高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校2025屆高三下學期5月聯(lián)考數學試題一、單選題1．數據1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第70%分位數是（

A．2.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C【解析】數據1，2，2，3，3，4，4，5，5，6已按從小到大順序排列，由于70%×10=7，故第70%故選：C2．已知復數z滿足1+2iz=5i，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】1+2iz=5i則其在復平面內對應的點為2,1，位于第一象限.故選：A.3．已知集合A=xxx-3≤0,B=A．{-3,-2,0} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2}【答案】D【解析】A=xxx-3故選：D.4．拋物線y=18xA．(0,2) B．(0,-2) C．(-2,0) D．(2,0)【答案】A【解析】y=18x2，即x2故選：A.5．已知銳角α滿足sinα-π6=1A．33-18 B．35-18【答案】B【解析】因為α∈0，π因為sinα-π6cosα=cos故選：B.6．在二項式x+12x5的展開式中，xA．516 B．52 C．5 D【答案】B【解析】二項式x+12x5由5-2k=3可得k=1，因此，展開式中x3的系數為C故選：B.7．已知連續(xù)型隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，其密度函數為f(x)=122π?e-(x-1)28，記函數A．關于直線x=1對稱 B．關于直線x=1C．關于點1,12對稱 D．關于點【答案】C【解析】因為ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，故P(ξ≤x)+P(ξ≤2-x)=1，故φ(x)+φ(2-x)=1，故φ(x)的圖象關于點1,1故選：C.8．已知函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)-1，則以下結論錯誤的是（

）A．f(0)=1 B．f(x)+f(-x)=2 C．f(x+1)+f(x-1)=f(2x)+1 D．f(1+x)+f(1-x)=0【答案】D【解析】令y=x=0，有f0=2f0-1，從而令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)-1，故f(x)+f(-x)=2，B正確；由題意得，f(x+1)+f(x-1)-1=f(x+1+x-1)，即f(x+1)+f(x-1)=f(2x)+1，C令f(x)=x+1，則f(x+y)=x+y+1，f(y)=y+1，滿足f(x+y)=f(x)+f(y)-1，但f(1+x)+f(1-x)=1+x+1+1-x+1=4≠0，即不滿足f(1+x)+f(1-x)=0，D錯誤.故選：D.二、多選題9．已知平面直角坐標系中，坐標原點為O,A(1,-2),B(m,-1)，則（

）A．若OA∥OB，則m=12 BC．AB不可能為單位向量 D．若m=-1，則|2【答案】AD【解析】若OA//OB，則1×(-1)-(-2)×m=0，解得m=1若OA⊥OB，則1×m+(-2)(-1)=0，解得m=-2，由題設AB=(m-1,1)，當m=1時，|AB|=1,若m=-1，則2OA-OB故選：AD.10．已知函數f(x)=2cos12A．?x∈B．f(x)的圖象關于-2C．f(x)在π3D．f(x)的圖象可以由曲線y=2sin12【答案】BCD【解析】對于A，因為函數周期T=2π1對于B，易知f-2π對于C，當x∈π3,π時，0<1所以C正確；對于D，由于fx=2cos1故選：BCD.11．設正整數m≥3（m為常數），單調遞增數列a1,a2,?,am各項均為正數，設集合Sm={ai?A．若m=4,a1B．若an是等差數列，則C．Sm的最大值為D．若Sm=2m-3，且m≥6【答案】ACD【解析】對于選項A，計算可得S4={2,4,8,16,32}，故因為從m個元素中任取兩個元素，一共有Cm2=若等差數列ai=i，則a1a6因為a1a2<a又aiai+1所以Sm中至少還包括m-2個元素，故S因此，當Sm=2m-3，可記集合顯然a1又a1a4≠a1故選：ABD三、填空題12．若m>0,n>0,m+2n=1，則1m+2【答案】9【解析】由題設1m當且僅當2nm=2mn，即m=n=故答案為：9.13．已知圓臺的母線長為5，上底面圓的直徑為6，下底面圓的直徑為12，則該圓臺的體積為【答案】84【解析】如圖是圓臺的軸截面，圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，6，母線長為5，設圓臺的高為h，體積為V，由題意得，h=所以V=1故答案為：84π14．若正實數x，y滿足x-lnx+lnyy【答案】4【解析】由x-lnx+lnyy記f(t)=lnt-t+1(t>0)，則所以當0<t<1時，f't>0，故f(t)當t>1時，f't<0，故f(t)在1,+因而yxex-1記g(x)=x2e所以當0<x<2時，g'x>0，故g(x)當x>2時，g'x<0，故g(x)在2,+故答案為：4e四、解答題15．設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=22（1）若x=2，求△ABC的面積；（2）若存在兩個這樣的△ABC，求x的取值范圍．解：（1）由正弦定理得，asinA=csin因為A∈0,π，所以A=π所以△ABC的面積S=1（2）法一：由正弦定理得，asinA=csin由C=π4得所以sinA=2x在0<A<3π4內有兩解，即函數作出y=sinA在0,3π4綜上，x的取值范圍為2<x<22法二：由余弦定理得，c2=a整理得b2由題意得，該方程有兩個不相等的正實數根，所以Δ=16-48-綜上，x的取值范圍為2<x<2216．如圖1，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊中點，將△AEH,△BEF,△CFG,△DGH分別沿EH,EF,FG,GH折起，使得△AEH,△BEF,△CFG,△DGH所在平面與底面EFGH均垂直（如圖2），連接AB,BC,CD,DA．（1）證明：平面ABCD//平面EFGH；（2）求平面AEB與平面CGD所成二面角的正切值．（1）證明：如圖1，A，B，C，D在平面EFGH上的投影A',B因為△AEH,△BEF,△CFG,△DGH是全等的等腰直角三角形，所以AA又△AEH,△BEF,△CFG,△DGH所在平面與底面EFGH均垂直，所以AA',BB'故四邊形AA'C由AC?平面EFGH，A'C'?平面EFGH，則同理可證BD//平面EFGH，又AC,BD相交且都在平面ABCD內，所以平面ABCD//平面EFGH；（2）解：法一：如圖2建立空間直角坐標系，不妨設EF=2，則A(0,-1,1),B(1,0,1),E(1,-1,0),C(0,1,1),D(-1,0,1),G(-1,1,0)，所以EA=(-1,0,1)，EB=(0,1,1)，CD=(-1,-1,0)設平面ABE的法向量為n1=(x,y,z)，則從而-x+z=0y+z=0，取z=1，則n設平面CDG的法向量為n2=(a,b,c)，則從而-a-b=0-a-c=0，取c=1，則n從而cosn1,所以tann1,n2=22法二：如圖3，取A'B',AB的中點M,N，易知由EN∩MN=N都在平面EMN內，則AB⊥平面EMN，記θ=∠ENM，由對稱性可知，所求角是∠ENM的二倍，根據題意，不妨設EN=1，則MN=AA'=EA'17．已知函數f(x)=ax+sinx，曲線y=f(x)在(π（1）證明：函數f(x)在R上單調遞增；（2）設g(x)=mx3+f(x)，若m≤-（1）證明：依題意，f'(x)=a+因為曲線y=f(x)在(π,f(π所以f'(π)=a-1=0所以f(x)=x+sin故函數f(x)在R上單調遞增．（2）解：由（1）得f(x)=sinx+x故g'(x)=3mx則s'x=6mx-sinx當m≤-16時，u'x因為u(0)=0，所以當x>0時u(x)<0，從而函數s(x)即g'又g'從而存在唯一x0∈(0,2)，使得且當x∈0,x0時，g當x∈x0,+∞時，而gx故存在唯一x1∈(0,+∞)因為g(-x)=-g(x),g(x)是奇函數，且g(0)=0，所以函數g(x)有3個零點．18．為了滿足消費者的購買需求，商家推出了頗具吸引力的購買盲盒活動．甲系列盲盒一套共有6款不同造型的玩具車（每個盲盒內放有其中1款玩具車，每款玩具車對應的盲盒數量充足），乙系列盲盒一套共有6款不同造型的玩偶（每個盲盒內放有其中1款玩偶，每款玩偶對應的盲盒數量充足），甲乙盲盒外形不同，各系列內部各種盲盒外形，質量等均完全一樣，消費者在購買時無法提前得知自己會買到哪一款玩具類型，這種充滿不確定性的購買體驗正是盲盒的魅力所在．（1）某玩家在一家只銷售甲系列的商家購買了3盒盲盒，求能收集到至少2款不同玩具車的概率；（2）東東家有2臺不同的玩具車和2個不同的玩偶，冬冬家有與東東家不一樣的2臺不同玩具車和2個不同玩偶，他們倆每次各取一件盲盒進行交換，第一次交換的盲盒可以參加第二次交換．①兩人交換一次后，求東東家仍有2臺不同的玩具車和2個不同的玩偶的概率；②兩人交換兩次后，求東東家玩具的玩具車的臺數X的分布列和數學期望．解：（1）記“玩家購買3盒甲系列盲盒，只收集到1款玩具車”為事件A，“玩家購買3盒甲系列盲盆，至少收集到2款玩具車”為事件B，則P(B)=1-P(A)=1-C（2）①依題意，兩人交換的恰好都是玩具車或者都是玩偶，因此所求概率為P=12②依題意，X的可取值為0，1，2，3，4，依題意，X=0即兩次交換中，東東家拿出的都是玩具車，冬冬家拿出的都是玩偶，因此，P(X=0)=24X=1包括以下2種情況：（1）第一次交換后東東家還是2款玩具車2款玩偶，第二次交換后東東家有1款玩具車3款玩偶；（2）第一次交換后東東家是1款玩具車3款玩偶，第二次交換后東東家還是1款玩具車3款玩偶，因此，P(X=1)=1X=2包括以下3種情況：（1）第一次交換后東東家還是2款玩具車2款玩偶，第二次交換后東東家有2款玩具車2款玩偶；（2）第一次交換后東東家是1款玩具車3款玩偶，第二次交換后東東家還是2款玩具車2款玩偶，（3）第一次交換后東東家是3款玩具車1款玩偶，第二次交換后東東家有2款玩具車2款玩偶，因此，P(X=2)=12X=4即兩次交換中，東東家拿出的都是玩偶，冬冬家余出的都是玩具車，因此，P(X=4)=2故P(X=3)=1-1所以，所求分布列為因此數學期望E(X)=119．已知雙曲線E:x2-y23=1的一條漸近線被圓F1:(x+2)2+y2=a2（1）求動點Q的軌跡曲線C的方程；（2）斜率為12的直線m交雙曲線E于點A，B，若弦AB的中點M恰好在曲線C上，求點M（3）記雙曲線E與曲線C在第一象限的交點為N,∠F1NF2的平分線為n，在曲線C上是否存在不同的點S，T，使得點關于直線n解：（1）雙曲線E:x2-不妨取一條漸近線為y=3如，則圓心F1(-2,0)到直線y=3從而3+61=a2解得a=8故QF所以，點Q的軌跡C是以F1,F因此其標準方程為x2（2）設Ax1,y1兩式相減，得x1從而x0y0=代入x216+故點M的坐標為47,24（3）聯(lián)立x2-y從而，NF1,NF（方法一）設D(x,y)為∠F1NF2化簡得2x-y-1=0或x-2y+8=0，但平分線n與x軸的交點在F1檢驗可知所求角平分線n的方程為2x-y-1=0．

設Sx3,則x0=x3因為x3216+y代入2x-y-1=0得x但點(2,3)與點N重合，即在橢圓上，矛盾！故在曲線C上不存在不同的點S，T，使得點S，T關于直線n對稱．