換￡『、Ji,j兩行(或列)所得到的矩陣.

雙i(c)):用非0數(shù)c乘￡11勺第i行(或列)所得到II勺矩陣.也就是把歹的對角線上的第i

個元素改為c.

F(i,j(c))(i#j):把￡的第j行的c倍加到第i行上(或把第i歹皿勺c倍加到第j列上)

所得到口勺矩陣，也就是把夕及l(fā)(i,j)位日勺元素改為c.

命題對矩陣作一次初等行(列)變換相稱于用一種對應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它.

4.矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)

(1)矩陣方程

矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程：

(I)AX=B.(II)XA=B.

這里假定A是行列式不為0的n階矩陣，在此條件下，這兩個方程11勺解都是存在并且唯一

的.(否則解日勺狀況比較復(fù)雜.)

當(dāng)8只有一列時，(I)就是一種線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.假如B有s歹6,

設(shè)B=(",伍、…、以)，則才也應(yīng)當(dāng)有s列，記X=(X,X,…，X),則有AX、=",i=l,2,-,s,這是

s個線性方程組.由克萊姆法則，它們均有唯一解,從而冊8有唯一解.

這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同步求解，即得

(I)的解法：

將N和8并列作矩陣"㈤，對它作初等行變換，使得4變?yōu)閱挝痪仃?此時B變?yōu)榻釾.

(A.>(￡|1)

(IDR勺解法:對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:力/=反再用解⑴的措施求出匕轉(zhuǎn)置得

(川月)->(￡/)

矩陣方程是歷年考題中常見的題型，不過考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,

要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解.

(2)可逆矩陣的定義與意義

定義設(shè)力是n階矩電假如存在n階矩陣5,使得得￡班吆則稱力為可逆矩陣.

此時5是唯一的,稱為A的逆矩陣,一般記作A

假如A可逆,則A在乘法中有消去律：

AB=O(B=OtAB=AC(B=C.(左消去律):BA=O(B=O；BA=CA(B=C.(右消去律)

假如A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊):

AB=C(B=A-1C.BA=C(B=CAT.

由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：

(I)AX=B的解X=ATB.(II)XA=BH勺解X=BA-1.

這種解法想法自然，好記憶，不過計算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).

(3)矩陣可逆性的鑒別與性質(zhì)

定理n階矩陣力可逆=|川工().

證明“(”對AA-1=E兩邊取行列式,得|A||A-11=1,從而|A|(0.(并且|A-1|=|A|-1.)

“(”由于|A|(0,矩陣方程AX=E和XA=E均有唯一解.設(shè)B,C分別是它們的解，即AB=E,

CA=E.實際上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得到A可逆.

推論假如力和8都是n階矩陣，則缶心物二七

于是只要AB=E(或BA二E)一式成立,則A和B都可逆并旦互為逆矩陣.

可逆矩陣有如下性質(zhì)：

①假如A可逆，則

不也可逆,并且(不)'A

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

當(dāng)cM時，cA也可逆，并且(cA)'=c'A\

對任何正整數(shù)k,才也可逆，并且(才)三(4))

(規(guī)定可逆矩陣A口勺負(fù)整多次方幕/=(4)\aT.)

②假如《和5都可逆,則相也可逆，并且(期7=511(請自己推廣到多種可逆矩陣乘

積的情形.)

初等矩陣都是可逆矩陣,并且

￡(i,j)'I=F(i,j),F(i(c))1=F(i(c')),F(i,j(c))I=￡(i,j(-c)).

(4)逆矩陣的計算和伴隨矩陣

①計算逆矩陣"勺初等變換法

當(dāng)A可逆時，A1是矩陣方程4上￡的解，于是可用初等行變換求A1

(4㈤f㈤4)

這個措施稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面簡介口勺伴隨矩陣法簡樸得多.

②伴隨矩陣

若4是n階矩陣，記加是A的(i,j)位元素時代數(shù)余子式,規(guī)定力的伴隨矩陣為

AnA2IA?i

A*=A)2A22…An2=(Aij)\

7J

A)nA2nAfffi

請注意,規(guī)定n階矩陣A曰勺伴隨矩陣并沒有規(guī)定A可逆，不過在A可逆時，N*和卬有親

密關(guān)系.

基本公式：AA^=AYA=通￡

于是對于可逆矩陣4有

—/|4即心=A\A'\

因此可通過求心來計算4.這就是求逆矩陣II勺伴隨矩陣法.

和初等變換法比較，伴隨矩陣法口勺計算量要大得多，除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.

對于2階矩陣

「、「、

ab*d-b

cd=~ca,

因此當(dāng)ad-bc^O時，

「、「、

ab1d-b/

<JI/

cd=-ca(ad-bc).

伴隨矩陣U勺其他性質(zhì)：

①假如A是可逆矩陸,則A*也可逆，并且(A*)T=A/|A|=(AT)*.

②|A*|=|A|n-l.

③(AT)*=(A*)T.

④(cA)*=cA*.

⑤(曲*=a4*；(才)*=(W.

@當(dāng)n>2時，(承/二兇％n=2時，(/)*二4

二經(jīng)典例題

L計算題

例10-(1,-2,3);-1/2,1/3);小a夕，求/

討論：⑴?般地，假如n階矩陣走可”則才=(/a產(chǎn)企(t［《))k).

(2)乘法結(jié)合律的應(yīng)用：碰到形如￡必向地方可把它當(dāng)作數(shù)處理.

①1-11

<aaT????O^??n??????a????????^aTa(-)

1-11

②設(shè)ar(1,0,T)',4-aa'，求|Q比4|.

③(v維向量(=(a,O,(,O,a)T,a<0,A=E-((T,A-l=E+a-l((T,求a.(03三，四)

④n維向量(二(1/2,0,(,0,1/2)T,A=E-((T,B=E+2((T,求AB.(95四)

⑤A=E-((T,其中(,(都是n維非零列向量,已知A2=3E-2A,求(T(.

例2(1999三)101

設(shè)A=120，求kv-2Av-

I0I

例3000、

設(shè)I>

證明當(dāng)時

求

010

例4T為3階矩陣，a,a,。是線性無關(guān)口勺3維列向量組,滿足

/a=a+a?+a,,/@=2a?+a),JaF2a?+3a(.

求作矩陣B,使得A((l,(2,(3)=((1,(2,(3)B.(數(shù)學(xué)四)

例5設(shè)3階矩陣4=(a,a,a),14=1,廬(a+a+a,a+2a+3a,a+4?+9G),求|5|.(05)

例63維向量a,a、a”甬仇,一滿足

a+a；+26K=(),3aLa+夕一氏=0,-a二+a-代-四:0,

已知|a,a,a，|二a,求|去,限p\.

例7設(shè)A是3階矩陣，((是3維列向量，使得P=((,A(,A2()可逆，并且A3(=3A(-2A2(一

又3階矩陣B滿足A=PBP-1.

(1)求8(2)求|/+0.(01-)

210

例83階矩陣48滿足的*=2%*+￡其中/=112J,求18.(04—)

001

r、

例93-51

設(shè)3階矩陣生11-1(J,力弘=四+24求X

-102

例10Cl1-?

設(shè)3階矩陣A=\^l11J,A^A'+2X求尤

1-11

例114階矩陣48滿足ABA二班'+3區(qū)已知

C00C

A*=0100，求B.（00一）

1010

0-308

例12300100

已知/二b1

JN00>,M+2序冊2%求

21300-1

例13設(shè)a=(5,1,-5)：濠=(1,-3設(shè))[&=(1,-2,1)1矩陣4滿足

Na二(4,3)T,46二(7,-8)r,二(5,-5)T,

求A.

2.概念和證明題

例14設(shè)4是n階非零實矩陣,滿足例二/.證明:

(1)4>0.

⑵假如n>2,則|川二1.

例15設(shè)矩陣#(a。/滿足/*"T,a”,a⑵m為3個相等的正數(shù)，則它們?yōu)?/p>

(A).(B)3.(C)1/3.(D).(數(shù)學(xué)三)

例16設(shè)4和8都是n階矩陣，"001，則仆=

0B

(A)|A|A*0(B)|B|B*0

r0r0

I(0f7\|B*(A.(D)|BA*0

0184k0\A

例17設(shè)n是3階矩陣，互換A^]1,2列得B,再把笈的第2列加到第3列上，得C求

Q使得OAQ.

例18設(shè)4是3階可逆矩陣，互換人向1,2行得氏則

(A)互換4*的1,2行得到加.

(B)互換#的1,2列得到加.

(C)互換4的1,2行得到-加.

(D)互換心的1,2列得至卜加.()

例19設(shè)力是n階可逆矩陣，互換力的i,j行得到B

(1)證明8可逆.

(2)求的二

例20設(shè)n階矩陣A滿足才+3企2Ao.

(1)證明A可逆，并且求A-1.(2)證明對任何整數(shù)c,A-cE可逆.

討論:假如fG?=o,則

(1)當(dāng)f(x)時常數(shù)項不等于。時,4可逆.

(2)f(c)M時,4-c￡可逆.

(3)上述兩條時逆命題不成立.

例21設(shè)a是n維非零列向量,記左比aa'.證明

(1)才=4oa'a=1.

(2)((T(=1(A不可逆.(96-)

討論：(2)時逆命題也成立.

例22設(shè)43都是n階矩陣，證明

E四可逆oEB4可逆.

例23設(shè)3階矩陣A.夕滿足A^A^B.

(1)證明不￡可逆.

⑵設(shè)0-3(?

B\21gj,求4

002(91)

例24設(shè)A,B是3階矩陣，A可逆,它們滿足2A定歷記

(1)證明於2￡可逆.

⑵設(shè)0-2(?

以12gj,求4

002()

例25設(shè)n階矩陣4B滿足曲a4+b8其中abwO,證明

(1)左b￡和都可逆.

(2)A可逆。B可逆.

(3)AB=BA.

例26設(shè)46都是n階對稱矩陣，-45可逆,證明;用陽；4也是對稱矩陣.

例27設(shè)48都是n階矩陣使得?8可逆，證明

(1)假如被以則及4-而7"(4+⑻'B.

(2)假如A.5都可逆，則5(小而小4(侵如B.

(3)等式8G4+而*/(4+而口總成立.

例28設(shè)A,B,。都是n階矩陣,滿足方E+AB,C=A^CA,則B~C為

(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(數(shù)學(xué)四)

參照答案

1-1/21/3

例13>35凌1-2/3/

3-3/21

①3.②a2(a-2n).③-1.?E.⑤4.

例20.

例3⑴提醒：於/二十片-慶"n-2U-E)=A-EoA(#-與=A-E.

(2)n=2k時，100

/1=\K10_J.

k01

r、

n=2k+l時，100

4=《+l0b

k10

例4100

火12多.

113

例52.

例6-4a.

01-2

例81/9.

例9-6104

四一242

-4100

例10110

(1/4)<011J

101

例116000

后0600

I

6060

030-1

例12100

<200；

6-1-1

例132T1

-4-2-5.

例15(A).

例16(D).

例17011

Aio勺

001

例18(D).

例19Mi,j).

例22提醒:用克萊姆法則.例如證明=>,即在E相可逆時證明齊次方程組(￡84)養(yǎng)0只

有零解.

1-

例2311/20

4二&1/3107

002

例24020

4二Ql_10_J.

00-2

例25提醒：計算G4T㈤(人㈤.

例28(A).

第四講向量組的線性關(guān)系與秩

一.概念復(fù)習(xí)

1.線性表達(dá)關(guān)系

設(shè)a,az,…，a是一種n維向量組.

假如n維向量(等于(1,(2,…，(s的J一種線性組合，就說(可以用(1,(2,…，(s線性表達(dá).假如

n維向量組(1,((2,…，(t(((((((((可以用(1,(2,…，(s線性表達(dá),就說向量

瓦巴小可以用a,*a線性表達(dá).

鑒別“(與否可以用(1,((2,…，(s線性表達(dá)？表達(dá)方式與否唯一？”就是問：向

量方程

x)ai+X2&+—+xa=《

與否有解？解與否唯一？用分審:寫出這個向量方程，就是以(1,((2,…,(“((((((((((((((?反之,

鑒別“以(A(((((((((((((((((((((((((”的問題又可轉(zhuǎn)化為“(與否可以用A時列向量組線性表達(dá)?

表達(dá)方式與否唯一？”的問題.

向量組之間的線性表達(dá)問題與矩陣乘法有親密關(guān)系????乘積矩陣AB的每個列向量都可

以表達(dá)為A*、J列向最組日勺線性組合從而AB日勺列向量組可以用A口勺列向量組線性表達(dá)??反之

假如向量組口…T可以用口…o線性表達(dá)則矩陣□…V??等于矩陣口…。??和一種ot矩

陣X的乘積X可以這樣構(gòu)造????它的第i個列向量就是I對匚…。日勺分解系數(shù)X不是唯一啊?？

向量組的線性表達(dá)關(guān)系有傳遞性，即假如向量組從/可以用a,a,…，a線性表

達(dá),而a,。2,,,,,a可以用卜,加,7線性表達(dá),則用,羯…,A可以用力,7，…,7線性表達(dá).

當(dāng)向量組a,a,…，a匚物，月，…，月互相都可以表達(dá)時，就說它們等價

a,…，a）三｛再限…，位.

等價關(guān)系也有傳遞性.

2.向量組的線性有關(guān)性

（1）定義（從二個方面看線性有關(guān)性）

線性有關(guān)性是為述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念，它是討論向量組

a,a>,a-000更IX（xuVfs-1個向量線性表達(dá)的問題.

定義設(shè)a,a,…，a/n維向量組，假如存在不全為3的一組數(shù)ci,c2,—,c.使得

aa+c2&+…+c，a=0,

則說a,a,a線性有關(guān),&□（即要使得cia+c：a+…+ca=0,必須ci,c2,g全為0）就說

它們線性無關(guān).

于是，a,a,…，a"線性有關(guān)還是無關(guān)”也就是向量方程x：a+x2O6+—+xsa=0"有無

非零解”，也就是以（a,a,…，a：）為系數(shù)矩陣依J齊次線性方程組有無非零解.

當(dāng)向展組中只有一種向晟（s=l）時,它有關(guān)（無關(guān)）就是它是（不是）零向量.

兩個向量的有關(guān)就是它們的對應(yīng)分量成比例.

（2）性質(zhì)

①當(dāng)向量的J個數(shù)s不小于維數(shù)n時,a,a,…，a□□JaCo.

假如向量口勺個數(shù)s等于維數(shù)n,則a,a,a線性有關(guān)u>|a,a,…，a,1=0.

②線性無關(guān)向量組的每個部分組都無關(guān)（從而每個向量都不是零向量）.

③假如a,a：,…，aJ?0a,Ca）,a,…，a,磔性有關(guān)，則網(wǎng)用a,血…,a」3n—.

④假如夕可用a,a,…,a』r）—，則表達(dá)方式唯一oa,a,…，